Kolokwium II
rok 2009/2010
4
x
Zadanie 4: Funkcję f ( x) x e rozwiń w szereg Maclaurina, a następnie oblicz: a)
(
)
39
f
( )
0
1
4
x
b) z dokładnością do 0.1 całkę nieelementarną
x e
dx
0
Rozwiązanie:
1) Rozwinięcie danej funkcji w szereg Maclaurina:
n
x
x
e
, x R
n
n
!
0
4 n
n 4 n
4
x
x
1 x
e
n
n
!
0
n
n
!
0
n
n
4
x
x
4 1
x e
1
n
n
!
0
n
f
0 n
x
a) Ogólny wzór na szereg Taylora dla x 0
0
n
n
!
0
1) Podstawienie
(
)
39
f
( )
0 i porównanie do wcześniej uzyskanego rozwinięcia funkcji:
39
f
0 39
x
n 4
1
1
x n
n !
n !
2) Porównanie wykładników przy „x”: 1 4 n 39 n
5
,
9 N
Wynika z tego, że wzór rozwinięcia zadanej funkcji nie zawiera 39
x , zatem
(
)
39
f
( )
0 = 0
4
x
b) Korzystając z rozwinięcia w szereg funkcji f ( x) x e
:
n 4 n1
9
4
x
1
13
x
x
x
x e
=
x 5
x
n
n
0
!
2 !
3 !
1
1
9
13
1
2
6
10
14
x
x
x
x
x
x
x
4
x
e
dx
5
= x x
dx =
=
2
6
2
6
20
84
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
=
2
6
20
84
2
6
3
Uzyskano taki wynik, ponieważ liczono z dokładnością 0.1, także pod uwagę wzięto jedynie dwa 1
pierwsze wyrazy, gdyż
< 0.1
20
1
4
1
Odpowiedź:
x
(
)
39
f
( )
0 = 0 ,
x e
z dokładnością do 0.1 =
.
3
0
Autor: Dagmara Klos grupa 2
21.01.2014