Kolokwium I

rok 2009/2010

Zadanie 1:

a) Zbadać, czy pole wektorowe

spełnia warunek

wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.
b) Sformułować twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć

jeżeli A(0,4,0) i B(0,0,2).

Rozwiązanie:

a)

Warunek wystarczający istnienia pola potencjału

Niech D=

Wówczas pole

jest potencjalne w obszarze D wtedy i

wtylko wtedy, gdy rot

dla każdego (x,y,z) D.



Sprawdzam istnienie potencjału pola

, czy rot

rot

= [-6z+6z,-(-4z

+4z

), -2siny+2siny] =

Zatem jest polem potencjalnym.



Wyznaczam potencjał pola. Jeżeli pole wektorowe

jest polem potencjalnym to

/

, gdzie A jest dowolną stałą

b)

Twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej od drogi

Załóżmy, że pole wektorowe

jest potencjalne w obszarze Dc

(

i , wówczas

gdzie

jest dowolnie zorientowanym kawałkami gładki łuk o początku A i końcu B, całkowicie

zawartym w D.

Odpowiedź:

a) Pole

ma potencjał i jest on równy

, gdzie A jest dowolną stałą.

b) Z twierdzenia o niezależności całki krzywoliniowej od drogi

Autor:

Katarzyna Dzieżyk grupa 10

28.10.2013