Kolokwium I
rok 2009/2010
Zadanie 5:
Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej
}
3
,
2
{
:
3
2
x
z
x
y
L
w punkcie P(0,0,0).
Co znaczy, że punkt
))
(
)
(
0
0
t
r
M
O
M
jest punktem spłaszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma
punkty spłaszczenia?
Rozwiązanie:
a)
(1) Wzory na
krzywiznę i skręcenie krzywej:
3
'
'
'
'
t
r
t
r
t
r
t
- krzywizna krzywej L
2
''
'
''
'
''
'
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
-
skręcenie krzywej L
(2) Parametryzacja krzywej L
3
,
2
,
3
3
3
2
2
2
3
2
3
3
3
2
2
2
t
t
t
t
r
t
z
x
z
x
z
t
y
x
y
x
y
t
x
gdzie
1
;
0
t
(3) Pochodne
t
r
potrzebne do dalszych obliczeń:
2
,
0
,
0
''
'
2
,
1
,
0
''
,
,
1
'
2
t
r
t
t
r
t
t
t
r
(4) Obliczenia dla
t
:
3
4
2
3
2
2
2
2
3
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
'
1
4
1
2
''
'
1
,
2
,
0
1
,
2
0
,
2
2
1
0
1
''
'
t
t
t
t
t
r
t
t
t
t
t
r
t
r
t
t
t
t
t
t
t
t
k
j
i
t
r
t
r
(5) Obliczenie
0
t
i
0
t
w punkcie
0
,
0
,
0
P
(zatem
t
0
=0
):
-
pochodna I rzędu z
t
r
-
pochodna II rzędu z
t
r
-
pochodna III rzędu z
t
r
