Elementy liniowe układów automatyki
ELEMENTY CAA
KUJ
CE
Element całkujący idealny
Ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego:
dy(t)
= kx(t)
dt
W elemencie całkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do
całki sygnału wejściowego:
t
k
y(t) = k
+"x(Ä)dÄ y(s) = X(s) s Å" y(s) = k Å" x(s)
s
0
StÄ…d znajdujemy transmitancjÄ™ operatorowÄ…:
k
G(s) =
s
Odpowiedz
jednostkowa:
h(t)
Ä…=arctg k
t
0
k
h(s) = h(t) = kt Å"1(t)
s2
Odpowiedz
jednostkowa elementu całkującego idealnego
Oznaczenie członu całkującego idealnego
Elementy całkujące
Elementy liniowe układów automatyki
Odpowiedz
impulsowa:
k
g(s) = g(t) = k Å"1(t)
s
g(t)
k
t
0
Odpowiedz
impulsowa elementu całkującego idealnego
Transmitancja widmowa ma postać:
1 k k
G(jÉ) = k G( jÉ) = - j P(É) = 0 Q(É) = -
jÉ Ö Ö
Moduł transmitancji widmowej
k
A(É) =
A(É) = G( jÉ) = P2 (É) + Q2 (É)
É
kÄ…t fazowy
Q(É)

Õ(É) = arctg = arctg(-")
Õ(É) = -
P(É)
2
Elementy całkujące
Elementy liniowe układów automatyki
P(É)
a)
P(É)=0
É
0
b)
A(É)
c)
É
0
Õ(É)
É(É)
É
0
Skala logarytmiczna

-
2
Charakterystyki elementu całkującego idealnego:
a) amplitudowo-fazowa, b) amplitudowa, c) fazowa
Elementy całkujące
Elementy liniowe układów automatyki
Kondensator idealny
I(t)
U(t)
Schemat obwodu z kondensatorem idealnym:
I(t) - sygnał wejściowy, U(t) - sygnał wyjściowy.
Jeżeli w obwodzie z kondensatorem pominiemy rezystancję i indukcyjności
przewodów i założymy, że kondensator jest idealny, to wtedy zależność między
prądem dopływającym do kondensatora a napięciem U na jego okładkach jest:
t
1
U (t) = I(t)dt
+"
C
0
Kondensator idealny jest elementem całkującym o transmitancji:
1
U (s) 1
C
G(s) = = =
I (s) s Cs
Elementy całkujące
Elementy liniowe układów automatyki
Układ napędowy pozycyjny
&!p(t) Ä…(t)
U(t) E(t)
Schemat układu napędowego pozycyjnego
Prędkość kątowa p(t) na wale wyjściowym przekładni jest proporcjonalna do
siły elektromotorycznej:
&! (t) = kE(t)
p
Zakładając, że siła elektromotoryczna E(t) równa jest w przybliżeniu napięciu
U(t) na zaciskach silnika, pomijając spadki napięcia w obwodzie twornika, to:
&! (t) = kU (t)
p
k=const - współczynnik proporcjonalności
Pomijając wpływ bezwładności mechanicznej otrzymujemy:
dÄ… (t) dÄ… (t)
&! (t) = = kU(t)
p
dt dt
U(t) - sygnał wejściowy - napięcie zasilające silnik,
(t) - sygnał wyjściowy - położenie kątowe wału wyjściowego przekładni
Transmitancja układu wynosi:
Ä…(s) k
G(s) = =
U (s) s
Elementy całkujące
Elementy liniowe układów automatyki
Zbiornik cieczy
A
q
h
Zbiornik cieczy: g(t)  sygnał wejściowy  objętość cieczy dopływająca w
jednostce czasu, h(t)  sygnał wyjściowy  poziom cieczy, A = const.  pole
przekroju zbiornika
Do zbiornika dopływa na jednostkę czasu objętość cieczy równa g(t). Objętość
cieczy V(t) w zbiorniku zmienia się zgodnie z równaniem:
dV (t)
= g(t)
dt
a poziom cieczy w zbiorniku
V (t) dh(t) 1
h(t) = = g(t)
A dt A
Transmitancja wynosi:
1
h(s) 1
A
G(s) = = =
g(s) s A Å" s
Zbiornik z cieczą jest idealnym elementem całkującym.
Elementy całkujące