2008/2009
∞
(−4) n⋅ x 2n
Zad.2.Wyznaczyć zbiór tych x∈ R , dla których szereg ∑
jest
n
2n
=1
zbieżny ( ustalić także rodzaj zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału zbieżności.
1. Chcąc wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego zgodnie z twierdzeniem Cauchy'ego-Hadamarda, muszę uporządkować wyrazy szeregu aby wyraźnie zauważyć a oraz f n
( x)
∞
∞
∑ (−4) n⋅(( x−0)2) n (−4) n
=∑
⋅(( x−0)2) n f ( x) n
2n
2n
=1
n=1
an
Teraz wyliczę odwrotność promienia zbieżności.
a
(−4 n+1)
2n
(−4 n)⋅(−4)
2n
λ=lim ∣ n+1∣=lim ∣
⋅
∣=lim ∣
⋅
∣=¿
n →∞
a
2
2n
n
n→∞
( n+1) (−4) n
n→∞
(−4) n
+2
(−4 n)⋅(−4)
2n
1
lim ∣
⋅
∣=∣−4∣=4 ⇒ Rx 2=
n→∞
(−4) n
1
4
2n(1+
)
2n
1
[∞ ]=0
2. Szukam środka przedziału zbieżności dla x 2
( x−0)2=0 ⇒ x=0
1 1
1
1
x 2
1 1
∈(− ; ) i x 2≥0 ⇒ x 2∈〈0 ; 〉−{ }⇒ dla x∈(− ; ) szereg jest 4 4
4
4
2 2
bezwzględnie zbieżny.
Rx
x
-0,5
0
0,5
2008/2009
3.Sprawdzam zbieżność na krańcach.
1
• x=−
b
2
n
−1 2n
1 n
(−4) n⋅(
)
(4) n⋅( ) ⋅(−1) n
∞
∞
∞
∞
∑
2
4
(−1) n
1
=∑
∑
=∑
⋅(−1) n
2n
2n
2n
2n
n=1
n=1
n=1
n=1
Z kryterium Leibnitza dla szeregu przemiennego 1
1
1
*czy bn > 0 ? TAK, ponieważ b =
⩾
= >0
n
2n 2⋅1 2
ciąg stały
*czy bn jest malejący? TAK, ponieważ bn=
b jest zbieżny
ciąg rosnący
n
1
1
*czy lim b
b =lim
=[
n =0 ? TAK, lim
n
∞ ]=0
n→∞
n→∞
n→∞ 2n
Czy okaże się to zbieżność bezwzględna? Liczę :
∞
∞
∑ 1
1
1
∣
⋅(−1) n∣= ∑
α=1 szereg rozbieżny
n
2n
2
=1
n=1 n 1
1
Dla x=−
podany szereg jest jedynie zbieżny warunkowo.
2
1
• x= 2
1 2n
1 n
(−4) n⋅( )
(4) n⋅( ) ⋅(−1) n
∞
∞
∞
∞
∑
2
4
(−1) n
1
=∑
∑
=∑
⋅(−1) n
2n
2n
2n
2n
n=1
n=1
n=1
n=1
1
1
Widać, że ostateczna forma szeregu dla x=
jest identyczna jak dla x=−
,
2
2
a więc dla x 1
=
szereg podany w treści zadania jest również zbieżny warunkowo.
2
4. Wyznaczam sumę szeregu:
∞
x 2n
∞
x
∞ x
S ( x)= ∑ (−4) n⋅
= ∑ (−4) n∫ t 2n−1 dt= ∑ ∫ (−4) n t 2n−1 dt =
n=1
2n n=1
0
n=1 0
2008/2009
∞
x
∞
x
= ∑∫ (−1) n⋅22n t 2n−1 dt=∑∫ (−1) n⋅22n−1⋅2⋅ t 2n−1 dt =
n=1 0
n=1 0
∞
x
x
= 2 ∑∫ (−1) n⋅(2t)2n−1 dt=2∫(−2t+8t3−32t5+128t7−...) dt =
n=1 0
0
a
z sumy ciągu geometrycznego dla ∣ q∣<1⇒ S ( x)=
1
1− q
a =−2t , q=−4t2
1
x
−2t
= 2∫
dt = 4t2+1= u,8 tdt= du ,t=0→ u=1, t= x→ u=4x2+1 =
0 1+ 4t 2
1 4x2+1 1
1
1
1
= −
∫ du=− [ln∣ u∣]4x2+1=− (ln∣4x2+1∣−ln∣1∣)=− ln∣4x2+1∣
2
u
2
1
2
2
1
ln 1=0 ! !
∞ (−4) n⋅ x 2n
1 1
Odpowiedź: Szereg ∑
jest bezwzględnie zbieżny dla x∈(− ; ) n=1
2n
2 2
i zbieżny warunkowo na krańcach tego przedziału. Promień zbieżności wynosi 1
1
R =
. Suma szeregu równa się S ( x)=− ln∣4x2+1∣ .
x
2
2
Karolina Grynowiecka, gr. 10