Kolokwium II
rok 2009/2010
Zadanie 3:
Korzystając z własności szeregu potęgowego oblicz sumę szeregu liczbowego.
2
5
1
n
n
n
n
Rozwiązanie:
1)
Badamy zbieżność szeregu liczbowego
2
5
1
n
n
n
n
korzystając z „kryterium ilorazowego –
d’Alamberta” : Jeżeli
1
lim
1
g
a
a
n
n
n
, to szereg
1
n
n
a
jest zbieżny.
2)
Podstawiając:
n
n
n
n
a
5
1
;
1
1
1
5
1
1
n
n
n
n
a
otrzymamy:
n
n
n
n
n
5
1
1
5
1
lim
1
=
n
n
n
1
5
1
lim
=
n
n
n
n
5
1
5
lim
=
5
1
=
5
1
1
,
więc szereg
2
5
1
n
n
n
n
jest zbieżny.
3)
Przyjmując:
n
n
x
)
1
(
, możemy obliczyć sumę szeregu potęgowego
2
5
n
n
n
n
x
4)
Korzystając z twierdzenia „o różniczkowaniu szeregu potęgowego” :
1
1
0
)'
(
)
(
'
n
n
n
n
n
n
x
na
x
a
x
S
otrzymamy:
2
5
n
n
n
n
x
=
2
1
5
n
n
n
x
n
x
=
2
5
)'
(
n
n
n
x
x
=
2
5
n
n
n
x
x
=
2
5
n
n
x
x
=
=
1
,
5
25
2
1
q
x
q
x
a
=
5
1
25
2
x
x
x
=
2
2
)
5
1
(
25
5
1
5
1
25
2
x
x
x
x
x
=
2
3
2
5
5
125
25
2
x
x
x
=
)
(x
S
5)
Podstawiamy wartość wcześniej przyjętą za x, obliczamy wartość sumy szeregu liczbowego.
180
11
5
6
125
1
25
2
)
1
(
2
S
Odpowiedź:
Suma szeregu liczbowego
2
5
1
n
n
n
n
wynosi
180
11
Autor: Dagmara Klos grupa 2
03.12.2013