Kolokwium II 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2009/2010

 

 

 

Zadanie 2. 

Wyznacz promień i środek zbieżności, narysuj przedział zbieżności, zbadaj 

zbieżność (i określ jej rodzaj) w lewym krańcu przedziału zbieżności szeregu. 

 

 (   

 

(       

  

 

 

  

 

   

 

 

Rozwiązanie:

 

Przekształcamy nasz szereg tak, żeby łatwo móc znaleźć  

 

 oraz f(x). Ważne jest, 

aby przy zmiennej x nie stała żadna liczba oraz, żeby potęga, do której podnosimy wyrażenie z 

iksem była równa n. 
 

 (   

 

(       

  

 

 

  

 

   

   (   

 

 

  

(      

  

 

 

  

   (   

 

  

 

 

 

(      

  

  

 

   

 

   

  

 

   

  

 

(   

 

 

 

  

(      

  

 

 

   

 

  

 

(   

 

 

 

  

 (      

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

(   

 

 

 

  

, natomiast  (     (      

 

 

 
 

 

Środek zbieżności wyznaczymy z warunku:    ( 

 

         ( 

 

    

 

        

 

    

 

 

Promień i przedział zbieżności: 

 

Korzystamy z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamard’a. 

 

    lim

   

 

 

   

 

 

  

 

    lim

   

 

  

   

(   

   

 

   

      

 

 

 

  

  

 

(   

 

    lim

   

 

(          

       

 

  

 

(   

 

 

 

 

 

 

  

 

(   

 

    

 

  lim

   

 

    

       

   

  

 

            

 (  

 

 

 

            

 (  

 

 

  

 

 
 

 (  

, który otrzymaliśmy odnosi się do wyrażenia kwadratowego (      

 

, więc chcąc 

obliczyć promień dla wyrażenia stopnia pierwszego ( 

 

        ń          wystarczy 

spierwiastkować  

 (  

: 

 

  

 (  

   

 

 

 

 (       

 

  

  

 

  

           (     (      

 

            

 

  

  (      

 

 

 

  

                      

 
 

       

 

        

 
 

         

 
 

                ( 

 
 

  

  

 

  

Szereg jest zbieżny bezwzględnie w     ( 

 
 

  

  

 

 . 

 
 

 

 

 
 

 

 

 
 
 

 

Zbieżność w lewym krańcu przedziału zbieżności szeregu: 

 

 

 

 
 

 

 

  

 

(   

 

 

 

  

 ( 

 

    

 

 

 

   

  

 

(   

 

 

 

  

  

 
 

    

 

 

 

   

  

 

(   

 

 

 

  

   

 

  

 

 

 

 

   

 

   

 

   

 

(   

 

  

 

   

 

 
A) Żeby zbadać zbieżność i rodzaj powyższego szeregu musimy skorzystać z kryterium 
Leibniza dla  

 

 

 

  

, ponieważ szereg jest naprzemienny. 

 
 

I.   

 

   , bo                       . 

 

II.  

 

 , bo  

 

 

   ł 

  ą      ą  

 

 

III. lim

   

 

  

    

 

 
B  Żeby zbadać rodzaj zbieżności muszę sprawdzić czy  

 

(   

 

  

 

 

   

 jest zbieżny czy rozbieżny. 

   

(   

 

  

 

 

   

     

 

 

 

 

 

   

              

 
 

      , więc szereg rozbieżny. 

 

Łącząc podpunkt A  oraz B  wnioskujemy, że szereg w lewym krańcu przedziału jest zbieżny 
warunkowo. 

 

 

 

Odpowiedź:

 

Promień zbieżności szeregu:   

 

 

 
 

, środek zbieżności szeregu:   

 

   , przedział 

zbieżności bezwzględnej szeregu:      ( 

 
 

  

  

 

 , zbieżność i jej rodzaj w lewym krańcu 

przedziału zbieżności szeregu: szereg zbieżny warunkowo. 

 

 
 

 

Autor: Artur Chełchowski  grupa 2 

 

10.12.2013 

x 

 
 

 

  

 

 

x = 2 

Rx=

    

W lewym krańcu przedziału 
zbieżności, szereg jest zbieżny, 

ale nie wiemy w jaki sposób.