Kolokwium II

rok 2008/2009

Zadanie 4 :

a)

Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregu a następnie korzystając z tego kryterium wykazać, że

jest zbieżny.

b)

Sformułować twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora.

c)

Podać definicję odchylenia standardowego zmiennej losowej. Ile wynosi odchylenie standardowe dla

zmiennej losowej Y z zadania nr 1?

Rozwiązanie:

a)Twierdzenie

(Kryterium porównawcze)

Niech dane będą szeregi

i

takie,

że

Wówczas:

-

ze zbieżności szeregu

wynika zbieżność szeregu

,

-

z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu

.

Z zależności:

sin(α) ≤ α, tg(α) ≤ 2α

wynika, że:

Szereg

jest zbieżnym szeregiem Dirichleta rzędu 2, zatem

jest

również zbieżny.

b) Jeżeli:

1)

funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu

punktu x

0

2)

=0, gdzie c=

to

f(x)=

d

la każdego x

Mówimy wówczas, że funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w otoczeniu U(

Wzór Taylora rzędu n-1:

F(x) = f(

c) Odchylenie standardowe

zmiennej losowej oznacza się tradycyjnie przez σ (małe greckie sigma) i

definiuje jako pierwiastek kwadratowy wariancji. Jest ono dane wzorem:

Dla danych z zadania 1 mamy:
E(

(E(Y)

=(1*0,2+1*0,2+4*0,3

=2,56

= = 1,6248


Odchylenie standardowe wynosi 1,6248

Autor:

Ewa Kruszyńska

grupa 2

28.01.2014