rok 2010/2011
Zadanie 5:
a) Obliczyć krzywiznę i promień krzywizny krzywej L: { x2+y2=1 , z=y } w punkcie P(1,0,0) b) co znaczy, że punkt M0(OM=r(t0)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma punkty wyprostowania?
Rozwiązanie:
a) 1) wzory na krzywiznę i promień krzywizny krzywej: χ(t)= ∣ r' ( t)× r ' ' ( t)∣ , R(t)= 1
∣ r ' ( t)∣3
χ
2) parametryzacja krzywej L:
x=cost , y=sint, z=sint, t=0
3) r(t) i pochodne potrzebne do dalszych obliczeń: r(t)= [ cost , sint , sint ] , r(t0= 0) = [ 1 , 0 , 0]
r’(t) = [ -sint , cost , cost ] , r’(t0=0) = [0 , 1 , 1]
r’ (t) = [ -cost , -sint , -sint ] , r’ (t0=0) = [-1 , 0 , 0]
4) obliczenia dla χ(t) i R(t) :
B(t0) = r’(t0) x r’ (t0) = ( i j k 0
1 1) =[0 , -1 , 1]
−1
0 0
|B(t0)| = √2 , |r’(t0)|= √2
Liczę krzywiznę krzywej:
χ(t)= √2 = 1
√23
2
1
Liczę promień krzywizny krzywej:
R(t)= 1 = 2
2
b)
1) definicja punktu wyprostowania krzywej: Punkty krzywej L: r=r(t) dla których χ(t)=0 nazywa-my punktami wyprostowania krzywej L.
χ(t)=0 → r’(t) x r’(t) = [0 , 0 , 0]
2) liczę punkt wyprostowania krzywej:
r(t)= [ cost , sint , sint ]
r’(t) x r’ (t) = ( i
j
k
− s i n t
c o s t
c o s t ) =[-sintcost + sintcost , -cos2t-sin2t , sin2t + cos2t] = [0 , -1 , 1]
− c o s t
− s i n t
− s i n t
|B(t)| = √2 , |r’(t)|= √ sin 2 t+2 c os 2 t = √1+ co s 2 t χ(t)=
√2
> 0 bo 1
√
3
+ c o s 2 t > 0 - Brak punktu wyprostowania krzywej.
1+ c o s 2 t
Odpowiedź: a) Krzywizna krzywej: χ(t)= √2 = 1
√23 2
1
Promień krzywizny krzywej:
R(t)= 1 = 2
2
b) Brak punktu wyprostowania krzywej.
Autor: Katarzyna D. grupa 2
22.11.2013