Kolokwium I

rok 2010/2011

Zadanie 5:

a)

Obliczyć krzywiznę i promień krzywizny krzywej L: { x

2

+y

2

=1 , z=y } w punkcie P(1,0,0)

b)

co znaczy, że punkt M0(OM=r(t

0

)) jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma

punkty wyprostowania?

Rozwiązanie:

a) 1) wzory na krzywiznę i promień krzywizny krzywej:

χ(t)=

∣

r

'

(

t

)

×

    r

' '

(

t

)

∣

∣

r

'

(

t

)

∣

3

 

,

R(t)= 1

χ

2) parametryzacja krzywej L:

x=cost , y=sint, z=sint, t=0

3) r(t) i pochodne potrzebne do dalszych obliczeń:

r(t)= [ cost , sint , sint ] , r(t

0

=

0

) = [ 1 , 0 , 0]

r’(t) = [ -sint , cost , cost ] , r’(t

0

=0) = [0 , 1 , 1]

r’’(t) = [ -cost , -sint , -sint ] , r’’(t

0

=0) = [-1 , 0 , 0]

4) obliczenia dla χ(t) i R(t) :

B(t

0

) = r’(t

0

) x r’’(t

0

) =

(

i

j

k

0

1 1

−

1 0 0

)

=[0 , -1 , 1]

|B(t

0

)| =

√

2

,

|r’(t

0

)|=

√

2

Liczę krzywiznę krzywej:

χ(t)=

√

2

√

2

3

=

1
2

Liczę promień krzywizny krzywej:

R(t)=

1
1
2

= 2

b)

1) definicja punktu wyprostowania krzywej:

χ(t)=0

→

r’(t)

x

r’’(t) = [0 , 0 , 0]

2) liczę punkt wyprostowania krzywej:

r(t)= [ cost , sint , sint ]

r’(t) x r’’(t) =

(

i

j

k

−

s i n t

c o s t

c o s t

−

c o s t −s i n t −s i n t

)

=[-sintcost + sintcost , -cos

2

t-sin

2

t , sin

2

t + cos

2

t] = [0 , -1 , 1]

|B(t)| =

√

2

,

|r’(t)|=

√

s i n

2

t+2 c o s

2

t

=

√

1+c o s

2

t

χ(t)=

√

2

√

1+c o s

2

t

3

 

> 0 bo

1+c o s

2

t >

0 -

Brak punktu wyprostowania krzywej.

Odpowiedź: a)

Krzywizna krzywej:

χ(t)=

√

2

√

2

3

=

1
2

Promień krzywizny krzywej:

R(t)=

1
1
2

= 2

b)

Brak punktu wyprostowania krzywej.

Autor: Katarzyna D. grupa 2

22.11.2013

Punkty krzywej L: r=r(t) dla których χ(t)=0 nazywa-

my punktami wyprostowania krzywej L.