Kolokwium II 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2009/2010

 

 

 

Zadanie 1 :

 

 

a)  Dane są dwa szeregi i o wyrazach nieujemnych   

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

  i 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 o których wiemy, że   

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

 

dla każdego 

𝑛 ∈ 𝑁.

 Oceń prawdziwość zdań ( odpowiedź uzasadnij): 

- Jeżeli szereg  

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 jest zbieżny, to 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 0

. 

- Jeżeli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

 to szereg 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 jest zbieżny. 

- Jeżeli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒

, to szereg 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 jest rozbieżny.

 

b) Zbadaj zbieżność szeregu 

∑

1

 𝑛 √𝑙𝑛

4

𝑛

3

∞

𝑛=2

 

 
 

Rozwiązanie:

 

 

a)    



 

Jeżeli szereg  

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

   

jest zbieżny, to   

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 0

.   PRAWDA

 

 
Z kryterium porównawczego wiadomo, że jeśli 

a

n

≤ b

n

 

ze zbieżności szeregu 

∑

b

n

∞

n=1

 

wynika 

zbieżność szeregu 

∑

a

n

∞

n=1

. 

Jeżeli szereg 

∑

a

n

∞

n=1

 

jest zbieżny to z warunku koniecznego 

zbieżności szeregu wiadomo, że 

lim

n→∞

a

n

= 0

.

 

 



 

Jeżeli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

 to szereg  

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 

jest zbieżny.   FAŁSZ

 

 
Z kryterium pierwiastkowego Cauchy’ego wynika , że jeśli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

< 1

 to szereg jest 

bezwzględnie zbieżny. W danym przypadku  

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

< 1

, szereg  

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

  jest 

bezwzględnie zbieżny. Dla 

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

 

z kryterium porównawczego nie wynika, że szereg 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 

jest zbieżny.

 

 

 

 



 

Jeżeli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒

, to szereg 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

 

jest rozbieżny.  PRAWDA

 

Z kryterium ilorazowego d’Alamberta wiadomo, że jeżeli 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

> 1

 to szereg  

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

  

jest rozbieżny. W danym przypadku 

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒 > 1

 

, szereg jest rozbieżny. Analizując 

dalej na podstawie kryterium porównawczego wiadomo, że jeśli 

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

 

to z rozbieżności 

szeregu  

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

 

wynika rozbieżność szeregu 

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

.

 

 

 

b)  ∑

1

 𝑛∗  √𝑙𝑛

4

𝑛

3

∞

𝑛=2

 

 
Korzystamy z kryterium całkowego 

Niech 

𝑓(𝑥) =

1

𝑥∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

     

𝐷

𝑓

=< 2; +∞) 

 
Sprawdzamy założenia kryterium całkowego: 
1.  Czy f(x)>0? 

Tak, bo 

1>0

𝑥≥2

√𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

} > 0 

2. 

Czy f(x) jest ciągła? 

Tak, bo funkcje 1, x, 

√𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

  

są funkcjami elementarnymi, czyli są ciągłe.

 

3.  Czy f(x) jest nierosnąca? 

Tak, bo 

𝑓(𝑥) =

𝑠𝑡𝑎ł𝑎

𝑖𝑙𝑜𝑐𝑧𝑦𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑟𝑜𝑠𝑛ą𝑐𝑦𝑐ℎ

 

∫

1

𝑥 ∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

∞

2

𝑑𝑥 = lim

𝐴→∞

∫

1

𝑥 ∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

𝐴

2

𝑑𝑥 =

|

|

𝑝𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑤𝑖𝑒𝑛𝑖𝑒

𝑡=ln (𝑥)

𝑑𝑡=

1

𝑥𝑑𝑥

𝑥

2

𝐴

𝑡 𝑙𝑛2 𝑙𝑛𝐴

|

|

= lim

𝐴→∞

∫ 𝑡

−

4

3

𝑙𝑛𝐴

𝑙𝑛2

𝑑𝑡 = lim

𝐴→∞

(−3𝑡

−

1

3

|

𝑙𝑛𝐴

𝑙𝑛2

) = lim

𝐴→∞

(−3 (

1

√𝑙𝑛𝐴

3

−

1

√𝑙𝑛2

3

)) =  

3

√𝑙𝑛2

3

 

       

Całka jest zbieżna, więc szereg też jest zbieżny. 

       

 
 
 
 

Odpowiedź:

 

 

a) 1. PRAWDA

 

    

2. FAŁSZ 

    3. PRAWDA

 

b) szereg jest zbieżny, na podstawie kryterium całkowego

 

 

 

Autor:

 

Anna Styszyńska  

grupa

 10