Kolokwium II

rok 2009/2010

Zadanie 4:

Funkcję

4

)

(

x

e

x

x

f







rozwiń w szereg Maclaurina, a następnie oblicz:

a)

)

0

(

)

39

(

f

b)

z dokładnością do 0.1 całkę nieelementarną







1

0

4

x

e

x

dx

Roz

wiązanie:

1) R

ozwinięcie danej funkcji w szereg Maclaurina:









0

!

n

n

x

n

x

e

, x

R



 













0

4

!

4

n

n

x

n

x

e

 











0

4

!

1

n

n

n

n

x

 

















0

1

4

!

1

4

n

n

n

x

n

x

e

x

a)

Ogólny wzór na szereg Taylora dla

0

0



x

 

 







0

!

0

n

n

n

n

x

f

1) Podstawienie

)

0

(

)

39

(

f

i porównanie do wcześniej uzyskanego rozwinięcia funkcji:

 

 

 



!

0

39

39

n

x

f

 

!

1

1

4

n

x

n

n





2)

Porównanie wykładników przy „x”:

39

4

1





n



n

N





5

,

9

Wynika z tego, że wzór rozwinięcia zadanej funkcji nie zawiera

39

x

, zatem

)

0

(

)

39

(

f

=

0

b)

Korzystając z rozwinięcia w szereg funkcji

4

)

(

x

e

x

x

f







:

4

x

e

x





=

 























!

3

!

2

!

1

13

9

5

0

1

4

x

x

x

x

n

x

n

n

n







1

0

4

x

e

x

dx

=























1

0

13

9

5

6

2



x

x

x

x

dx

=

1

0

14

10

6

2

84

20

6

2























x

x

x

x

=



84

1

20

1

6

1

2

1











6

1

2

1



=

3

1

Uzyskano taki wynik,

ponieważ liczono z dokładnością 0.1, także pod uwagę wzięto jedynie dwa

pierwsze wyrazy, gdyż

20

1

< 0.1

Odpowiedź:

)

0

(

)

39

(

f

=

0

,







1

0

4

x

e

x

z dokładnością do 0.1 =

3

1

.

Autor:

Dagmara Klos

grupa 2

21.01.2014