Kolokwium I

rok 2010/2011

Zadanie 3

:

Obliczyć: ∫

L

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy , jeżeli: L: {y=2√x } jest łukiem skierowanym od punktu A(1,2) do

punktu B(4,4).

Rozwiązanie:

1)

Wykresy:

y=2√x y=2√x z uwzględnieniem punktów A i B

2)

Łuk AB → łuk gładki zorientowany ( od punktu A do B) dany wykresem funkcji klasy C

1

,

określonej wzorem y=y(x), (y=2√x ) , x z przedziału [a,b] ( [1,4] ).

3)

Wykorzystujemy wzór na całkę krzywoliniową zorientowaną:

∫

L

Pdx + Qdy=

a

∫

b

[P(x, y(x) ) + Q(x, y(x) )

* y′(x) ]dx

4)

Obliczamy brakujące dane:

y=2√x
y′= 1/√x

5)

Podstawiamy dane do wzoru:

∫

L

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy =

1

∫

4

[ 2x

2

+ (2√x)

2

–x

2

(2√x)(1/√x) ]dx =

1

∫

4

(2x

2

+ 4x - 2x

2

)dx =

=

1

∫

4

4x dx = 2x

2

|

1

4

= 2(16-1) = 30

Odpowiedź:

∫

L

(2x

2

+y

2

)dx – x

2

ydy = 30.

Autor: Magdalena Cymkowska, grupa 2

17.10.2013