Egzamin poprawkowy
rok 2010/2011
Zadanie 4:
Funkcję
)
4
sin(
4
)
(
2
2
x
x
x
f
rozwinąć w szereg Maclaurina, a następnie korzystając z tego
rozwinięcia obliczyć:
a)
),
0
(
)
44
(
f
b)
1
0
)
( dx
x
f
z dokładnością do 0,01.
Rozwi
ązanie:
Funkcję
)
4
sin(
4
)
(
2
2
x
x
x
f
możemy rozwinąć w szereg Maclaurina korzystając z dostępnych zależności:
0
1
2
)!
1
2
(
)
1
(
)
sin(
n
n
n
n
x
x
4
*
4
*
)!
1
2
(
)
1
(
4
*
)!
1
2
(
)
1
(
)
4
sin(
2
2
2
0
1
2
2
0
2
x
x
n
x
n
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
x
x
x
n
x
x
4
0
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
*
)!
1
2
(
)
1
(
4
)!
1
2
(
)
1
(
4
*
4
4
*
)!
1
2
(
)
1
(
)
4
sin(
4
Rozwinięcie szeregu równa się więc:
n
n
n
x
n
x
x
x
f
4
0
2
2
2
*
)!
1
2
(
)
1
(
4
sin
4
)
(
a) Obliczenie
)
0
(
)
44
(
f
n
n
n
n
x
x
f
4
4
44
)
44
(
2
)!*
1
2
(
*
)
1
(
!
44
*
)
0
(
W celu wyliczenia „n” należy przyrównać potęgi nad „x”
N
n
n
n
11
44
4
Wracamy z wyliczonym n do równania:
44
)
44
(
44
44
44
)
44
(
44
44
11
44
)
44
(
2
!*
23
!
44
)
0
(
2
!*
23
*
)
1
(
!
44
*
)
0
(
2
)!*
1
22
(
*
)
1
(
!
44
*
)
0
(
f
x
x
f
x
x
f
Odp.
44
)
44
(
2
!*
23
!
44
)
0
(
f
b)Wyliczenie
1
0
)
( dx
x
f
z dokładnością do 0,01.
W celu policzenia zadanej wyżej całki korzystamy z rozwinięcia Maclaurina
