Strona 1 z 5
1. Relatywistyka
1.1. Do jakiej prędkości nale\
y rozpędzić elektron aby zamienił
się w czarną dziurę ?
Nic nie wskazuje na to, aby takie zjawisko w ogóle mogło zajść. Nieporozumienie bierze się
stąd, \
e oblicza się  masę relatywistyczną rozpędzonego do prędkości podświetlnej elektronu,
następnie zaś, posługując się wzorem Newtona, oblicza się natę\
enie pola grawitacyjnego
rzekomo pochodzącego od tego fotonu. Tymczasem dla prędkości podświetlnych wzór Newtona
nie obowiązuje.
To, \
e wzór Newtona jest tylko przybli\
eniem wzorów OTW słusznym dla małych mas i małych
prędkości grawitujących obiektów, wynika wprost z równań OTW. Osoby nie znające OTW
mogą - dla wyrobienia sobie właściwej intuicji - posłu\
yć się pewnym eksperymentem
myślowym. Wyobraz
my sobie dwa punkty materialne w pustej przestrzeni, oddalone od siebie
o r. Punkty te łączymy niewa\
ką sprę\
yną o długości swobodnej tak dobranej, aby siła reakcji
ściśniętej sprę\
yny równowa\
yła grawitacyjne przyciąganie mas. Opiszmy ten układ z punktu
widzenia obserwatora poruszającego się ze znaczną prędkością v prostopadle do prostej
łączącej oba punkty materialne. Poniewa\
odcinek łączący rozwa\
ane punkty materialne jest
prostopadły do kierunku ruchu obserwatora, jego długość nie ulega skróceniu w układzie
poruszającym się - obserwator stwierdza, \
e punkty materialne nadal pozostają w odległości r.
Jednak z punktu widzenia układu poruszającego się oba punkty materialne mają znaczne
 masy relatywistyczne - gdyby mo\
na było u\
ywać wzoru Newtona z  masami
relatywistycznymi , oba punkty (opisywane w układzie poruszającym się) przyciągałyby się z
siłą znacznie większą ni\
w układzie spoczynkowym, a zatem zgniotłyby łączącą je sprę\
ynkę i
zbli\
yły do siebie na odległość mniejszą ni\
r. Niczego takiego jednak nie obserwujemy.
Wniosek stąd taki, i\
wstawianie  masy relatywistycznej do wzoru Newtona jest fizycznie
nieuzasadnione. (Rozumowanie przedstawione w tym paragrafie nie jest ścisłe, ma tylko
charakter intuicyjny.)
1.2. Na czym polega paradoks bliz
niaków ?
Problem polega na tym, \
e według Teorii Względności Einsteina wszystkie układy odniesienia
są równoprawne, więc jeśli jeden z bliz
niaków wyruszy w relatywistyczną podró\
kosmiczną, a
drugi zostanie na Ziemi, to względem jednego Ziemia będzie się poruszać, a względem
drugiego lecący brat-bliz
niak. Rachunki jednak mówią, \
e będą starzeć się nierównomiernie.
Który postarzeje się szybciej ?
Oczywiście, postarzeje się brat nieruchomy. Dlaczego? Ano dlatego, \
e zachodzą tutaj zmiany
układu inercjalnego, u\
ywanego przez poruszającego się brata. Przyspiesza on i zwalnia,
doznaje działania bezwładności, itp. Brat stojący znajduje się natomiast stale w jednym
układzie inercjalnym. Widać więc, \
e sytuacja nie jest symetryczna.
Właśnie ta raptowna zmiana układu inercjalnego jest sednem określenia, który brat będzie
starszy.
Mo\
na te\
i dowodzić inaczej, \
e nie mo\
na synchronizować zegarów w układach
nieinercjalnych posługując się transformacja Lorentza, co w omawianym przypadku zachodzi, a
rozwiązania liczone zgodnie z OTW daja właśnie takie rezultaty.
Szczegółowa dyskusja paradoksu bliz
niąt, ze ścisłym wprowadzeniem w geometryczną postać
Strona 2 z 5
STW (co jest podstawą intuicyjnego wnioskowania na tematy relatywistyczne) mo\
na znalez
ć u
Schutza we "Wstępie do ogólnej teorii względności". Niekoniecznie polecamy ksią\
ki
popularnonaukowe, mające naszym zdaniem czasem zbyt wielkie tendencje do upraszczania,
co prowadzi do wypaczenia rozumienia problemu.
1.3. Jakie pole grawitacyjne wytwarza rotująca masa ?
Wez
my dla przykładu układ Ziemia-Księ\
yc: w przypadku przyciagąnia się Ziemi i Księ\
yca
poprawki są rzeczywiście niemierzalne. Tym niemniej pole grawitacyjne wokół rotującej Ziemi
jest troszkę inne ni\
byłoby, gdyby Ziemia się nie obracała. Te ró\
nice mo\
na obliczyć, a ich
wynikiem jest pewien efekt noszący nazwę efektu Lense-Tirringa, do którego wykrycia
przymierzano się ju\
ćwierć wieku temu. Polega on na tym, \
e, jak to się w bran\
y
ogólnorelatywistycznej określa, lokalne układy inercjalne podlegają "wleczeniu" przez
stacjonarne pole grawitacyjne związane z rotującą masą. Objawia się to tym, \
e gdybyśmy
umieścili na orbicie wokółziemskiej swobodnie wirujący \
yroskop, to jego oś obrotu ulegałaby
powolnej precesji względem "reszty świata" (zmieniałby się kierunek osi obrotu względem
gwiazd). Taka precesja nie wystąpiłaby w przypadku orbitowania \
yroskopu wokół statycznego
grawitującego ciała.
Nie nale\
y tutaj mylić tej precesji z tradycyjną precesją wywołaną przez moment skręcajacy.
Ten \
yroskop byłby wykonany jako "idealnie" wypolerowana szafirowa kulka, a w takim
przypadku moment skręcający praktycznie mo\
na wyeliminować.
Efekt jest bardzo mały (jakieś sekundy czy ułamki sekund łuku na stulecie), ale ocenia się, \
e
byłby mo\
liwy do zaobserwowania. Na przeszkodzie jak dotychczas stały kwestie finansowe,
gdy\
nie było odwa\
nego, który podjąłby decyzję o wydatkowaniu kilkuset milionów dolarów na
orbitalny eksperyment, którego wynik interesuje i tak znikome grono fachowców.
Zaobserwowano tak\
e zmiany w promieniowaniu pulsarów znajdujących się w ciasnych
układach podwójnych, które najprościej mo\
na interpretowac jako przejaw działania efektu
Lense-Tirringa. Tak więc wygląda na to, \
e orbitalny eksperyment potwierdziłby za wielkie
pieniądze efekt, w który ludzie z bran\
y i tak wierzą. Tym niemniej, eksperyment taki ma
wykonać satelita NASA Gravity Probe-B, który wystartował w kwietniu 2004.
Całkowanie T00 grawitującego ciała nie da wartości jego masy rejestrowanej przez odległego
obserwatora. Masa widziana "z nieskończoności" jest wypadkowym efektem wzajemnych relacji
pomiędzy lokanym rozkładem energii-pędu oraz geometrią czasoprzestrzeni reprezentującej
pole grawitacyjne, a sumaryczny wynik zale\
y od globalnej natury tego pola i rozkładu masy.
Finał tych współzale\
ności jest taki, \
e z daleka widzimy ("czujemy" grawitacyjnie) mniejszą
masę ni\
wynikałoby to z prostego podsumowania mas cząstek tworzących ciało. W zwykłych
sytuacjach (planety, "normalne" gwiazdy) ten grawitacyjny defekt masy jest nieistotny, ale ju\

przy konstrukcji modeli gwiazd neutronowych odgrywa zasadniczą rolę. W przypadkach
rzeczywiście skrajnych sytuacji kosmologicznych (kwazary, aktywne jądra galaktyk)
grawitacyjny defekt masy jest, jak się na ogół uwa\
a, jedyną rozsądną koncepcją wyjaśnienia
z
ródła kolosalnych ilości energii wyzwalanych w tych procesach.
1.4. Czy mo\
na dolecieć do Proximy Centauri w tydzień ?
Poniewa\
szczególna teoria względności nakłada ograniczenie na maksymalną prędkość równą
prędkości światła, wielu ludzi skłonnych jest sądzić, \
e loty, do odległych o tysiące lat
świetlnych gwiazd, trwać muszą całe epoki.
Jednak\
e zapominają oni o innych aspektach tej teorii, mianowicie dylatacji czasu i
relatywistycznemu skróceniu. W istocie oddalająca się od Ziemi rakieta ulega obserwowanemu
Strona 3 z 5
skróceniu. Jednak\
e efekt jest zupełnie symetryczny i z punktu widzenia rakiety skróceniu
ulegnie wszystko, co jest względem niej w ruchu. Efektowi temu ulegnie więc zarówno Ziemia,
gwiazda docelowa, jak i droga do przebycia.
Odległość z Ziemi do Proximy w układzie Ziemi to trochę więcej ni\
cztery lata świetlne.
Jednak\
e dla rakiety poruszającej się z v=0,9999887c, odległość ta skróci się do tygodnia
świetlnego, dzięki czemu doleci ona na Proximę w tydzień czasu pokładowego. Czy nie ma tu
jednak jakiegoś paradoksu? Skoro w układzie Ziemi rakieta pokonuje cztery lata świetlne w
tydzień, to znaczy, \
e porusza się z prędkością równą 208c (tyle tygodni mają 4 lata). A
wcześniej zało\
yliśmy, \
e porusza się z v=0,9999887c. Otó\
prawdziwa jest ta druga prędkość.
Z tego wniosek, \
e w układzie Ziemi rakieta nadal potrzebuje czterech lat, aby dotrzeć na
Proximę. Rolę gra tutaj dylatacja czasu. Po prostu w rakiecie, obserwowanej z Ziemi, czas
płynie dokładnie 208 razy wolniej, wiec po czterech latach lotu minie tam zaledwie tydzień.
Czyli dzięki szczególnej teorii względności mo\
emy dolecieć dowolnie daleko w dowolnie
krótkim czasie pokładowym. Mo\
emy w sekundę zwiedzić inną galaktykę i wrócić na Ziemię,
jednak wtedy miną na niej miliony lat. Problemem pozostają jednak koszty energetyczne i
przecią\
enia.
W chwili obecnej wydaje się niemo\
liwym uzyskać z
ródło energii pozwalające dostatecznie
zbli\
yć się do c (a im jesteśmy bli\
ej, tym trudnej przyspieszyć). Najefektywniejszym
sposobem magazynowania energii jest równa ilość materii i antymaterii. Nawet jeśli uda się
wytworzyć tak ogromne ilości energii i zbudować silnik fotonowy, to masy paliwa potrzebnego
na międzygwiezdny lot, w rozsądnym czasie, będą sięgały tysięcy mas samego statku. Warto
tutaj zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
Po pierwsze omawiane efekty są efektami rzeczywistymi. Niektórym ludziom wydaje się, \
e
to jedynie efekt obserwacji przy pomocy fal elektromagnetycznych - tzn. złudzenie optyczne.
Nie jest to prawdą. Efekty te są jak najbardziej realne i weryfikowalne w dowolnym
doświadczeniu, niekoniecznie elektromagnetycznym.
Po drugie - mo\
na by zapytać: skoro wszystkie układy są równouprawnione i symetryczne, to
czy nie powinno być tak, \
e z punktu widzenia rakiety to na Ziemi czas ulega spowolnieniu,
więc w momencie dotarcia do Proximy po tygodniu, na Ziemi powinno upłynąć zaledwie 50
minut (skoro Ziemia oddala się z prędkością v=0,9999887c to czas płynie na niej 208 razy
wolniej ni\
w rakiecie!)? Daje to oczywisty paradoks, skoro na Ziemi upływają 4 lata.
Odpowiedz
to - i tak, i nie. Rozumowanie to jest poprawne, ale nie do końca, gdy\
układy nie
są równowa\
ne. Rakieta przyspiesza i hamuje i wtedy dodatkowo podlega, ju\
niesymetrycznej
względem Ziemi, dylatacji czasu. Okazuje się, \
e gdy uwzględnić te efekty, to wszystko do
siebie pasuje. Odsyłam w tym momencie do paradoksu bliz
niąt tutaj.
1.5. Jak biegnie czas w orbitujących satelitach Ziemi ?
Dylatacja czasu zachodząca na satelitach Ziemi (w ogólności dowolnego ciała kosmicznego)
warunkowana jest dwoma przeciwstawnymi efektami relatywistycznymi:
wpływowi pola grawitacyjnego Ziemi,
dylatacją wynikającą z ruchu (oczywiście względnego) ciała.
Ziemię mo\
na w przybli\
eniu traktować jako grawitujące ciało o sferycznie-symetrycznym
rozkładzie masy. Pomijając "niewielkie" komplikacje wynikające z tego, \
e Ziemia znajduje się
w polu grawitacyjnym Słońca, a i wpływy Księ\
yca bywają w dokładnych analizach warte
uwagi, mo\
na zało\
yć, \
e w strefie kilkudziesięciu tysięcy kilometrów od środka Ziemi jej pole
grawitacyjne dobrze opisuje się za pomocą rozwiązania Schwarzschilda z ogólnej teorii
względności. Tutaj istotne są następujące wnioski wynikające z tego rozwiązania:
Jest to rozwiązanie opisujące sytuację statycznego pola grawitacyjnego (nie jest to do
końca poprawny opis, bo Ziemia jednak rotuje, ale poprawki związane z rotacją są
praktycznie zaniedbywalne).
Mo\
na wprowadzić współrzędną t, która ma sens czasu dla obszarów dalekich od środka
Strona 4 z 5
Ziemi ("w nieskończoności").
Dla ciała, które spoczywa w punkcie x upływ czasu związany z tempem procesów fizycznych
zachodzących w tym miejscu (w szczególności tykanie zegarów) związany jest z upływem
czasu "w nieskończoności" poprzez wyra\
enie
(1) "T(x) = sqrt(g00) "t
gdzie g00 jest jedną ze składowych tensora metrycznego opisującego rozwiązanie
Schwarzschilda.
Je\
eli ciało to dodatkowo porusza się względem punktu x z prędkością V, to dojdzie jeszcze
dodatkowy efekt dylatacji czasu znany ze szczególnej teorii względności, co da wynik:
(2) "T(x,V) = sqrt(g00) sqrt(1-V2/c2) "t
Gdy teraz zastosujemy ten wzór do porównania tempa chodu zegara na satelicie i na Ziemi, to
dostaniemy najpierw dwa równania:
(3) "T(Rsat,Vsat) = sqrt(g00(Rsat)) sqrt(1-Vsat2/c2) "t
(4) "T(RZiemi,VZiemi) = sqrt(g00(RZiemi)) sqrt(1-VZiemi2/c2) "t
Po podzieleniu stronami skraca się "t, a pozostaje stosunek upływów czasu na satelicie i na
Ziemi.
Reszta to ju\
proste podstawienia i rachunki zaniedbujące niektóre (małe) wielkości. W
ogólnym przypadku w rozwiązaniu Schwarzschilda:
g00 = 1 - 2MG/(Rc2) gdzie M jest masą Ziemi.
Ale poniewa\
2MG/(Rc2) jest bardzo małe, to:
sqrt(g00) = 1 - MG/(Rc2)
Tak\
e sqrt(1 - V2/c2) = 1 - V2/(2c2) ze względu na małą wartość V w stosunku do c.
Tak więc ostatecznie dostajemy:
(5) "T(Rsat, Vsat) / "T(RZiemi, VZiemi) = 1 - (Vsat2 - VZiemi2)/(2c2) - MG(1/Rsat -
1/RZiemi)/c2
(skorzystano tu z uproszczeń: 1/(1-a) = 1+a zachodzącego dla małych a, aby z ilorazu typu
(1-a1)/(1-a2) dostać 1-a1+a2; wcześniej oczywiście tak\
e z (1-b1)(1-b2) = 1-b1-b2
zachodzącego dla małych b1 i b2).
Oznaczmy TZiemi = "T(RZiemi, VZiemi), a tak\
e Tsat = "T(Rsat, Vsat), ponadto oznaczmy:
(6) epsilon = (Vsat2 - VZiemi2)/(2c2) - MG(1/Rsat - 1/RZiemi)/c2
Korzystając w wy\
ej wyprowadzonych zale\
ności porządkujemy równanie:
(7) Tsat = TZiemi - epsilon TZiemi
gdzie:
Tsat - czas jaki upłynął na satelicie wtedy, gdy na Ziemi upłynął czas TZiemi.
Miarą ró\
nicy tempa chodu zegarów jest poprawka epsilon, która wynosi według (6):
(8) epsilon=(Vsat2-VZiemi2)/(2c2)+MG(1/Rsat-1/RZiemi)/c2
gdzie:
Vsat - prędkość satelity w układzie inercjalnym ze środkiem w środku masy Ziemi,
VZiemi - prędkość zegara na powierzchni Ziemi w tym samym układzie,
Strona 5 z 5
M - masa Ziemi, G - stała grawitacji,
Rsat - odległość satelity od środka masy Ziemi,
RZiemi - odległość zegara na Ziemi od środka masy Ziemi.
Wzór ten jest przybli\
eniem nie uwzględniającym tego, \
e w rzeczywistości Ziemia nie jest
sferycznie symetryczna ale jest zbli\
ona do elipsoidy. W zastosowaniach takich jak GPS
odgrywa to ju\
znaczenie i odbiorniki GPS wyliczają dodatkowe poprawki związane z tym
faktem. Tym niemniej, z bardzo dobrym przybli\
eniem podane wzory pozwalają na praktyczne
przeliczenie wzajemnych ró\
nic tempa chodu zegarów których dotyczyło pytanie.
Mo\
na zauwa\
yć, \
e dwa fragmenty wyra\
enia na epsilon konkurują ze sobą i znak wyniku
zale\
y od promienia orbity satelity. Mo\
na dość łatwo wyrachować, \
e gdy zaniedbamy VZiemi
to wynik wyzeruje się dla Rsat = (3/2)RZiemi (zachodzi to dla Rsat = 9567 km). Jeśli
interesuje nas satelita na orbicie kołowej, to:
(9) mVsat2/Rsat = mMG/Rsat2, czyli Vsat2 = MG/Rsat
gdzie: m - masa satelity
Wartość epsilon wtedy znika i zegar na satelicie "cyka" w tym samym rytmie co ten, który
pozostał na Ziemi. Dla satelitów na ni\
szych orbitach "cyka" on wolniej, a dla tych na orbitach
wy\
szych - szybciej.
Dla przykładu: satelity GPS mają promień orbity ok. 20000 km, więc ich zegary "cykają"
szybciej, ni\
te na Ziemi. W przypadku satelitów geostacjonarnych ró\
nica ta jest jeszcze
większa. Największa ró\
nica jest oczywiście dla satelitów na niskich orbitach, gdy\
tam człon z
Vsat2 jest dominujący.
Aktualizacja: 2007-05-17 22:28
FAQ-System 0.4.0, HTML opublikowal: (STS)