Egzamin poprawkowy GiK 

 

 

 

 

 

 

rok 2010/2011

 

 

 

Zadanie 1:

 

Wiedząc, że 

              

 

 

 

       

 

    

 

       jest potencjałem pola wektorowego     

wyznaczyć pole 

   , sprawdzić czy jest ono bezźródłowe oraz obliczyć          

 

, gdzie L jest dowolnym 

łukiem zamkniętym kawałkami gładkim. 

 
 

Rozwiązanie: 



 

Pole skalarne f 

jest potencjałem pola wektorowego 

   jeżeli grad f = [ 

 

   

 

   

 

]=

             

grad f = [

  

 

 

 

      

 

   

 

     

 

       

 

         

 

 

 

      

 

    

 

 , zatem 

     [  

 

 

 

      

 

   

 

     

 

       

 

         

 

 

 

      

 

    

 

  



 

Korzystam z dywergencji pola wektorowego 

                          

div

    

  
  

 

  
  

 

  

  

   

 

   

 

   

 

 

div

        

 

      

 

                       

 =>    Pole 

   jest źródłowe (nie jest bezźródłowe) 



 

Z twierdzenia Greena 

Obszar 

     

 

 

jest domknięty i zamknięty względem osi oraz normalny. 

 
Brzeg L obszaru musi być dodatnio zorientowany. 
Pole 

               jest różniczkowalne w sposób ciągły. 

                        

 

   

 

     

 

 

 

 
P=

  

 

 

 

      

 

   

 

  

Q=

  

 

       

 

         

P i Q są różniczkowalne w sposób ciągły, ponieważ są to wielomiany. 

 

 

    

 

      

 

      

 

 

    

 

      

 

      

        

 

      

 

   

 

     

 

       

 

      

 

          

 

      

 

              

 

 

Poza tym z 

wykładu wiadomo, że jeżeli pole jest potencjalne (a nasze pole 

   ma potencjał), to całka 

po łuku zamkniętym, kawałkami gładkim w tym polu zawsze wynosi zero. 
 

Odpowiedź:

 

Pole wektorowe wynosi  

 

     [  

 

 

 

      

 

   

 

     

 

       

 

         

 

 

 

      

 

    

 

  

i jest ono źródłowe. Całka    

        

 

    

 

 

Autor:

 

Katarzyna Dzieżyk

  

grupa 

10 

 

29.11.2013 r.