Kolokwium I

rok 2009/2010

Zadanie 2: Oblicz masę łuku, będącego częścią okręgu x2+y2=4, leżącego w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, jeśli gęstość masy ρ(x,y,z)=x2y2.

Rozwiązanie:

L: x2+y2=4

parametryzacja:

x(t)=r cost

y(t)=r sint, gdzie 0 ≤t≤π/2 , ponieważ fragment łuku leży w pierwszej ćwiartce r okręgu wynosi 2, więc:

x(t)= 2cost

x’(t)= -2sint

y(t)= 2sint

y’(t)= 2cost oraz (x’(t))2+ (y’(t))2= 4sin2t+4cos2t=4

masa łuku L wynosi: ∫ ρ(x,y,z)dl

L

A zatem podstawiając wszystkie dane otrzymujemy całkę:

cos2t=cos2t-sin2t

π/2 π/2

π/2

cos2t+sin2t=1

∫ 4cos2t*4sin2t *√4 dt = 32 ∫cos2t*sin2t dt= = 32 ∫(1+cos2t)/2 * (1-cos2t)/2 dt=

cos2t= (cos2t+1)/2

0

0

0

sin2t= (1-cos2t)/2

π/2

π/2

π/2

π/2

=8 ∫(1-cos22t) dt= 8 ∫sin22tdt=8 ∫(1-cos4t)/2 dt= 4 ∫ (1-cos4t) dt= 4*[t-1/4sin4t] | = 4*[ π/2-0-0+0]=2π

0

0 0

0

Odpowiedź: Masa łuku wynosi 2π.

Autor: Magdalena Cichocka, grupa 2

21.10.2013