Kolokwium II 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2008/2009 

 

 

Zadanie 4 :   
 

a)

Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregu a następnie korzystając z tego kryterium wykazać, że 

 

   

 
 

   

 
 

 

   

 

jest zbieżny. 

b) 

Sformułować twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora. 

c) 

Podać definicję odchylenia standardowego zmiennej losowej. Ile wynosi odchylenie standardowe dla 

zmiennej losowej Y z zadania nr 1? 

 
Rozwiązanie: 

 

 
a)Twierdzenie 

(Kryterium porównawcze) 

 
Niech dane będą szeregi  

 

 

 

   

 i  

 

 

 

   

 takie, 

że 

 

 

   

 

   

 

      

 

   

 

  Wówczas: 

 
- 

ze zbieżności szeregu  

 

 

 

   

 

wynika zbieżność szeregu  

 

 

 

   

,  

 
-

z rozbieżności szeregu  

 

 

 

   

 

wynika rozbieżność szeregu 

 

 

 

   

. 

 
 

Z zależności: 

sin(α) ≤ α, tg(α) ≤ 2α

 

wynika, że: 

 

 

       

 
 

     

 
 

 

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

Szereg

  

 

 

 

 

   

  

jest zbieżnym szeregiem Dirichleta rzędu 2, zatem    

   

 
 

   

 
 

 

   

  jest 

również zbieżny. 

 
b) Jeżeli: 
 

1) 

funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu 

 

  

    

    

 

      

 

           

punktu x

0

 

2) 

   

     

    

 

   

   

 

   

   

  

      

 

 

 

=0, gdzie c=

 

 

         

 

                 

 

 

to       

f(x)= 

 

 

  

 

 

  

 

   

      

 

 

 

   

     

d

la każdego x

     

 

     

 
Mówimy wówczas, że funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w otoczeniu U(

 

 

     

Wzór Taylora rzędu n-1: 
 

F(x) = f(

 

 

   

 

 

  

 

 

  

      

 

     

 

     

  

 

 

      

      

 

 

   

 

 

   

   

  

      

 

 

 

 

 
c) Odchylenie standardowe 

zmiennej losowej oznacza się tradycyjnie przez σ (małe greckie sigma) i  

definiuje jako pierwiastek kwadratowy wariancji. Jest ono dane wzorem: 
 
 

        

 

          

 

 

 
Dla danych z zadania 1 mamy: 
E(

 

 

                                           

(E(Y)

 

 

=(1*0,2+1*0,2+4*0,3

 

 

=2,56 

 
                  =        = 1,6248 
 
 
Odchylenie standardowe wynosi 1,6248 
 

Autor: 

Ewa Kruszyńska

 

grupa 2 

 

28.01.2014