Kolokwium II 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2010/2011 

 

 

Zadanie 4:   
 

a) 

Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregu a następnie korzystając z tego kryterium wykazać, że 

 

   

 
 

   

 
 

 

   

 

jest zbieżny. 

b) 

Podać warunek konieczny zbieżności szeregu oraz sprawdzić , czy zbieżny jest szereg  

    

       

 

 

   

  

 

 
Rozwiązanie: 

 

 
a)Twierdzenie 

(Kryterium porównawcze) 

 
Niech dane będą szeregi  

 

 

 

   

 i  

 

 

 

   

 takie, 

że 

 

 

   

 

   

 

      

 

   

 

  Wówczas: 

 
- 

ze zbieżności szeregu  

 

 

 

   

 

wynika zbieżność szeregu  

 

 

 

   

,  

 
-

z rozbieżności szeregu  

 

 

 

   

 

wynika rozbieżność szeregu 

 

 

 

   

. 

 
 

Z zależności: 

sin(α) ≤ α, tg(α) ≤ 2α

 

wynika, że: 

 

 

       

 
 

     

 
 

 

 
 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

Szereg

  

 

 

 

 

   

  

jest zbieżnym szeregiem Dirichleta rzędu 2, zatem    

   

 
 

   

 
 

 

   

  jest 

również zbieżny. 

 
 
 
b) Jeżeli: 
 
Szereg 

 

 

 

jest zbieżny, to 

   

   

 

 

 = 0. 

 
Uwaga!!! 
Jeżeli 

   

   

 

 

                                                      

To szereg 

 

 

 

jest rozbieżny 

 

Ale: 

jeżeli 

   

   

 

 

 = 0, to jeszcze o niczym nie świadczy – należy wówczas spróbować innej metody !!! 

 

      

           

 

 

   

  

 
   

   

    

       

 

 =   

   

    

       

 

 

       
       

 =   

   

   

 

           

=

     =1 

 
Czyli 1

 0 

Więc mamy do czynienia z szeregiem rozbieżnym 

 

 

Autor: 

Ewa Kruszyńska

 

grupa 2 

 

28.01.2014