Kolokwium I 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2009/2010

 

 

 
Zadanie 1:  

a) Zbadać, czy pole wektorowe 

         

 

 

   

                     

 

     

   

       spełnia warunek 

wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał. 
b) Sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć 

       

      

 

 

   

                          

 

           

   

     

  

 

         jeżeli A(0,4,0) i B(0,0,2). 

 
Rozwiązanie: 

a) 

Warunek wystarczający istnienia pola potencjału 

   

Niech D= 

 

 

   

 

      

 

   

 

      

 

   

 

   Wówczas pole  

                jest potencjalne w obszarze D wtedy i 

wtylko wtedy, gdy rot

 

                    dla każdego (x,y,z) D. 



 

Sprawdzam istnienie potencjału pola  

  , czy rot           

rot 

      

  

  

   

 

  

 

  

 

  

   

 

 

   

                    

 

   

   

     

  = [-6z+6z,-(-4z 

   

+4z

 

   

), -2siny+2siny] =

      

 

     

                

     

 

         Zatem     jest polem potencjalnym. 



 

Wyznaczam potencjał pola. Jeżeli pole wektorowe  

   jest polem potencjalnym to 

 

 

  

 

                

 

   

 

   

 

          

 

      

 

      

 

    

 
 

 

     

 

 

   

          

 

/

       

     

 

 

   

                     

    

 

 

             

 

 

                     

 

 

 

 

 

            

 

 

 

 

         

              

 

       

     

 

 

   

              

 

       

    

 

 

    

 

 

   

         

 

        

 

 

   

      

 

 

        

         
              

 

 

   

              

 

    , gdzie A jest dowolną stałą 

b) 

Twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi 

Załóżmy, że pole wektorowe  

   jest potencjalne w obszarze Dc 

 

 (

 

 

  i           , wówczas          

       

  

 

            gdzie   

  jest dowolnie zorientowanym kawałkami gładki łuk o początku A i końcu B, całkowicie 

zawartym w D. 

      

 

 

   

                          

 

           

   

     

  

 

                                        

    

 

                          

Odpowiedź:  

a) Pole   

   ma potencjał i jest on równy      

 

 

   

              

 

    , gdzie A jest dowolną stałą. 

b) Z twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od drogi  

     

 

 

   

                          

 

           

   

     

  

 

        

Autor: 

Katarzyna Dzieżyk  grupa 10 

28.10.2013