D E FIN ICJA . L iczba zespolona, t o lic z b a
z = a + bi, g d z ie a o r a z b t o lic z b y r z e c z y-
wis t e , n a t o m ia s t i t o jednostka urojona o wla s n o ś c i i2 = −1 .
L ic z b a a t o cz¸eść rzeczywista lic z b y z, lic z b a b t o cz¸eść urojona lic z b y z.
Sprz¸eżeniem lic z b y z n a z ywa m y lic z b ¸e
−
z = a − bi.
Cz a s a m i je d n o s t k¸e u r o jo n a¸ i o z n a c z a s i¸e p r z e z j.
D ZIA L A N IA n a lic z b a c h z e s p o lo n yc h d e fi n iu je s i¸e n a s t ¸e p u jaç o : 1 . ( a1 + b1i) + ( a2 + b2i) = ( a1 + a2) + ( b1 + b2) i;
2 . ( a1 + b1i) − ( a2 + b2) i = ( a1 − a2) + ( b1 − b2) i;
3 . ( a1 + b1i) ( a2 + b2i) = ( a1a2 − b1b2) + ( a1b2 + b1a2) i;
4 . a1+b1i = a1a2+b1b2 + b1a2−a1b2 i, o ile
a2
a2+b2i
a2+b2
a2+b2
2 + b2
2 = 0 .
2
2
2
2
TW IE R D ZE N IE . R o z wia¸ z a n ia m i r ó wn a n ia kwa d r a t o we g o
az2 + bz + c = 0
( t u t a j
a, b, c t o d o wo ln e lic z b y z e s p o lo n e o r a z
a = 0 ) s a¸ z1 = −b−p o r a z z
, g d z ie
2a
2 = −b+p
2a
√
p je s t t a ka¸ lic z b a¸ , z˙e
p2 = b2 − 4 ac ( c z yli p = ∆ , a m ó wiaç p r e c yz yjn ie j, p je s t
d o wo ln ie wyb r a n ym
- je d n ym
z d wó c h - p ie r wia s t kó w z ∆ ) .
Uzasadnienie. W
yka z˙e m y, z˙e
az2 + bz + c = a( z − z1) ( z − z2) .
P = az − −b−pz − −b+p = az + b + p z + b − p = az + b 2 − p 2 =
2a
2a
2a
2a
2a
2a
2a
2a
az2 + 2 b z + b2
= az2 + bz + b2−p2 = az2 + bz + b2−b2+4ac = az2 + bz + c = L
2a
4a2 − p2
4a2
4a
4a
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć r ó wn a n ie
z2 + 4 z + 5 z = 0 .
√
∆
= b2−4 ac = 1 6 −2 0 = −4 , p = −∆ = 2 i, p o n ie wa z˙ ( 2 i) 2 = 4 i2 = −4 ( m o z˙e m y t a kz˙e p r z yja¸ ć
p = −2 i) . Za t e m : z1 = −4−2i = −2 − i, z
= −2 + i.
2
2 = −4+2i
2
R ÓWN AN I A R Ó ŻN I CZKOWE
LI N I OWE
O ST ALYCH
WSP ÓLCZYN N I KACH
D E FIN ICJA . R ó wn a n ie p o s t a c i
any(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1y′ + a0y = f( x) ,
( 1 )
g d z ie f je s t fu n kc jaç ia¸ g la¸ w p e wn ym
p r z e d z ia le , a0, . . . , an t o s t a le ( lic z b y r z e c z y-
wis t e ) o r a z
an = 0 n a z ywa m y równaniem różniczkowym liniowym n-tego rz¸edu o
stalych wspólczynnikach. Gd y f ( x) = 0 , t o r ó wn a n ie ( 1 ) n a z ywa m y jednorodnym.
D E FIN ICJA . W arunki pocz¸atkowe d la r ó wn a n ia n-t e g o r z ¸e d u t o wa r u n ki: y( x0) = y0, y′( x0) = y0, . . . , y(n−1)( x0) = y0.
1
etoda r ozwi¸
azywania r ównania jednor odnego.
E TA P 1 .
D la r ó wn a n ia je d n o r o d n e g o
any(n) + an−1y(n−1) + · · · + a1y′ + a0y = 0
( 2 )
t wo r z ym y równanie charakterystyczne
anrn + an−1rn−1 + · · · + a1r + a0 = 0 .
( 3 )
Zn a jd u je m y ws z ys t kie n r o z wia¸ z a n´ t e g o r ó wn a n ia ( r o z wia¸ z a n ia m o g a¸ b yć wie lo kr o t n e ) .
E TA P 2 .
Two r z ym y uklad fundamentalny r o z wia¸ z a nŕ ó wn a n ia ( 2 ) ( o z n a c z a n y U F) . U kla d t e n s kla d a s i¸e z n fu n kc ji.
1 . Je z˙e li lic z b a r z e c z ywis t a r1 je s t je d n o kr o t n ym
p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a k-
t e r ys t yc z n e g o ( 3 ) , t o o d p o wia d a je j w U F fu n kc ja er1x.
2 . Je z˙e li lic z b a r z e c z ywis t a r2 je s t k-kr o t n ym
p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a k-
t e r ys t yc z n e g o , t o o d p o wia d a ja¸ je j w U F fu n kc je
er2x, xer2x, . . . , xk−1er2x.
3 . Je z˙e li lic z b a z e s p o lo n a
α + βi, g d z ie
β = 0 , je s t je d n o kr o t n ym p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , t o lic z b a α−βi t e z˙ je s t p ie r wia s t kie m r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o ; t ym
lic z b o m
o d p o wia d a ja¸ w U F fu n kc je
eαx c o s βx, eαx s in βx.
4 . Je z˙e li lic z b a z e s p o lo n a
α + βi, g d z ie
β = 0 , je s t k-kr o t n ym
p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , t o lic z b a
α − βi t e z˙ je s t k-kr o t n ym
p ie r -
wia s t kie m
t e g o r ó wn a n ia ; t ym
lic z b o m
o d p o wia d a ja¸ w U F fu n kc je
eαx c o s βx, eαx s in βx,
xeαx c o s βx, xeαx s in βx, . . . , xk−1eαx c o s βx, xk−1eαx s in βx.
E TA P 3 .
Je z˙e li fu n kc je
y1, . . . , yn t wo r z a¸ U F, t o r o z wia¸ z a n ie r ó wn a n ia ( 2 ) je s t p o s t a c i y = C1y1 + · · · + Cnyn.
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć r ó wn a n ie
y(4) − y′′′ − 2 y′ = 0 .
Two r z ym y r ó wn a n ie c h a r a kt e r ys t yc z n e
r4 − r3 − 2 r2 = 0 .
Zn a jd u je m y ws z ys t kie r o z wia¸ z a n ia t e g o r ó wn a n ia ,
r2( r2 − r − 2 ) = 0 , r1 = r2 = 0 , r3 = −1 , r4 = 2 .
R o z wia¸ z a n io m
r1 i r2 o d p o wia d a ja¸ w U F fu n kc je
y1 = e0x = 1 , y2 = xe0x = x.
R o z wia¸ z a n iu r3 o d p o wia d a fu n kc ja y3 = e(−1)x, r o z wia¸ z a n iu r4 o d p o wia d a y4 = e2x.
R o z wia¸ z a n ie m
r ó wn a n ia r ó z˙n ic z ko we g o je s t wi¸e c
y = C1 + C2x + C3e−x + C4e2x.
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć r ó wn a n ie
y′′ + 9 y = 0 .
Two r z ym y r ó wn a n ie c h a r a kt e r ys t yc z n e
r2 + 9 = 0 .
Zn a jd u je m y ws z ys t kie r o z wia¸ z a n ia t e g o r ó wn a n ia ,
r1 = 3 i = 0 + 3 i, r2 = −3 i = 0 − 3 i.
R o z wia¸ z a n io m
t ym
( t u t a j α = 0 , β = 3 ) o d p o wia d a ja¸ w U F fu n kc je
y1 = e0x c o s 3 x = c o s 3 x, y2 = e0x s in 3 x = s in 3 x.
R o z wia¸ z a n ie m
r ó wn a n ia r ó z˙n ic z ko we g o je s t wi¸e c
y = C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x.
M
etoda r ozwi¸
azywania r ównania niejednor odnego.
ME TOD A P R ZE W ID Y W A Ń .
R o z wia¸ z a n ie r ó wn a n ia ( 1 ) je s t s u m a¸ r o z wia¸ z a n ia ( c a lki o g ó ln e j) r ó wn a n ia je d n o r o d -
n e g o ( 2 ) ( t ¸e c a lk¸e b ¸e d z ie m y o z n a c z a ć COJ) i d o wo ln e g o r o z wia¸ z a n ia ( c a lki s z c z e g ó ln e j) r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o ( 1 ) ( t o r o z wia¸ z a n ie b ¸e d z ie m y o z n a c z a ć CS N ) .
M
etoda pr zewidywania calki szczególnej r ównania ( 1 ) .
1 . Gd y f ( x) = Wm( x) eax, g d z ie Wm( x) t o wie lo m ia n m-t e g o s t o p n ia i g d y lic z b a r z e c z ywis t a a n ie je s t p ie r wia s t kie m
o d p o wie d n ie g o r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t y-
c z n e g o ( 3 ) , t o n a p e wn o is t n ie je r o z wia¸ z a n ie ( c a lka s z c z e g ó ln a ) r ó wn a n ia n ie je d -
n o r o d n e g o ( 2 ) p o s t a c i
ys = Qm( x) eax,
g d z ie Qm( x) t o wie lo m ia n s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m.
2 . Gd y f ( x) = Wm( x) eax, g d z ie Wm( x) t o wie lo m ia n m-t e g o s t o p n ia i g d y lic z b a r z e c z ywis t a a je s t k-kr o t n ym
p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , t o
n a p e wn o is t n ie je c a lka s z c z e g ó ln a r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o p o s t a c i ys = xkQm( x) eax,
g d z ie Qm( x) t o wie lo m ia n s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m.
3 . Gd y f ( x) = [Wm( x) c o s bx + Pm( x) s in bx]eax, g d z ie
Wm( x) , Pm( x)
t o wie lo -
m ia n y s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m, i g d y lic z b a z e s p o lo n a a + bi n ie je s t p ie r -
wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , t o n a p e wn o is t n ie je c a lka s z c z e g ó ln a r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o p o s t a c i
ys = [W ∗m( x) c o s bx + P ∗m( x) s in bx]eax
g d z ie W ∗m( x) , P ∗m( x) t o wie lo m ia n y s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m.
4 . Gd y f ( x) = [Wm( x) c o s bx + Pm( x) s in bx]eax, g d z ie
Wm( x) , Pm( x)
t o wie lo -
m ia n y s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m, i g d y lic z b a z e s p o lo n a a + bi je s t k-kr o t n ym p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , t o n a p e wn o is t n ie je c a lka s z c z e -
g ó ln a r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o p o s t a c i
ys = xk[W ∗m( x) c o s bx + P ∗m( x) s in bx]eax
g d z ie W ∗m( x) , P ∗m( x) t o wie lo m ia n y s t o p n ia n ie wi¸e ks z e g o o d m.
5 . Gd y fu n kc ja f ( x) je s t s u m a¸ fu n kc ji o p is a n yc h w p u n kt a c h 1 - 4 , t o d la ka z˙d e j z t yc h fu n kc ji z n a jd u je m y o d p o wie d n iaç a lk¸e s z c z e g ó ln a¸ ; wt e d y c a lka s z c z e g ó ln a je s t s u m a¸ ws z ys t kic h u z ys ka n yc h c a le k.
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć r ó wn a n ie
y′′ + 9 y = 9 x.
R o z wia¸ z a n ie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o r2+9 = 0 s a¸ lic z b y r1 = 3 i, r2 = −3 i.
R o z wia¸ z a n ie m
( COJ) r ó wn a n ia je d n o r o d n e g o
y′′ + 9 y = 0
je s t
y = C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x.
Fu n kc ja
f ( x) = 9 x = 9 xe0x je s t wie lo m ia n e m
p ie r ws z e g o s t o p n ia , lic z b a
a = 0
n ie
je s t p ie r wia s t kie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o , p r z e wid u je m y wi¸e c CS N p o s t a c i ys = ( Ax + B) e0x = Ax + B.
P o d s t a wia jaç ys d o r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o ( o c z ywiś c ie
y′s = A, y′′s = 0 ) o t r z y-
m a m y
0 + 9 ( Ax + B) = 9 x,
c z yli A = 1 , B = 0 . S z u ka n aç a lka¸ s z c z e g ó ln a¸ je s t
ys = x.
R o z wia¸ z a n ie ( c a lka o g ó ln a ) r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o ( CON =COJ+CS N ) m a p o s t a ć :
y = C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x + x.
U W A GA .
D o r ó wn a n ia n-t e g o r z ¸e d u m o z˙n a t a kz˙e s p r o wa d z ić u kla d y n r ó wn a nŕ ó z˙n ic z ko wyc h lin io wyc h p ie r ws z e g o r z ¸e d u .
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć u kla d r ó wn a n´
y′=z−y
z′=z−10y+9x
Z p ie r ws z e g o r ó wn a n ia wyz n a c z a m y
z = y′ + y
i p o d s t a wia m y d o r ó wn a n ia d r u g ie g o o t r z ym u jaç
( y′ + y) ′ = y′ + y − 1 0 y + 9 x,
c z yli
y′′ + y′ = y′ − 9 y + 9 x,
y′′ + 9 y = 9 x.
Z p o p r z e d n ie g o z a d a n ia wie m y, z˙e t o r ó wn a n ie m a r o z wia¸ z a n ie y = C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x + x.
Za t e m ,
z = y′ + y = −3 C1 s in 3 x + 3 C2 c o s 3 x + 1 + C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x + x.
R o z wia¸ z a n ia u kla d u t o :
y = C1 c o s 3 x + C2 s in 3 x + x, z = ( C2 − 3 C1) s in 3 x + ( 3 C2 + C1) c o s 3 x + x + 1 .
ME TOD A U ZMIE N N IA N IA S TA L Y CH .
Je z˙e li fu n kc je
y1( x) , . . . , yn( x)
t wo r z a¸ U F r o z wia¸ z a nŕ ó wn a n ia ( 2 ) , t o r o z wia¸ z a n ie
r ó wn a n ia ( 1 ) je s t p o s t a c i
y = C1( x) y1( x) + · · · + Cn( x) yn( x) ,
C1( x) , . . . , Cn( x) s a¸ r o z wia¸ z a n ia m i n a s t ¸e p u jaç e g o u kla d u Cr a m e r a n r ó wn a n´ :
C′1( x) y1( x) + C′2( x) y2( x) + · · · + C′n( x) yn( x) = 0
C′1( x) y′1( x) + C′2( x) y′2( x) + · · · + C′n( x) y′n( x) = 0
. . .
C′1( x) y(n−2)
1
( x) + C′2( x) y(n−2)
2
( x) + · · · + C′n( x) y(n−2)
n
( x) = 0
C′1( x) y(n−1)
1
( x) + C′2( x) y(n−1)
2
( x) + · · · + C′n( x) y(n−1)
n
( x) = f ( x) .
P R ZY K L A D . R o z wia¸ z a ć r ó wn a n ie
y′′ + y = t g x.
R o z wia¸ z a n ie m
r ó wn a n ia c h a r a kt e r ys t yc z n e g o
r2 + 1 = 0
s a¸ lic z b y r1 = i, r2 = −i.
U kla d fu n d a m e n t a ln y t wo r z a¸ wi¸e c fu n kc je
y1( x) = e0x c o s x = c o s x, y2 = e0x s in x = s in x.
R o z wia¸ z a n ie r ó wn a n ia n ie je d n o r o d n e g o b ¸e d z ie p o s t a c i y = C1( x) c o s x + C2( x) s in x,
g d z ie fu n kc je
C1( x) , C2( x) s p e ln ia ja¸ u kla d r ó wn a n´ :
C′1(x) cos x+C′2(x) sin x=0
C′ (x)(
(x) cos x= s in x
1
− sin x)+C′2
cos x
R o z wia¸ z u jaç t e n u kla d o t r z ym a m y:
1
C′
,
2( x) = s in
x, C′1( x) = c o s x −
c z yli
c o s x x π
C2( x) = − c o s x + A, C1( x) = s in x − ln |t g (
+ ) | + B.
2
4
R o z wia¸ z a n ie r ó wn a n ia je s t p o s t a c i
x
π
y = s in x − ln |t g (
+
) | + B c o s x + [− c o s x + A] s in x,
2
4
a wi¸e c
x
π
y = A s in x + B c o s x − c o s x · ln |t g (
+
) |.
2
4