Kolokwium I

rok 2009/2010

Zadanie 2:

Oblicz masę łuku, będącego częścią okręgu x

2

+y

2

=4, leżącego w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych, jeśli gęstość masy ρ(x,y,z)=x

2

y

2

.

Rozwiązanie:

L: x

2

+y

2

=4

parametryzacja:
x(t)=r cost
y(t)=r sint, gdzie 0

≤t≤π/2 , ponieważ fragment łuku leży w pierwszej ćwiartce

r okręgu wynosi 2, więc:
x(t)= 2cost

x’(t)= -2sint

y(t)= 2sint

y’(t)= 2cost oraz (x’(t))

2

+ (y’(t))

2

= 4sin

2

t+4cos

2

t=4

masa łuku L wynosi: ∫ ρ(x,y,z)dl

L

A zatem

podstawiając wszystkie dane otrzymujemy całkę:

π/2 π/2

π/2

∫ 4cos

2

t*4sin

2

t *

√4 dt = 32 ∫cos

2

t*sin

2

t dt= =

32 ∫(1+cos2t)/2 * (1-cos2t)/2 dt=

0

0

0

π/2

π/2

π/2

π/2

=

8 ∫(1-cos

2

2t) dt=

8 ∫sin

2

2tdt=

8 ∫(1-cos4t)/2 dt= 4 ∫ (1-cos4t) dt= 4*[t-1/4sin4t] | = 4*[ π/2-0-0+0]=2π

0

0 0

0

Odpowiedź:

Masa łuku wynosi 2π.

Autor: Magdalena Cichocka, grupa 2

21.10.2013

cos2t=cos

2

t-sin

2

t

cos

2

t+sin

2

t=1

cos

2

t= (cos2t+1)/2

sin

2

t= (1-cos2t)/2