Kolokwium I
rok 2009/2010
Zadanie 2: Oblicz masę łuku, będącego częścią okręgu x2+y2=4, leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jeśli gęstość masy ρ(x,y,z)=x2y2.
Rozwiązanie:
L: x2+y2=4
parametryzacja:
x(t)=r cost
y(t)=r sint, gdzie 0 ≤t≤π/2 , ponieważ fragment łuku leży w pierwszej ćwiartce r okręgu wynosi 2, więc:
x(t)= 2cost
x’(t)= -2sint
y(t)= 2sint
y’(t)= 2cost oraz (x’(t))2+ (y’(t))2= 4sin2t+4cos2t=4
masa łuku L wynosi: ∫ ρ(x,y,z)dl
L
A zatem podstawiając wszystkie dane otrzymujemy całkę:
cos2t=cos2t-sin2t
π/2 π/2
π/2
cos2t+sin2t=1
∫ 4cos2t*4sin2t *√4 dt = 32 ∫cos2t*sin2t dt= = 32 ∫(1+cos2t)/2 * (1-cos2t)/2 dt=
cos2t= (cos2t+1)/2
0
0
0
sin2t= (1-cos2t)/2
π/2
π/2
π/2
π/2
=8 ∫(1-cos22t) dt= 8 ∫sin22tdt=8 ∫(1-cos4t)/2 dt= 4 ∫ (1-cos4t) dt= 4*[t-1/4sin4t] | = 4*[ π/2-0-0+0]=2π
0
0 0
0
Odpowiedź: Masa łuku wynosi 2π.
Autor: Magdalena Cichocka, grupa 2
21.10.2013