Temperatura i energia kinetyczna gazów

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
149
W Y K A A D XII
Temperatura i energia kinetyczna gazów.
Temperatura jest nam wszystkim znana jako miara tego czy ciało jest ciepłe, czy zimne. W
wykładzie tym poka\emy, \e jednolitą skalę temperatur mo\na zdefiniować korzystając z
własności gazów o małej gęstości i, \e temperatura jest miarą średniej wewnętrznej
molekularnej energii kinetycznej ciała.
13-1 Równowaga cieplna i temperatura.
Nasz zmysł czucia mo\e nam zwykle powiedzieć czy dane ciało jest ciepłe, czy zimne.
Je\eli chcemy jakieś chłodne ciało ogrzać, to umieszczamy je w kontakcie z ciałem gorącym i
odwrotnie.
Kiedy ciało jest ogrzewane lub chłodzone, to pewne własności fizyczne tego ciała
zmieniają się. Większość ciał stałych i cieczy je\eli jest podgrzewane, rozszerza się. Gaz pod
wpływem podgrzewania te\ rozszerza się, je\eli tylko ma taką mo\liwość, lub je\eli objętość
jego jest stała, to wzrasta jego ciśnienie. Je\eli przewodnik elektryczny jest podgrzewany, to
jego opór elektryczny wzrasta. Własności fizyczne zmieniające się pod wpływem temperatury
nazywamy własnościami termometrycznymi. Zmiany we własnościach termometrycznych
pokazują zmiany temperatury ciała.
Załó\my, \e zetkniemy ciepłą sztabkę miedzianą z zimną sztabką \elazną. Ciepła sztabka
miedziana ulegnie ochłodzeniu, a zimna \elazna ogrzeje
się. Mówimy, \e te dwie sztabki znajdują się w kontakcie
termicznym. Sztabka miedziana skurczy się nieco podczas
schładzania, a sztabka \elazna trochę się rozszerzy podczas
ogrzewania. Po jakimś czasie proces ulegnie zatrzymaniu i
długości sztabek pozostaną ju\ stałe. Dwie sztabki znajdą
się wtedy w stanie równowagi termicznej między sobą.
Załó\my teraz, \e tę ciepłą płytkę miedzianą umieścimy
w zimnym jeziorze. Sztabka ochłodzi się a\ do momentu
znalezienia się w stanie równowagi z wodą. ( Zakładamy,
\e jezioro jest na tyle du\e, \e ocieplenie wody jest
całkowicie zaniedbywalne. ) Następnie umieśćmy chłodną,
Rysunek 13-1
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
150
\elazną sztabkę w jeziorze w znacznej odległości od sztabki miedzianej. śelazna sztabka
ociepli się a\ do momentu ustalenia się stanu równowagi termicznej między nią, a jeziorem.
Je\eli teraz obie sztabki wyjmiemy z wody i doprowadzimy do kontaktu termicznego między
nimi, to nie zauwa\ymy \adnych zmian w ich długościach. Będą się one znajdowały w stanie
równowagi termicznej między sobą. Chocia\ jest to całkowicie zrozumiałe intuicyjnie, nie
mo\na tego rezultatu wywnioskować w sposób bezpośredni. Ta prawidłowość nosi nazwę
zerowej zasady termodynamiki:
( Rysunek 13-1 )
Je\eli dwa ciała znajdują się w stanie równowagi termicznej z trzecim ciałem,
to są one równie\ w stanie równowagi termicznej między sobą.
Zerowa zasada termodynamiki.
Je\eli dwa ciała znajdują się w równowadze termicznej między sobą, to mówimy, \e
ciała te mają tę samą temperaturę. Widzimy, zatem, \e zerowa zasada termodynamiki
pozwala nam określić skalę temperatur.
13-2 Skala temperatur Celsjusza.
Do zdefiniowania skali temperatur mo\emy u\yć dowolne własności termometryczne.
Zwykły termometr rtęciowy składa się ze szklanej bańki i rurki zawierających określoną ilość
rtęci. Kiedy termometr jest doprowadzony do kontaktu z cieplejszym ciałem, wtedy rtęć się
rozszerza, zwiększając długość słupka rtęci ( szkło te\ się rozszerza, ale w bardzo niewielkim
stopniu w porównaniu z rtęcią). Mo\emy zbudować skalę wzdłu\ szklanej rurki w
następujący sposób. Na początku termometr jest zanurzany do ludu znajdującego się w
równowadze" z wodą przy ciśnieniu 1 atm. Kiedy termometr jest w równowadze z mieszaniną
wody z lodem, zaznaczamy na rurce poło\enie słupka rtęci. Jest to normalny punkt
zamarzania wody. Następnie termometr umieszczamy w gotującej się wodzie przy ciśnieniu
1 atm. kiedy termometr znajdzie się w stanie równowagi termicznej z gotującą się wodą,
zaznaczamy nowe poło\enie słupka rtęci. Jest to normalny punkt wrzenia wody.
W skali temperatur Celsjusza normalny punkt zamarzania wody oznaczamy jako zero
stopni Celsjusza (00C ), a punkt temperatury wrzenia wody jako 1000C. Przestrzeń między 0,
a 1000C jest podzielona na 100 równych przedziałów (stopni). Oczywiście stopnie te
"
Woda i lód w stanie równowagi tworzą mieszaninę o stałej temperaturze.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
151
rozciągają się powy\ej i poni\ej tych punktów. Je\eli Lt jest długością słupa rtęci, wtedy
temperatura w stopniach Celsjusza dana jest wzorem:
Lt - L0
tC = � 1000 13-1
L100 - L0
Gdzie L0 jest długością słupka rtęci kiedy termometr jest zanurzony w mieszaninie wody i
lodu, a L100 jest wysokością słupka rtęci we wrzącej wodzie.
Skala temperatur Fahrenheita ( u\ywana w Stanach Zjednoczonych ) określa punkt
zamarzania wody jako 320F, a punkt wrzenia wody jako 2120F. Widzimy, \e jednemu
stopniowi Celsjusza odpowiada 1,8 stopnia Fahrenheita. Mo\emy znalezć ogólną zale\ność
między tymi skalami temperatur ze wzoru:
5
tC = (tF - 320) 13-2
9
Zamiana jednej skali na drugą
13-3 Termometry gazowe i absolutna skala temperatur.
Kiedy ró\ne typy termometrów są kalibrowane w mieszaninie wody z lodem i wrzącej
wodzie, wtedy zgadzają się między sobą ( z definicji )
Rysunek 13-2
w 00C i 1000C, ale dają niewielkie ró\nice w odczycie
między tymi punkami. Niezgodności narastają w
sposób zauwa\alny powy\ej punktu wrzenia i poni\ej
punktu zamarzania. Jednak dla jednej grupy
termometrów, a mianowicie, termometrów gazowych
pomiary są ściśle zgodne nawet daleko od punktów
kalibracji. W termometrach o stałej objętości gazu
Gaz Rtęć
utrzymywana jest stała objętość gazu, natomiast
zmienia się ciśnienie gazu, w celu pomiaru temperatury
(Rysunek13-2). Ciśnienie w punkcie topnienia lodu p0
p100
i ciśnienie w punkcie wrzenia wody są określane
przez umieszczeniu termometru w kąpieli wodno- lodowej i w kąpieli wrzącej wody, a
otrzymany przedział podzielony jest na 100 równych stopni. Je\eli ciśnienie wynosi pt w
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
152
kąpieli, której temperaturę chcemy określić, to temperatura w skali Celsjusza będzie
określona wzorem
pt - p0
tC = � 1000 13-3
p100 - p0
Rysunek 13-3 pokazuje wyniki pomiarów punktów wrzenia siarki przy u\yciu
termometrów stało- objętościowych wypełnionych ró\nymi gazami. Mierzona temperatura
jest przedstawiona w funkcji ciśnienia ró\nych
gazów w punkcie wrzenia wody p100 . Ciśnienie
to mo\emy zmieniać poprzez umieszczanie w
termometrze ró\nych ilości gazu. Z wykresów
Powietrze
widać, \e przy niskich gęstościach u\ytych gazów
wskazania wszystkich termometrów są bardzo
zbli\one. W granicy, gdy gęstość gazów dą\y do
Rysunek 13-3
zera, temperatura odczytana na wszystkich
termometrach jest taka sama. Poniewa\ pomiar
Rysunek 13-4
temperatury ma być niezale\ny od własności
gazów, dlatego te\ do określenia temperatury
u\ywa się termometrów gazowych, w których
gęstość gazów jest niewielka.
Rozwa\my szereg pomiarów temperatur za
pomocą termometru ze stałą objętością gazu, w
którym znajduje się bardzo niewielka, ale stała ilość gazu. Zgodnie z równaniem 13-3
ciśnienie pt w termometrze zmienia się liniowo wraz z mierzoną temperaturą tC . Rysunek
13-4 przedstawia zale\ność między mierzoną temperaturą, a ciśnieniem w termometrze o
stałej objętości. Je\eli przedłu\yć linię prostą do ciśnienia równego zeru, to temperatura
osiąga wartość - 273,150C . Taką wartość otrzymamy bez względu jaki gaz zostanie u\yty.
Stanem odniesienia, który znacznie precyzyjniej mo\na powtórzyć, ni\ punkt zamarzania
lub wrzenia wody jest punkt potrójny wody jedyna temperatura i ciśnienie, w których
woda mo\e istnieć w stanie równowagi tzn. pary, wody i lodu. Ten stan równowagi pojawia
się przy ciśnieniu 4,58mmHg i 0,010C. Skala temperatur Kelvina jest określona w ten
sposób, \e w punkcie potrójnym temperatura wynosi 273,16 kelwinów ( K )" . Temperatura
"
Jeden kelwin ma taki samą wartość co 1stopień Celsjusza
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
153
w innym stanie określana jest jako proporcjonalna do ciśnienia w termometrze o stałej
objętości.
273,16 K
T = p 13-4
p3
Bezwzględna skala temperatur.
gdzie p jest obserwowanym ciśnieniem w termometrze, a p3 jest ciśnieniem gazu w
termometrze je\eli ten zanurzony jest w kąpieli woda-lód-para w punkcie potrójnym. Wartość
p3 zale\y od ilości gazu w termometrze Skala temperatur Kelvina, określona równaniem 13-
4, ma przewagę nad dowolnym innym sposobem pomiaru temperatury, poniewa\ dowolna
mierzona temperatura nie zale\y od własności jakiegoś konkretnego gazu, a zale\y jedynie od
ogólnych własności gazów.
Najni\sza temperatura jaka mo\e być zmierzona za pomocą termometru gazowego wynosi
około 1 K, a gazem musi być hel. Poni\ej tej temperatury hel przechodzi w stan ciekły;
wszystkie inne gazy mają wy\szą temperaturę skraplania. W jednym z następnych wykładów
przekonamy się, \e mo\na u\yć drugiej zasady termodynamiki do określenia absolutnej skali
temperatur niezale\nej od własności jakiejkolwiek substancji i bez ograniczenia temperatur,
które chcemy mierzyć. za pomocą tej skali mo\na mierzyć nawet milionowe części kelwina.
Tak zdefiniowana bezwzględna skala temperatur jest identyczna ze skalą zdefiniowaną
równaniem 13-4 dla zakresu temperatur, które mogą być mierzone za pomocą termometrów
gazowych. Litery T u\ywa się do określania temperatury w bezwzględnej skali temperatur.
Poniewa\ 1 celsjusz i 1 kewin mają ten sam rozmiar, to ró\nice temperatur w skali
Celsjusza i skali Kelvina są jednakowe Te dwie skale ró\nią się tylko wyborem zerowej
temperatury. Chcąc przeliczyć stopnie celsjusza na stopnie kelwina dodajemy po prostu
273,15:
T = t + 273,15K 13-15
Mimo, i\ skala Celsjusza jest wygodna w codziennym stosowaniu, to absolutna skala
temperatur jest znacznie bardziej wygodna w zastosowaniach naukowych; przy jej stosowaniu
wiele wzorów ulega znacznemu uproszczeniu, a poza tym bezwzględna skala temperatur ma
znacznie głębsze uzasadnienie fizyczne.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
154
13-4 Równanie stanu gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona).
Własności gazów posiadających małą gęstość umo\liwiają zdefiniowanie skali temperatur
dla gazów doskonałych. Je\eli sprę\amy taki gaz, jednocześnie utrzymując jego stałą
temperaturę. to ciśnienie wzrośnie. Podobnie, je\eli gaz rozprę\a się przy stałej temperaturze,
jego ciśnienie maleje. Z dobrym przybli\eniem, mo\emy przyjąć, \e iloczyn ciśnienia i
objętości gazów o małej gęstości pozostaje stały w stałej temperaturze. Ta zale\ność nosi
nazwę prawa Boyle'a i Mariotte a:
pV = constans ( stała temperatura)
Istnieje bardziej ogólne prawo: Zgodnie z równaniem 13-4 temperatura absolutna gazu o
małej gęstości jest proporcjonalna do ciśnienia przy stałej objętości ( prawo odkryte przez
Charlses a). Oprócz tego, prawo odkryte przez Gay-Lussaca stwierdza, i\ temperatura w
skali bezwzględnej dla gazów o małej gęstości jest proporcjonalna do objętości, je\eli
ciśnienie pozostaje stałe. Mo\emy połączyć wszystkie te prawa otrzymane eksperymentalnie i
zapisać:
pV = CT 13-6
gdzie C jest stałą proporcjonalności. Zwróćmy uwagę, \e C jest proporcjonalne do ilości
gazu. Wezmiemy pod uwagę dwa zbiorniki o takiej samej objętości i zawierające gaz o
jednakowej temperaturze i połączmy je. Wtedy podwójna ilość gazu zajmie podwójną
objętość przy tym samym ciśnieniu p i temperaturze T . Dlatego mo\emy zapisać C jako
iloczyn pewnej stałej k i liczby cząsteczek gazu N :
C = kN
Wtedy równanie 13-6 przyjmie postać:
pV = NkT
13-7
Stała k nazywa się stałą Boltzmanna. Dla wszystkich rodzajów gazów stwierdzono
eksperymentalni, \e stała Boltzmanna ma stałą wartość i wynosi:
k = 1,381�10-23 J / K = 8,617 �10-5eV / K 13-8
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
155
Ilość gazu często wyra\ana jest w molach. Mol dowolnej substancji jest ilością tej substancji,
która zawiera liczbę Avogadro NA atomów lub cząsteczek zdefiniowanych jako ilość
atomów węgla w 12g 12C:
NA = 6,022 �1023 13-9
Je\eli mamy n moli substancji, to ilość cząsteczek wynosi:
N = nN 13-10
A
Wtedy równanie 13-7 mo\na zapisać w postaci:
pV = nNAkT = nRT 13-11
gdzie R = N k i nazywa się uniwersalną stałą gazową. Jej wartość wynosi :
A
R = N k = 8,314J / mol �" K 13-12
A
Rysunek 13-5 pokazuje zale\ność
Rysunek 13-15
pV / nT w funkcji ciśnienia p dla
szeregu gazów. Dla wszystkich gazów
pV / nT jest prawie stałe dla
stosunkowo du\ego zakresu ciśnień.
Nawet tlen, którego zmiany są
największe na wykresie zmienia
powy\szą wartość o 1% w zakresie od 0
do 5atm. Gaz doskonały jest określony jako taki, Dla którego zmiany pV / nT są stałe dla
wszystkich ciśnień. Ciśnienie, objętość i temperatura dla gazu doskonałego są powiązane
zale\nością:
pV = nRT 13-13
Równanie gazu doskonałego ( Równanie Clapeyrona )
Zmienne p , V i T opisują stan makroskopowy gazu w danej chwili ( Stan
mikroskopowy gazu mógłby być opisany przez podanie poło\enia i prędkości ka\dej cząstki
gazu ) . Równanie takie jak 13-13 opisujące zale\ności między tymi makroskopowymi
parametrami stanu nazywa się równaniem stanu. Dla dowolnego gazu o dowolnej gęstości
istnieje równanie stanu wią\ące parametry stanu p , V i T z daną ilością gazu. Tak więc,
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
156
stan makroskopowy danej ilości gazu jest określony przez dwa lub trzy parametry stanu.
Równanie 13-13 opisuje własności realnych gazów posiadających małą gęstość ( a tym
samym niskie ciśnienie ). Dla większych gęstości nale\y wprowadzić poprawki do równania
13-13. Takie poprawki są, na przykład, wprowadzane do innego równania stanu równania
van der Waalsa opisującego własności rzeczywistych gazów o du\ej gęstości.
Temperatura 00C ( 273,15 ) i ciśnienie 1atm często nazywamy warunkami normalnymi.
Mo\na łatwo pokazać, \e w warunkach
normalnych 1 mol gazu doskonałego zajmuje
Rysunek 13-5
objętość 22,4l.
Ćwiczenie: Z równania 13-13 wyznacz objętość 1
mola podstawiając warunki normalne.
Rysunek 13-5 Przedstawia zale\ność
ciśnienia p od objętości V dla ró\nych stałych
temperatur. Krzywe te nazywają się izotermami.
Izotermy dla gazu doskonałego są hiperbolami. Dla
stałej ilości gazu widać, \e wielkość pV / T jest stała Je\eli indeks 1 oznacza wartości
początkowe, a indeks 2 warunki końcowe, to mo\emy zapisać :
p2V2 p1V1
= 13-14
T2 T1
Równanie gazu doskonałego dla stałej ilości gazu.
Masa substancji przypadająca na jeden mol nazywa się masą molową (masą cząsteczkową)
12
� . Masa molowa C zgodnie z definicją wynosi 12g/mol = 12 X 10-3kg/mol. Masa
molowa cząsteczki takiej jak CO2 jest sumą mas pierwiastków wchodzących w skład
cząsteczki. Poniewa\ masa molowa tlenu wynosi 16g/mol, to masa molowa O2 wynosi
32g/mol i masa molowa cząsteczki CO2 jest równa 12+32 = 44g/mol.
Masę n moli gazu mo\emy zapisać jako:
m = n�
a gęstość � gazu doskonałego jako:
m n�
� = =
V V
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
157
stosując n / V = p / RT z równania 13-13 otrzymujemy:
�
� = p 13-15
RT
Gęstość gazu doskonałego.
Dla danej temperatury gęstość gazu doskonałego jest proporcjonalna do jego ciśnienia.
13-5 Kinetyczna teoria gazów.
Opisanie zachowania się gazu za pomocą makroskopowych parametrów stanu p,V i
T mo\na powiązać z prostymi średnimi wielkościami mikroskopowymi takimi jak: masa i
prędkość pojedynczych cząsteczek gazu. Taka teoria nazywa się kinetyczną teorią gazów.
Z punktu widzenia teorii kinetycznej gaz składa się ogromnej liczby cząsteczek
doznających zderzeń sprę\ystych między sobą i ze ściankami pojemnika. Pod nieobecność sił
zewnętrznych (siły grawitacji mo\emy zaniedbać), cząsteczka nie zajmuje jakiegoś
uprzywilejowanego poło\enia w zbiorniku i nie istnieje jakiś uprzywilejowany kierunek
prędkości. Zakładamy, \e cząsteczki w naczyniu znajdują się w znacznie większej odległości
od siebie ni\ ich średnica i nie oddziaływają na siebie \adnymi siłami, oprócz momentów,
kiedy ulegają zderzeniom. ( To ostatnie zało\enie jest równowa\ne zało\eniu, \e gęstość gazu
jest bardzo mała, a tym samym gaz mo\emy traktować jako doskonały. Poniewa\ pęd jest
zachowany, to zderzenia cząsteczek między sobą nie mają wpływu na pęd całkowity w
dowolnym kierunku w związku z tym takie zderzenia mogą być zaniedbywalne).
Obliczenie ciśnienia wywieranego przez gaz.
Ciśnienie jaki gaz wywiera na ścianki naczynia jest spowodowane zderzeniami cząsteczek
gazu z tymi ściankami naczynia. Ciśnienie to jest równe sile działającej na jednostkę
powierzchni, a z drugiego prawa Newtona wynika, \e siła ta jest równa szybkości zmian pędu
cząsteczek gazu zderzających się ze
ściankami naczynia.
Rozwa\my prostopadłościenny pojemnik
o objętości V zawierający N cząsteczek ,
ka\da o masie m poruszającej się z
prędkością v. Policzmy siłę wywieraną
przez te cząsteczki na prawą ściankę
Rysunek 13-6
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
158
naczynia, która jest prostopadła do osi x i ma pole powierzchni A. Ilość cząsteczek
uderzających w tę ściankę w czasie "t jest równa ilości cząsteczek, które znajdują się w
odległości vx"t od ścianki i poruszają się na prawo ( Rysunek 13-6 ). Ta ilość jest równa
ilości cząstek przypadających na jednostkę objętości w naczyniu razy vx"t �" A, razy � ,
poniewa\ średnio tylko połowa cząstek porusza się na prawo. W rezultacie ilość cząstek
uderzających w ściankę naczynia jest równa:
1 N
Cząstki uderzające w ściankę = vx"tA
2 V
+ mvx
Składowa x-owa pędu cząsteczki wynosi przed uderzeniem w ściankę i - mvx po
uderzeniu w ściankę. W rezultacie zmiana pędu ma wartość 2mvx . Wartość całkowitej
zmiany pędu "p wszystkich cząsteczek w czasie "t jest równa 2mvx razy ilość cząsteczek
uderzających w prawą ściankę w tym czasie :
1 N N
�ł
2
"p = (2mvx )� vx"tA�ł = vx A"t �" m 13-16
�ł �ł
2 V V
�ł łł
Siła wywierana przez prawą ściankę na cząsteczki i przez cząsteczki na ściankę jest równa
zmianie momentowi podzielonemu przez czas "t . Ciśnienie jest równe sile podzielonej przez
pole powierzchni :
F 1 "px N
2
p = = = mvx
A A "t V
lub
2
pV = Nmvx 13-17
Uwzględniając fakt, \e cząsteczki w naczyniu nie posiadają jednakowych prędkości, mo\emy
2 2
jedynie zastąpić vx przez wartość średnią (vx ) . Wtedy równanie 13-17 wyra\one za
śr
1
2
pomocą energii kinetycznej mvx w ruchu wzdłu\ osi x przyjmie postać:
2
1
2
pV = 2N�ł mvx �ł 13-18
�ł �ł
2
�ł łłśr
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
159
Molekularna interpretacja temperatury.
Porównując równanie 13-18 z równaniem 18-7, które zostało otrzymane eksperymentalnie dla
dowolnego o bardzo małej gęstości widzimy, \e:
1
2
pV = NkT = 2N�ł mvx �ł
�ł �ł
2
�ł łłśr
lub
1 1
�ł
2
mvx �ł = kT 13-19
�ł �ł
2 2
�ł łłśr
Średnia energia związana z ruchem kierunku x
W rezultacie średnia energia kinetyczna ruchu jednej cząsteczki w kierunku osi x jest równa
1
kT . Jednak nic szczególnego nie wyró\nia kierunku x . Dlatego średnio:
2
2 2
(vx ) = (v2) = (vz ) 13-20
y
śr śr
śr
i
2 2 2
(v2) = (vx ) +(v2) +(vz ) = 3(vx )
śr y
śr śr śr
śr
1
2
Pisząc (vx ) = (v2) 13.20a
śr
śr
3
i oznaczając przez Kśr średnią energię poszczególnych cząsteczek, równanie 13-18 przyjmie
postać:
2
pV = NKśr
3
Jest to tzw. Podstawowe równanie kinetyczno-molekularnej teorii gazów.
Je\eli podstawić 13.20a do 13.19 to otrzymamy:
1 3
�ł
Kśr = mv2 �ł = kT 13-21
�ł �ł
2 2
�ł łłśr
Średnia energia kinetyczna jednej cząsteczki
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
160
W rezultacie temperatura bezwzględna jest miarą średniej energii kinetycznej ruchu
"
"
"
postępowego cząsteczek gazu". Całkowita energia ruchu postępowego n moli gazu
zawierających N cząsteczek jest równa:
1 3 3
K = N�ł mv2 �ł = NkT = nRT 13-22
�ł �ł
2 2 2
�ł łłśr
Energia kinetyczna ruchu postępowego n moli gazu
gdzie podstawiliśmy Nk = nN K = nR . W rezultacie, średnia energia kinetyczna ruchu
A
postępowego
3
przypadająca na jedną cząsteczkę wynosi kT , a energia kinetyczna ruchu postępowego
2
jednego mola gazu
3
wynosi RT .
2
Mo\emy u\yć otrzymane wyniki dla oszacowania rzędu wielkości prędkości cząstek gazu.
Średnią wartość v2 otrzymamy z równania 13-21:
3kT 3NAkT 3RT
(v2) = = =
śr
m NAm �
gdzie � = NAm jest masą cząsteczkową. Pierwiastek kwadratowy z (v2) nazywa się
śr
średnią prędkością kwadratową :
3kT 3RT
vkw = (v2) = = 13-23
śr
m �
Ćwiczenie Oblicz średnią prędkość kwadratową cząstek azotu (�= 28g/mol ) w temperaturze
300K.
( Odpowiedz 516m/s )
Zasada ekwipartycji energii.
"
Zaznaczyliśmy słowa ruch postępowy, poniewa\ cząsteczka mo\e energię kinetyczną ruchu obrotowego, lub drgającego. Tylko energia
kinetyczna ruchu postępowego jest istotna, kiedy obliczamy ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
161
Przekonaliśmy się, \e średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki w dowolnym
1
kierunku jest równa kT ( Równanie 13-19), gdzie k jest stałą Boltzmanna. Je\eli energia
2
cząsteczki związana z ruchem w danym kierunku gwałtownie zwiększa się, powiedzmy
dzięki zderzeniu z poruszającym się tłokiem podczas sprę\ania, to zderzenia między tą
cząsteczką, a innymi cząsteczkami rozdzielą tę dodatkową energię. Kiedy gaz znajdzie się
ponownie w stanie równowagi, to energia ta będzie równomiernie rozdzielona między energie
kinetyczne ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach x, y, z. Ten równomierny
podział energii ruchu postępowego we wszystkich trzech kierunkach nosi nazwę zasady
ekwipartycji energii i wynika z klasycznej mechaniki statystycznej. Ka\da składowa
poło\enia, jak i pędu ( włączając w to poło\enie kątowe i moment pędu ), która pojawia się
jako element kwadratowy w wyra\eniu na energię układu nazywa się stopniem swobody.
Typowe stopnie swobody są związane z energią kinetyczną ruchu postępowego, ruchu
obrotowego i ruchu drgającego, a tak\e z energią potencjalną ruchu drgającego. Zasada
ekwipartycji energii stwierdza:
Je\eli substancja znajduje się w stanie równowagi, to średnia energia
przypadająca na
1 1
jeden stopień swobody wynosi kT na jedną cząsteczkę, lub RT na jeden
2 2
mol .
W następnym wykładzie zastosujemy zasadę ekwipartycji energii aby powiązać mierzoną
pojemność cieplną gazów z ich budową cząsteczkową.
Średnia droga swobodna.
Średnia prędkość cząsteczek gazu przy typowych ciśnieniach wynosi kilkaset metrów na
sekundę, jednak je\eli ktoś po drugiej stronie pokoju, w którym się znajdujemy otworzy
flakonik perfum, to zapach poczujemy nie natychmiast, a po jakimś czasie. W rzeczywistości
gdyby nie było przepływu powietrza przez pokój, to zapachu nie poczulibyśmy całymi
tygodniami. Rozchodzenie się zapachu jest dlatego tak wolne, poniewa\ cząsteczki perfum
mimo, \e poruszają się bardzo szybko, to nie poruszają się w naszym kierunku po prostej, ale
drodze zygzakowatej, równie często do przodu jak i do tyłu. Dzieje się tak dlatego, \e
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
162
cząsteczki te doznają ciągłych zderzeń z cząsteczkami powietrza. Średnia odległość przebyta
przez cząsteczkę między dwoma zderzeniami nazywa się średnią drogą swobodną.
Średnia droga swobodna zale\y od rozmiaru cząsteczki, rozmiarów cząsteczek
otaczającego gazu i gęstości gazu. Wezmy pod
uwagę cząsteczkę o promieniu r1 poruszającą się z
prędkością v przez obszar nieruchomych cząsteczek
( Rysunek 13-7 ). Poruszające się cząsteczki będą
zderzać się z innymi cząsteczkami o promieniu r2 ,
je\eli środki tych dwu cząsteczek znajdą się w
Rysunek13-7
odległości mniejszej od siebie ni\ d = r1 + r2 . ( je\eli
wszystkie cząsteczki są tego samego rodzaju, to d jest
średnica d
średnicą tych cząsteczek ). Podczas poruszania się
cząsteczek, będą one zderzać się z ka\dą cząsteczką,
której środek znajduje się w okręgu o promieniu d
pole = Ąd2
(Rysunek 13-8 ). W ciągu pewnego czasu t przebędzie
Rysunek 13-8
ona drogę vt i zderzy się z ka\dą cząsteczką znajdującą
2 2
się w cylindrze o objętości Ąd vt . Ilość cząsteczek w tej objętości wynosi nvĄd vt , gdzie
nv = N / V jest ilością cząsteczek na jednostkę objętości. ( Po ka\dym zderzeniu kierunek
cząsteczki zmieni się i droga jej będzie linią łamaną). Całkowita długość drogi podzielona
przez ilość zderzeń da nam średnią drogę swobodną:
vt 1
= =
2 2
nvĄd vt nvĄd
To wyliczenie średniej drogi swobodnej zostało zrobione przy zało\eniu, \e oprócz jednej
wszystkie inne cząsteczki nie poruszają się. Je\eli uwzględnić ruch wszystkich pozostałych
cząsteczek to prawidłowe wyra\enie na średnią drogę swobodną będzie miało postać:
1
=
13-24
2
2nvĄd
Średni czas między zderzeniami oznaczmy � . Odwrotność czasu � tzn. 1 / � jest w
przybli\eniu równa ilości zderzeń zachodzących w ciągu jednej sekundy, czyli częstotliwości
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
163
zderzeń. Je\eli vśr jest średnią prędkością, to średnia odległość przebyta między zderzeniami
jest równa:
= vśr� 13-25
P R Z K A A D
Średnica cząsteczek azotu wynosi około 3,75 X 10-10 m, a masa molowa jest równa 28g/mol.
(a) Oblicz średnią drogę swobodną cząsteczki azotu w temperaturze 300K i ciśnieniu 1 atm.
(b) Oszacuj czas między zderzeniami, przyjmując, \e średnia prędkość jest równa średniej
prędkości kwadratowej.
Analiza zadania. (a) Poniewa\ dane jest d to potrzebujemy tylko nv aby wyliczyć z
2
równania = 1 / 2nvĄd ( Równanie 13-24 ). Mo\na zastosować równanie gazu
doskonałego , aby znalezć nv = N / V . ( Upewnij się czy zamieniłeś 1 atm na paskale, tak
aby zgadzały się jednostki ). (b) Zastosuj równanie 13-26 w celu znalezienia związku � z i
vśr , a następnie wylicz vśr H" vkw = 3RT / �
( Równanie 13-23 ).
1
(a) 1. Zapisz wykorzystując gęstość cząstek nv i średnicę =
2
2nvĄd
cząsteczkową d.
2. Zastosuj równanie pV = NkT do wyliczenia nv = N / V
nv = 2,45 �1025czastek / m3
3 Podstaw wartość nv i na podstawie danego d oblicz średnią
drogę swobodną = 6,53�10-8 m

(b) 1. Zapisz� w postaci � =
vśr
2. Oszacuj vśr na podstawie wyliczonego vkw = 517m / s
3. Zastosuj vśr H" vkw aby obliczyć � � H" 1,3�10-10 s
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
164
Uwaga. Zwróć uwagę, \e średnia droga swobodna jest około 2000 razy większa od średnicy
cząsteczek, i \e częstość zderzeń ich wynosi około 1 / � H" 8 �1091 / s

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
37gestosc energii kinetycznej fali podluznej
energia kinetyczna 7 4
16 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy
10 Kinetyczna teoria gazow

więcej podobnych podstron