Egzamin
rok 2008/2009
Zadanie 3 :
Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu
⃗r(t)=[t−sint ,1−cost , 4sin t
2
]
w punkcie odpowiadającym
t
0
= π
2
.
Jaki kąt tworzy ta styczna z osią OZ? Obliczyć
krzywiz
nę
⃗r(t)
w punkcie
t
0
.
Rozwiązanie:
Nasza krzywa:
⃗r(t)=[t−sint ,1−cost , 4sin t
2
]
Liczymy pierwszą i drugą pochodną:
⃗r' (t)=[1−cost , sint , 2cos t
2
]
⃗r' ' (t)=[ sint , cost ,−sin t
2
]
Wyznaczamy wartości w punkcie
t
0
:
⃗r(
π
2
)=[ π
2
−1,1, 2
√
2]
⃗r' (
π
2
)=[1, 1,
√
2]
⃗r' ' ( π
2
)=[1, 0,−
√
2
2
]
Prosta styczna wyraża się wzorem:
x=
x
0
+ s
T
1
y=
y
0
+ s
T
2
z=
z
0
+ s
T
3
A wektor normalny T:
⃗
T =
⃗r ' (t)
Więc nasza prosta to:
x=
π
2
−1
+ s
y=
1
+ s
z=
2
√
2
+
√
2
s
Aby wyznaczy
ć kąt pomiędzy styczną a osią OZ musimy pomnożyć skalarnie
wersor osi OZ
⃗k
oraz wektor
⃗
T
⃗k=[0,0,1]
∣⃗k∣=1
∣⃗
T∣=
√
1+1+2=2
⃗k∘ ⃗T=∣⃗k∣⋅∣⃗T∣⋅cos
α
⃗k∘ ⃗T=[0,0,1]∘[1,1 ,
√
2 ]=
√
2
√
2=1⋅2⋅cos
α
