Fizyka relatywistyczna
Zadania z rozwiÄ…zaniami
Zadanie 1
Na spoczywającą cząstkę zaczyna działać stała siła. Jaką prędkość uzyska cząstka, gdy siła wykona pracę W?
Porównaj rozwiązanie klasyczne i relatywistyczne.
RozwiÄ…zanie klasyczne:
2
m0v 2W
Energię kinetyczną przyrównujemy do wykonanej pracy
klas
=ðW ®ðv =ð
klas
2 m0
RozwiÄ…zanie relatywistyczne:
2 2
mc2 -ð m0c
Energia kinetyczna wynosi : , czyli: mc2 -ð m0c =ðW
W W
1+ð 1+ð
2 2
2
2m0c 2m0c
m0c 2W
2
-ð m0c =ðW ®ðv =ð ×ð =ðv ×ð
relat . klas
2
W
m0 1+ð W
v
1+ð
1-ð 2 2
2
m0c m0c
c
Z porównania rozwiązań wynika, że wzór relatywistyczny przechodzi we wzór klasyczny, gdy spełniony jest warunek
2
W <ð<ð m0c
, a zatem gdy praca wykonywana przez siłę przyspieszającą jest znacznie mniejsza od energii spoczynkowej
przyspieszanej cząstki. Wynika stąd, że obok znanego kryterium stosowania mechaniki relatywistycznej, gdy prędkość
ciała jest bliska prędkości światła w próżni c, można sformułować drugie kryterium, które mówi, że mechanikę
relatywistyczną stosujemy wtedy, gdy energia dostarczona ciału jest, co najmniej bliska jego energii spoczynkowej.
m0 =ð 9,1×ð10-ð31kg e =ð 1,6×ð10-ð19C
Przykład: Wez
my jako czÄ…stkÄ™ elektron o masie spoczynkowej i Å‚adunku przyspieszany
w polu elektrycznym (stałą siłą). Energię spoczynkową elektronu można obliczyć ze wzoru:
2 2
,
E0 =ð m0c ð 9,1×ð10-ð31kg ×ð9 ×ð1016 m2 s ð 8,19×ð10-ð14J ð 0,51×ð106eV =ð 0,51MeV
Przypomnijmy, że używana w fizyce atomowej, relatywistycznej i jądrowej wygodna jednostka energii elektronowolt [eV] jest
-ð19
=ð
zdefiniowana jako energia, którÄ… uzyskuje Å‚adunek elementarny e 1,6 ×ð10 C przebywajÄ…c różnicÄ™ potencjałów U = 1 V,
czyli . Wskutek przebycia drogi, dla której różnica potencjałów wynosi U elektron uzyskuje energię
1eV =ð 1,6×ð10-ð19J
kinetyczną równą pracy wykonanej przez pole elektryczne W = eU. Rozważmy dwa przypadki:
1.Elektron przyspieszany w lampie kineskopowej w różnicy potencjałów U1 = 25 kV uzyskuje energiÄ™ W 1 =ð eU1 =ð 25keV
,
1+ð 0,025
W1
v1 =ðv ×ð ðv ×ð0,96
ð 0,05
zatem
klas klas
2
m0c 1+ð 0,05
vklas ð 0,31c
gdzie
Różnica między wartością prędkości końcowej obliczoną klasycznie i relatywistycznie jest niewielka.
2.Elektron przyspieszany w akceleratorze van de Graaffa w różnicy potencjałów U2 = 25 MV uzyskuje energię
W2 , więc
W2 =ð eU2 =ð 25MeV
ð 50
2
m0c
1+ð 250
v =ðv ×ð ðv ×ð 0,1
2 klas
stÄ…d:
1+ð 50 klas
gdzie vklas ð 9,9c
W tym przypadku wartość prędkości końcowej obliczona ze wzoru klasycznego jest oczywiście nonsensowna.
Zadanie 2
Cząstka o masie spoczynkowej m0 porusza się z taką prędkością, że jej czas życia obserwowany w układzie
laboratorium jest trzy razy dłuższy niż średni czas życia tej cząstki zmierzony wtedy, gdy cząstka jest w
spoczynku. Oblicz energię kinetyczną i prędkość tej cząstki oraz jej pęd.
RozwiÄ…zanie
Zależność miÄ™dzy czasem wÅ‚asnym tð a czasem mierzonym w laboratorium t:
tð
t =ð gðtð =ð
t =ð 3tð ®ð gð =ð 3
2
v
1-ð
2
c
2 2 2
Ek =ð mc2 -ð m0c =ð m0c (ðgð -ð1)ð =ð 2m0c
Energia kinetyczna wynosi:
1 2 2
Aby obliczyć prÄ™dkość skorzystamy ze wzoru: =ð 3 ®ðv =ð c
2
3
v
1-ð
2
c
Pęd można obliczyć na dwa sposoby
2
2 2 2
E =ð p c +ð(ðm0c )ð
1. z zależności między energią całkowitą, pędem i energią spoczynkową:
2
2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2
p c =ð E -ð m0c =ð (ðm0c gð )ð -ð m0c =ð m0c (ðgð -ð1)ð
p =ð 2 2m0c
2. Z definicji pędu:
p =ð mv =ð m0gðv =ð 2 2m0c
Zadanie 3
Obserwator O widzi dwa identyczne statki kosmiczne zbliżajÄ…ce siÄ™ do niego z dwóch stron z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v =ð 0, 8 c.
Długość własna statku wynosi d = 10 m. Jaką długość jednego z pojazdów obserwuje pilot drugiego pojazdu?
RozwiÄ…zanie
Trzeba obliczyć prędkość jednego ze statków względem drugiego.
v1 +ðv 1,6c
2
v' =ð =ð =ð 0,976c
2
v1v
0,64c
2
1+ð
1+ð
2
2
c
c
Długość jednego pojazdu w układzie drugiego:
2
2
v' (ð0,976c )ð
d' =ð d 1-ð =ð d 1-ð =ð 0,22d =ð 2,2m
2 2
c c
Odp.: Pilot widzi drugi pojazd o długości 2,2 m.
Zadanie 4
Zdarzenie A ma w układzie O współrzędne czasoprzestrzenne xA, ctA, zdarzenie B - współrzędne
czasoprzestrzenne xB, ctB. Czy może istnieć związek przyczynowy między tymi zdarzeniami? Wartości
współrzędnych:
a) xA = 1, ctA = 2, xB = 5, ctB = 5, b) xA = 2, ctA = 0, xB = 3, ctB = 6
RozwiÄ…zanie a)
Kwadrat interwału czasoprzestrzennego między zdarzeniami A i B w układzie O wynosi:
2 2 2 2
2
DðS =ð (ðcDðt )ð -ð(ðDðx )ð =ð (ðctA -ðctB )ð -ð(ðx -ð xB )ð =ð 9 -ð16 =ð -ð7
A
cDðt <ð Dðx
Interwał czasoprzestrzenny jest urojony:
Oznacza to, że między zdarzeniami nie może być związku przyczynowego  zdarzenia są tak daleko od siebie
Dðx), że Å›wiatÅ‚o nie zdąży dotrzeć od zdarzenia A do B w czasie Dðt
(duże
RozwiÄ…zanie b)
Kwadrat interwału czasoprzestrzennego między zdarzeniami A i B w układzie O wynosi:
2 2 2 2
2
DðS =ð (ðcDðt )ð -ð(ðDðx )ð =ð (ðctA -ðctB )ð -ð(ðx -ð xB )ð =ð 36 -ð1=ð 35
A
InterwaÅ‚ czasoprzestrzenny jest rzeczywisty: cDðt >ð Dðx
Dðx
Oznacza to, że zdarzenia mogą być powiązane przyczynowo  zdarzenia są na tyle bliskie przestrzennie (małe ),
Dðt
że światło zdąży dotrzeć od zdarzenia A do B w czasie
Zadanie 5
Zdarzenie A ma w układzie O współrzędne czasoprzestrzenne xA, ctA, zdarzenie B - współrzędne
czasoprzestrzenne xB, ctB. Jaka jest ich kolejność czasowa w układzie współrzędnych O poruszającym się
wzdłuż osi x z prędkością v = 0,8c? Wartości współrzędnych:
a) xA = 1, ctA = 2, xB = 5, ctB = 5, b) xA = 2, ctA = 0, xB = 3, ctB = 6
ct
Aby zbadać, jaka jest ich kolejność czasowa w układzie O , należy znalez
ć
B
współrzędne czasowe zdarzeń w tym układzie (wykonać transformację
A
ct
Lorentza)
v
x -ð bð(ðct )ð ct -ð bðx
O bð =ð
x gdzie
x' =ð ct' =ð
2 2
c
1-ð bð 1-ð bð
O
x
v
RozwiÄ…zanie a)
2 -ð 0,8 ×ð1 1,2
ct' =ð =ð =ð 2
A
1-ð 0,82 0,6
5 -ð 0,8 ×ð5 1
ct'B =ð =ð =ð 1,6667
1-ð 0,82 0,6
O ile w układzie O najpierw zaszło zdarzenie A, a potem B (ctA < ctB), to w układzie O kolejność zdarzeń jest
odwrotna (ct A > ct B).
RozwiÄ…zanie b)
Współrzędne zdarzeń w układzie O wynoszą:
0 -ð 0,8 ×ð 2 -ð1,6
ct' =ð =ð =ð 2,667
A
1-ð 0,82 0,6
6 -ð 0,8 ×ð3 3,6
ct' =ð =ð =ð 6
B
1-ð 0,82 0,6
Kolejność zdarzeń w układzie O i w układzie O jest jednakowa: najpierw zaszło zdarzenie A, a potem B
(ctA < ctB) i (ct A < ct B).
Zadanie 6
Zdarzenie A ma w układzie O współrzędne czasoprzestrzenne xA, ctA, zdarzenie B - współrzędne
czasoprzestrzenne xB, ctB. Z jaką prędkością porusza się układ O , w którym zdarzenia zajdą jednocześnie? Jaki
warunek musi spełniać prędkość układu O , aby kolejność zdarzeń była odwrócona? Wartości współrzędnych:
a) xA = 1, ctA = 2, xB = 5, ctB = 5, b) xA = 2, ctA = 0, xB = 3, ctB = 6
RozwiÄ…zanie a)
Aby znalez
ć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia są równoczesne, należy przyrównać wyrażenia na
współrzędne czasowe w układzie poruszającym się z szukaną prędkością u.
ct' =ð ct'B
A
u
ctA -ð bðx ctB -ð bðxB
A bð =ð
gdzie
=ð
c
2 2
1-ð bð 1-ð bð
ctA -ðctB -ð 3
ctA -ðctB =ð bð(ðx -ð xB )ð ®ð bð =ð =ð =ð 0,75
A
(ðx -ð xB )ð -ð 4
A
czyli u = 0,75c (dodatni znak prędkości oznacza, prędkość u skierowana jest zgodnie z osią x)
Kolejność zdarzeń będzie odwrócona w układzie poruszającym się z prędkością u, w którym zachodzi nierówność:
ct' >ð ct'B
A
ctA -ð bðx ctB -ð bðxB
A
>ð
2 2
1-ð bð 1-ð bð
ctA -ðctB >ð bð(ðx -ð xB )ð -ð 3 >ð -ð4bð ®ð bð >ð 0,75
wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy:
A
Odp.: Układ, w którym zdarzenia A i B są równoczesne porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkością u = 0,75c,
jeśli prędkość układu będzie większa niż 0,75c, to kolejność zdarzeń będzie odwrócona.
RozwiÄ…zanie b)
Czy istnieje układ, w którym zdarzenia są równoczesne? Spróbujmy znalez
ć prędkość takiego układu u.
ctA -ðctB -ð 6
ctA -ðctB =ð bð(ðx -ð xB )ð ®ð bð =ð =ð =ð 6
A
(ðx -ð xB )ð -ð1
A
Kolejność zdarzeń byłaby odwrócona w układzie poruszającym się z prędkością u, w którym zachodzi nierówność:
ct' >ð ct'B
A
Prowadzi to to nierównoÅ›ci: bð >ð 6
Otrzymaliśmy absurdalny wynik, ponieważ prędkość układu nie może być większa od prędkości światła.
bð <ð 1
Musi być spełniona nierówność:
Odp.: Nie ma takiego układu, w którym zdarzenia są równoczesne, jak również w żadnym układzie nie
zachodzą w odwrotnej kolejności. Jest to słuszne dla każdych dwóch zdarzeń, które mogą być
powiÄ…zane przyczynowo
Uwalnia nas to od dylematów filozoficznych, gdybyśmy mogli w jakimś układzie obserwować najpierw skutek (np.
narodziny syna), a potem przyczynÄ™ (narodziny jego ojca).
Zadanie 7
Zdarzenie A ma w układzie O współrzędne czasoprzestrzenne xA, ctA, zdarzenie B - współrzędne
czasoprzestrzenne xB, ctB. Z jaką prędkością porusza się układ O , w którym zdarzenia zajdą w tym samym
miejscu? Wartości współrzędnych:
a) xA = 1, ctA = 2, xB = 5, ctB = 5, b) xA = 2, ctA = 0, xB = 3, ctB = 6
RozwiÄ…zanie a)
Aby znalez
ć prędkość takiego układu, w którym zdarzenia zajdą w tym samym miejscu, należy przyrównać
wyrażenia na współrzędne przestrzenne w układzie poruszającym się z szukaną prędkością u .
x' =ð x'B
A
x -ð bðctA xB -ð bðctB
A
u
=ð
bð =ð
gdzie
2 2
1-ð bð 1-ð bð Nie istnieje ukÅ‚ad, w którym zdarzenia
c
zachodzÄ… w tym samym miejscu, nie mogÄ…
(ðx -ð xB )ð -ð 4
A
x -ð xB =ð bð(ðctA -ðctB )ð ®ð bð =ð =ð =ð 1,333
więc byd powiązane przyczynowo.
A
(ðctA -ðctB )ð -ð 3
Żaden układ nie może poruszać się z prędkością większą od prędkości światła. Wynika z tego, że nie ma
takiego układu, w którym zdarzenia A i B zajdą w tym samym miejscu.
RozwiÄ…zanie b)
x' =ð x'B
A
Istnieje układ, w którym zdarzenia
zachodzÄ… w tym samym miejscu, mogÄ…
(ðx -ð xB )ð -ð1
A
x -ð xB =ð bð(ðctA -ðctB )ð ®ð bð =ð =ð =ð 0,667
A
więc byd powiązane przyczynowo.
(ðctA -ðctB )ð -ð 6
Odp.: Układ, w którym zdarzenia A i B zajdą w tym samym miejscu porusza się w kierunku dodatnim osi x z prędkością
u = 0,667c.
Zadanie 8
Na nieruchomą cząstkę o masie spoczynkowej m0 zaczyna działać stała siła F. Po jakim czasie energia
kinetyczna cząstki w laboratoryjnym układzie odniesienia stanie się k razy większa od energii spoczynkowej
cząstki. Ile razy wzrośnie w tym czasie masa cząstki? Jaką drogę przebędzie cząstka w tym czasie w układzie
laboratoryjnym?
RozwiÄ…zanie
2
E1 =ð m0c
Energia poczÄ…tkowa:
2 2 2
m2 =ð (ðk +ð1)ðm0
E2 =ð m0c +ð km0c =ð (ðk +ð1)ðm0c
Energia końcowa:
2
E2 =ð m2c
Z wyrażenia na masę końcową m2 obliczamy prędkość końcową v:
m0 k (ðk +ð 2)ð
=ð (ðk +ð1)ðm0 ®ðv =ð c
2
k +ð1
v
1-ð
2
c
Z II zasady dynamiki:
p2 t
dp
dp =ð Fdt
=ð F òðdp =ð òðFdt ®ð p2 =ð Ft
dt p1 0
k (ðk +ð 2)ð
p2 =ð m2v =ð (ðk +ð1)ðm0c
k +ð1
k (ðk +ð 2)ð m0c
(ðk +ð1)ðm0c =ð Ft ®ð t =ð k (ðk +ð 2)ð
k +ð1 F
szukany czas
Aby obliczyć drogę przebytą xL przez cząstkę w układzie laboratoryjnym, przyrównujemy pracę wykonaną
przez siłę do nabytej przez cząstkę energii kinetycznej.
2
km0c
2
Fx =ð km0c ®ð xL =ð
L
F
m0c
t =ð k (ð k +ð 2)ð , w ukÅ‚adzie laboratoryjnym czÄ…stka przebÄ™dzie
Odp.: masa cząstki wzrośnie k+1 razy w czasie
2
F
km0c
drogÄ™
xL =ð
F
Zadanie 9
p1 =ð km0c p2 =ð m0c
Cząstka o masie spoczynkowej m0 i pędzie zderza się z identyczną cząstką o pędzie .
Obie cząstki poruszają się wzdłuż jednej prostej. Obliczyć masę spoczynkową M0 i prędkość u powstałej w
wyniku zderzenia cząstki złożonej.
RozwiÄ…zanie
M0u
Z prawa zachowania pędu:
km0c Ä…ð m0c =ð
2
u
1-ð
2
c
plus  prędkości cząstek mają jednakowe zwroty,
minus - prędkości cząstek mają przeciwne zwroty
2 2 2
m0c m0c M0c
Z prawa zachowania energii:
+ð =ð
2 2 2
v1 v u
2
1-ð 1-ð 1-ð
2 2 2
c c c
m0v1 k
=ð km0c ®ðv1 =ð c
2 2
v1 k +ð1
1-ð
2
c
m0v 2
2
=ð m0c ®ðv =ð c
2
2
2
v
2
1-ð
2
c
2
2
m0c
2
m0c
2 2
E =ð =ð m0c 2
2
E1 =ð =ð m0c k +ð1
2
2
v
2
v1
1-ð
2
1-ð
2
c
c
M0u
m0c(ðk Ä…ð1)ð =ð
2
u
1-ð
2
c
Dzielimy równania stronami
2
M0c
2 2
m0c (ð k +ð1 +ð 2)ð=ð
2
u
1-ð
2
c
c(ðk Ä…ð1)ð
u =ð
2
k +ð1+ð 2
2
u
2
M0 =ð m0(ð k +ð1 +ð 2)ð 1-ð
2
c
2
M0 =ð m0 2 2(ðk +ð1)ð+ð 2 mð 2k
Zadanie 10
SpoczywajÄ…ca czÄ…stka o masie spoczynkowej M rozpada siÄ™ na dwie czÄ…stki o masach spoczynkowych m1 i m2.
Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych cząstek E1 i E2.
M
RozwiÄ…zanie
p1 p2
rð rð
p1 +ð p2 =ð 0
prawo zachowania pędu:
m1 m2
rð rð
p1 =ð p2 (ð1)ð
2 2 2
(ðm1c +ðE1)ð+ð(ðm2c +ð E2)ð=ð Mc (ð2)ð
prawo zachowania energii:
2
2 2 2
E =ð p c +ð(ðm0c )ð
Pęd cząstki należy wyrazić przez jego energię kinetyczną
2
2 2 2 2 4 2 2 4
p c =ð E -ð m0c =ð (ðm0c +ð Ek )ð -ð m0c
1
2 2
p =ð Ek -ð 2Ek m0c
c
równanie (1) i (2) tworzą układ równań z 2 niewiadomymi
2 2 2 2 2 2 2
M c +ð m1c -ð m2c -ð 2m1Mc
E1 =ð
2 2 2 2
E1 -ð 2E1m1c =ð E2 -ð 2E2m2c
2M
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
M c +ð m2c -ð m1c -ð 2m2Mc
(ðm1c +ð E1)ð+ð(ðm2c +ð E2)ð=ð Mc
E2 =ð
2M
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
Zadanie 1
4
Cząstka o masie spoczynkowej m0 i prędkości dogania identyczną cząstką poruszającą się z
v1 =ð c
5
3
prÄ™dkoÅ›ciÄ… v1 =ð c . Obliczyć masÄ™ spoczynkowÄ… M0 i prÄ™dkość u powstaÅ‚ej w wyniku zderzenia czÄ…stki
5
złożonej.
5 6
5
u =ð c M0 =ð m0 @ð 2,04m0
Odp:
7 6
Zadanie 2
CzÄ…stka o masie spoczynkowej m0 i energii kinetycznej E1 zderza siÄ™ z nieruchomÄ… czÄ…stkÄ… o tej samej masie
spoczynkowej. Obliczyć masę spoczynkową M0 i prędkość u powstałej w wyniku zderzenia cząstki złożonej.
E1
1
2
u =ð c
Odp:
2 M0 =ð 2m0(ðE1 +ð 2m0c )ð
E1 +ð 2m0c
c
Zadanie 3
Na poruszającą się cząstkę o masie spoczynkowej m0 zaczyna działać stała siła F. Po jakim czasie masa
cząstki wzrośnie od 2m0 do 4m0 Ile razy wzrośnie w tym czasie masa cząstki? Jaką drogę przebędzie cząstka w
tym czasie w układzie laboratoryjnym?
m0c 2m0c
t =ð (ð 15 -ð 3)ð S =ð
Odp:
F F
Zadanie 4
Znalez
ć własny czas życia cząstki, jeśli porusza się ona z prędkością i do momentu rozpadu przebyła
v =ð 0,97c
odległość 20 km.
tð =ð 8,35×ð10-ð6 s
Odp:
Zadanie 5
Znalez
ć układ odniesienia, w którym chrzest Polski i bitwa pod Grunwaldem odbyły się
a) w tym samym miejscu,
b) w tym samym czasie.
c) Czy te zdarzenia mogą być w związku przyczynowo-skutkowym?
Przyjąć, że w układzie Ziemi odległość między Gnieznem a Grunwaldem wynosi 200 km, a czas między tymi
wydarzeniami wynosi 400 lat.
m
v =ð1,59×ð10-ð5
Odp: a) układ poruszający się od Gniezna do Grunwaldu z prędkością
s
b) taki układ nie istnieje
c) tak
Zadanie 6
Sprawdzić, czy zdarzenia A i B mogą być powiązane przyczynowo. Z jaką prędkością porusza się układ O , w
którym zdarzenia zajdą jednocześnie? Jaki warunek musi spełniać prędkość układu O , aby kolejność zdarzeń
była odwrócona? Wartości współrzędnych:
a) xA = 4, ctA = 2, xB = 6, ctB = 3, b) xA = 5, ctA = 3, xB = 1, ctB = 0
Odp: a) zdarzenia zajdą jednocześnie w układzie poruszającym z prędkością, , kolejność zdarzeń
v =ð 0,5c
v >ð 0,5c
będzie odwrócona w układzie poruszającym z prędkością,
b) taki układ nie istnieje
Zadanie 7
Pręt o masie spoczynkowej m0 porusza się z taką prędkością, że jego długość obserwowana w układzie
laboratorium jest dwa razy krótsza niż zmierzona wtedy, gdy pręt jest w spoczynku. Oblicz energię kinetyczną i
prędkość pręta oraz jego pęd.
3
2
p =ð 3m0c
Ek =ð m0c
v =ð c
Odp:
2
Zadanie 8
m0c 2 =ð 200MeV, a
E =ð 10Gev
Mezon porusza się z energią całkowitą . Jego energia spoczynkowa wynosi
tð =ð 10-ð6s
własny czas życia równy jest Oblicz:
a) Czas życia w laboratorium
b) Pęd
c) EnergiÄ™ kinetycznÄ…
GeV
Ek =ð 9,8GeV
p =ð 9,999979
t =ð 2 ×ð10-ð4s
Odp:
c
Zadanie 9
v =ð 0,6c
Ze statku kosmicznego poruszającego się względem Ziemi z prędkością wystrzelono w kierunku
v =ð 0,8c
ruchu pocisk z prędkością . Z jaką prędkością u porusza się pocisk względem Ziemi? Jakie wymiary
pocisku widzi obserwator na Ziemi, jeśli w układzie własnym pocisk jest kulą o średnicy d = 10 cm?
u =ð 0,946c
Odp: Pocisk ma kształt spłaszczonej kuli o grubości 3,2 cm.