Egzamin poprawkowy
rok 2010/2011
Zadanie 3 : Wykazać, że krzywa r(t)= [-t2+t+3, t2-2t+7, 3t+1] jest płaska. Napisać równanie płaszczyzny, w której leży krzywa r(t).
Rozwiązanie: Punkty krzywej L, dla których σ(t)=0 nazywamy punktami spłaszczenia krzywej L.
σ(t)= B(t) o r’ ’(t) / |B(t)|2
r’(t)= [-2t+1, 2t-2, 3]
r’ (t)=[-2,2,0]
r’ ’(t)[0,0,0] --> patrząc na wzór, możemy już teraz wywnioskować, że σ(t)=0 co wykazuje, że krzywa jest płaska.
Teraz wyznaczam płaszczyznę ściśle styczną, w której leży krzywa r(t).
B(t)= i j k = [0-6;-6-0;4t+2-(-4t+4)]=[-6,-6,-2]
-2t+1 2t-2 3
-2 2 0
szukamy dowolnego punktu t należącego do L , np. t=0 i wtedy otrzymujemy pkt. P (3,7,1) πśs: -6(x-3)-6(y-7)-2(z-1)= 0.
Odpowiedź: σ(t)=0, więc krzywa jest płaska. Płaszczyzna, w której leży przedstawia się równaniem: πśs: -6(x-3)-6(y-7)-2(z-1) =0.
Autor: Magdalena Cichocka grupa 2
23.11.2013