Kolokwium I

rok 2009/2010

Zadanie 5:

Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej

}

3

,

2

{

:

3

2

x

z

x

y

L





w punkcie P(0,0,0).

Co znaczy, że punkt

))

(

)

(

0

0

t

r

M

O

M







jest punktem spłaszczenia krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty spłaszczenia?

Rozwiązanie:

a)

(1) Wzory na

krzywiznę i skręcenie krzywej:

 

 

 

 

3

'

'

'

'

t

r

t

r

t

r

t













- krzywizna krzywej L

 

 

 





 

 

 

2

''

'

''

'

''

'

t

r

t

r

t

r

t

r

t

r

t





















-

skręcenie krzywej L

(2) Parametryzacja krzywej L

 





































3

,

2

,

3

3

3

2

2

2

3

2

3

3

3

2

2

2

t

t

t

t

r

t

z

x

z

x

z

t

y

x

y

x

y

t

x



gdzie

 

1

;

0



t

(3) Pochodne

 

t

r



potrzebne do dalszych obliczeń:

 





 





 





2

,

0

,

0

''

'

2

,

1

,

0

''

,

,

1

'

2







t

r

t

t

r

t

t

t

r







(4) Obliczenia dla

 

t



:

 

 



 



 

 

 

 

 

 









3

4

2

3

2

2

2

2

3

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

'

1

4

1

2

''

'

1

,

2

,

0

1

,

2

0

,

2

2

1

0

1

''

'

t

t

t

t

t

r

t

t

t

t

t

r

t

r

t

t

t

t

t

t

t

t

k

j

i

t

r

t

r





























































(5) Obliczenie

 

0

t



i

 

0

t



w punkcie





0

,

0

,

0



P

(zatem

t

0

=0

):

-

pochodna I rzędu z

 

t

r



-

pochodna II rzędu z

 

t

r



-

pochodna III rzędu z

 

t

r



 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 













 

2

1

2

1

4

2

1

4

2

,

0

,

0

1

,

2

,

''

'

''

'

''

'

1

1

1

1

1

4

'

''

'

0

2

4

2

2

4

2

2

3

0

3

4

2

2

4

3











































t

t

t

t

t

t

t

t

r

t

r

t

r

t

r

t

r

t

t

t

t

t

t

t

r

t

r

t

r

t





























b)

(1)

Definicja punktu spłaszczenia:

Punkt

))

(

)

(

0

0

t

r

M

O

M







jest punktem spłaszczenia krzywej

 

t

r

r

L







:

, jeżeli

 

0



t



.

(2) Odp.

Krzywa L z punktu a) nie posiada punktów spłaszczenia, ponieważ:

 

1

4

2

2

4







t

t

t



>

0

,

gdyż





1

4

2

4





t

t

-

zawsze będzie >

0

,

zatem w tym przypadku

nie są spełnione warunki występowania punktu spłaszczenia krzywej L.

Odpowiedź:

a) Krzywizna krzywej L w punkcie P(0,0,0)

jest równa

 

1

1

1

3

0





t



Skręcenie krzywej L w punkcie P(0,0,0) jest równe

 

2

1

2

0





t



b)

Krzywa L nie posiada punktów skręcenia.

Autor:

Agata Czarnecka

grupa

2

17.11.2013