Egzamin poprawkowy

rok 2010/2011

Zadanie 4:

Funkcję

)

4

sin(

4

)

(

2

2

x

x

x

f



rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie korzystając z tego

rozwinięcia obliczyć:

a)

),

0

(

)

44

(

f

b)



1

0

)

( dx

x

f

z dokładnością do 0,01.

Rozwi

ązanie:

Funkcję

)

4

sin(

4

)

(

2

2

x

x

x

f



możemy rozwinąć w szereg Maclaurina korzystając z dostępnych zależności:















0

1

2

)!

1

2

(

)

1

(

)

sin(

n

n

n

n

x

x































































4

*

4

*

)!

1

2

(

)

1

(

4

*

)!

1

2

(

)

1

(

)

4

sin(

2

2

2

0

1

2

2

0

2

x

x

n

x

n

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

x

n

x

x

x

n

x

x

4

0

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

*

)!

1

2

(

)

1

(

4

)!

1

2

(

)

1

(

4

*

4

4

*

)!

1

2

(

)

1

(

)

4

sin(

4





















































































Rozwinięcie szeregu równa się więc:

n

n

n

x

n

x

x

x

f

4

0

2

2

2

*

)!

1

2

(

)

1

(

4

sin

4

)

(







































a) Obliczenie

)

0

(

)

44

(

f

n

n

n

n

x

x

f

4

4

44

)

44

(

2

)!*

1

2

(

*

)

1

(

!

44

*

)

0

(







W celu wyliczenia „n” należy przyrównać potęgi nad „x”

N

n

n

n







11

44

4

Wracamy z wyliczonym n do równania:

44

)

44

(

44

44

44

)

44

(

44

44

11

44

)

44

(

2

!*

23

!

44

)

0

(

2

!*

23

*

)

1

(

!

44

*

)

0

(

2

)!*

1

22

(

*

)

1

(

!

44

*

)

0

(















f

x

x

f

x

x

f

Odp.

44

)

44

(

2

!*

23

!

44

)

0

(





f

b)Wyliczenie



1

0

)

( dx

x

f

z dokładnością do 0,01.

W celu policzenia zadanej wyżej całki korzystamy z rozwinięcia Maclaurina











































































































...

2

!*

7

*

13

1

2

!*

5

*

9

1

2

!*

3

*

5

1

1

...

2

!*

7

*

13

2

!*

5

*

9

2

!*

3

*

5

)

2

*

)!

1

2

(

)

1

(

...

2

!*

7

2

!*

5

2

!*

3

1

(

2

*

)!

1

2

(

)

1

(

)

(

12

13

8

9

4

5

1

0

12

13

8

9

4

5

4

12

12

8

8

1

0

1

0

4

4

4

0

1

0

x

x

x

x

dx

x

n

x

x

x

dx

x

n

dx

x

f

n

n

n

n

n

00208

,

0

480

1

2

!*

3

*

5

1

4

5





jest to liczba wykraczająca poza zadaną dokładność nie bierzemy więc jej i

następnych pod uwagę w rozwiązaniu. Oznacza to, że przybliżenie

1

)

(

1

0





dx

x

f

.

Odpowiedź:

a)

44

)

44

(

2

!*

23

!

44

)

0

(





f

b) Przybliżenie



1

0

)

( dx

x

f

z dokładnością do 0,01 wynosi 1

Autor: Anna B. grupa 2

25.01.2014