Kolokwium II

rok 2010/2011

Zadanie 4:

a)

Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregu a następnie korzystając z tego kryterium wykazać, że

jest zbieżny.

b)

Podać warunek konieczny zbieżności szeregu oraz sprawdzić , czy zbieżny jest szereg

Rozwiązanie:

a)Twierdzenie

(Kryterium porównawcze)

Niech dane będą szeregi

i

takie,

że

Wówczas:

-

ze zbieżności szeregu

wynika zbieżność szeregu

,

-

z rozbieżności szeregu

wynika rozbieżność szeregu

.

Z zależności:

sin(α) ≤ α, tg(α) ≤ 2α

wynika, że:

Szereg

jest zbieżnym szeregiem Dirichleta rzędu 2, zatem

jest

również zbieżny.

b) Jeżeli:

Szereg

jest zbieżny, to

= 0.

Uwaga!!!
Jeżeli

To szereg

jest rozbieżny

Ale:

jeżeli

= 0, to jeszcze o niczym nie świadczy – należy wówczas spróbować innej metody !!!

=

=

=

=1

Czyli 1

0

Więc mamy do czynienia z szeregiem rozbieżnym

Autor:

Ewa Kruszyńska

grupa 2

28.01.2014