Kolokwium I 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2010/2011 

 

                                                                    

 

Zadanie 3

 : 

Obliczyć: ∫

L 

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy  , jeżeli: L: {y=2√x } jest łukiem skierowanym od punktu A(1,2) do 

punktu B(4,4).  

 

Rozwiązanie:  
 

1) 

Wykresy:   

                 y=2√x                                                            y=2√x   z uwzględnieniem punktów A i B 

    

 

 

2) 

Łuk AB  →   łuk gładki zorientowany ( od punktu A do B) dany wykresem funkcji klasy C

1

, 

określonej wzorem  y=y(x), (y=2√x ) , x z przedziału [a,b] ( [1,4] ).  

 

3) 

Wykorzystujemy wzór na całkę krzywoliniową zorientowaną:  

 

∫

L 

Pdx + Qdy=

a

 ∫

b 

[P(x, y(x) ) + Q(x, y(x) )

 

* y′(x) ]dx 

 

4) 

Obliczamy brakujące dane: 

 

y=2√x 
y′= 1/√x 

 

5) 

Podstawiamy dane do wzoru: 

 

 
∫

L 

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy =  

1

 ∫

4

 [ 2x

2

 + (2√x)

2

 –x

2

(2√x)(1/√x) ]dx = 

1

 ∫

4

 (2x

2 

+ 4x - 2x

2

)dx = 

 

=

 1

 ∫

4 

4x dx =  2x

2

 |

1

4

 

 

= 2(16-1) = 30 

 
 
 
 
Odpowiedź: 

∫

L 

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy = 30.  

 
 
 

Autor: Magdalena Cymkowska,  grupa 2 

 

17.10.2013