WPROWADZENIE DO TRANSFORMACJI LINIOWYCH W OBWODACH MASZYN
ELEKTRYCZNYCH
ABC to osie uzwojeń układu trójfazowego, ą� to osie równoważnego uzwojenia
dwufazowego. Analiza rozkładu pola magnetycznego uzwojeń w maszynach elektrycznych
wykazuje, że oba uzwojenia są równoważne przy założeniu, że każde z uzwojeń fazowych
wytwarza sinusoidalny rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej. Przyjmując
zatem do opisu istnienie jedynie pierwszej harmonicznej pola można w sposób przyjąć, że
oba uzwojenia (trójfazowe i dwufazowe) wytwarzają dokładnie taką samą wartość
strumienia wypadkowego w szczelinie powietrznej. Poszczególne wielkości występujące
w równaniach maszyny trójfazowej można łatwo przeliczyć na równoważne uzwojenie
dwufazowe dokonując  rzutowania wielkości pomiędzy wyżej narysowanymi układami
współrzędnych:
wą = (wA - wB sin 30� - wC sin 30�)k
w� = (wB sin 60� - wC sin 60�)k
wo = (k2wA + k2wB + k2wC )k
W równaniach powyższych wprowadzono współczynnik k, który w ogólnym
przypadku można przyjąć całkowicie dowolnie, przy czym należy pamiętać wówczas o
odpowiednim współczynniku jaki musi się pojawić przy przeliczaniu wielkości z układu
dwufazowego do trójfazowego. Równania dotyczące układu dwufazowego często
uzupełnia się o równanie wyznaczające tzw. składową zerową odpowiednich wielkości
(prądów, napięć). Z rozkładu pola wynika, że przy dokonywaniu analizy uwzględniającej
jedynie pierwszą składową pola magnetycznego w szczelinie składowa zerowa prądu nie
wytwarza pola magnetycznego.
Wygodnie jest stosować do zapisu powyższych przekształceń zapis macierzowy,
wówczas:
wą wA
Ą# ń# Ą# ń#
ó#w Ą# ó#w Ą#
= [S]
� B
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
o C
Ł#w Ś# Ł#w Ś#
- 1-
1 1
Ą# ń#
1 - -
ó# Ą#
2 2
ó# Ą#
3 3
ó# Ą#
[S]= k 0 -
ó# 2 2 Ą#
k2 k2 k2
ó# Ą#
ó# Ą#
Ł# Ś#
Wartości współczynników k i k2 wynikają z konkretnych założeń dotyczących
transformacji. Jeśli będziemy w identyczny sposób transformowali np. prąd i napięcie to
jako kryterium doboru współczynników możemy przyjąć równość mocy chwilowej przed i po
transformacji. Moc chwilową przed transformacją można przedstawić jako:
iA
Ą# ń#
p = [uA uB uC]ó#iB Ą# = [u]T [i]
ó# Ą#
ó# Ą#
C
Ł#i Ś#
Po transformacji (przy założeniu, że do transformacji prądów i napięć używamy takiej
samej wartości k) otrzymamy:
p' = ([S][u])T [S][i] = [u]T [S]T [S][i]
Dla zachowania stałości mocy musi być spełniony:
[S]T [S] = [1]
1 1
ń#
Ą# ń#Ą#
ó# 1 0 k2 Ą#ó# 1 - 2 - 2 Ą#
Ą#
ó# Ą#ó#
1 3 3 3
2
Ą#
ó#-
Ą#ó#
k k2 0 - = [1]
2 2 2 2 Ą#
ó# Ą#ó#
ó# Ą#ó#k2 k2 k2 Ą#
1 3
Ą#
ó#- 2 - 2 k2 Ą#ó#
Ł# Ś#Ł#
Ś#
1 1
Ą#
2 2 2
1+ k2 - + k2 - + k2 ń#
ó# Ą#
2 2
ó# Ą#
1 1
2 2 2
k2 ó#- + k2 1+ k2 - + k2 Ą# = [1]
2 2
ó# Ą#
1 1
2 2 2
ó# Ą#
ó#- 2 + k2 - 2 + k2 1+ k2 Ą#
Ł# Ś#
Stąd otrzymamy:
1 1
2
- + k2 = 0 - > k2 =
2
2
- 2-
2 2
2
k2(1+ k2 ) = 1 - > k2 = - > k =
3 3
Zatem:
1 1
Ą# ń#
1 - -
ó# Ą#
2 2
ó# Ą#
2 3 3
ó# Ą#
[S]= 0 -
3 ó# 2 2 Ą#
ó# 1 1 1 Ą#
ó# Ą#
2 2 2
Ł# Ś#
Macierz odwrotna przyjmuje postać:
1
Ą# ń#
1 0
ó# Ą#
2
ó# Ą#
2 1 3 1
-1 T
ó# Ą#
[S] = [S] =
ó#- Ą#
3 2 2
2
ó# Ą#
ó#- 1 - 3 1 Ą#
ó# 2 2 Ą#
2
Ł# Ś#
Inne metody wyboru wartości współczynników w praktyce opierają się na
przyjmowaniu innych wartości przy przeliczaniu prądu a innych napięcia. Oczywistym jest,
że zachowując moc chwilową współczynniki te muszą spełniać warunek:
2
kuki =
3
Brak zachowania warunku tego powoduje, że wartość chwilowa mocy po
transformacji ulega zmianie, co należy uwzględnić w analizie mocy, strat i momentu
elektromagnetycznego maszyny.
Często stosowanym jest współczynnik równy:
2
k =
3
wówczas:
1 1
Ą# ń#
1 - -
ó# Ą#
2 2
ó# Ą#
2 3 3
ó# Ą#
[S]= 0 -
3 ó# 2 2 Ą#
ó# 1 1 1 Ą#
ó# Ą#
2 2 2
Ł# Ś#
- 3-
1
Ą# ń#
1 0
ó# Ą#
2
ó# Ą#
1 3 1
-1
ó# Ą#
[S] =
ó#- 2 2 Ą#
2
ó# Ą#
ó#- 1 - 3 1 Ą#
ó# 2 2 Ą#
2
Ł# Ś#
Moc chwilowa jest wówczas po transformacji zbyt mała, gdyż
2
2 4
�# ś#
k2 = =
ś# ź#
3 9
�# #
W takim przypadku i moc chwilową po transformacji należy zwiększyć w stosunku
3/2 i obliczać według zależności:
3
p = (uąią + u�i� + u0i0)
2
Współczynnik o tej wartości jest jednak bardzo wygodny. Macierz odwrotna ma
bowiem taką postać w której, przy pominięciu składowej zerowej, wartości wielkości w fazie
A są równe wielkościom w fazie ą.
Wielkości w osiach ą� prezentuje się zwykle w postaci wektorów przestrzennych
jako:
w = wą + jw�
Często stosowaną metodą opisu jest stosowanie dodatkowej transformacji
wyznaczającej od razu wektory w opisie zespolonym. Przy transformacji zachowującej
stałą moc przy przekształceniu należy wówczas pomnożyć równania we współrzędnych
ą�0 przez macierz:
1 j 0
Ą# ń#
1
ó#1 - j 0 Ą#
[C]=
ó# Ą#
2
ó# Ą#
Ł#0 0 2Ś#
Wartość współczynnika przed macierzą transformacji wyznacza się z warunku
stałości mocy:
1 j 0 1 1 0 1 j 0
Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#
1
*T
ó#1 - j 0 Ą#ó# Ą# ó#1 - j 0 Ą#
[C][C] = = = [1]
ó# Ą#ó#- j j 0 Ą# ó# Ą#
2
ó# Ą#ó# Ą# Ą#
Ł#0 0 2Ś#Ł# 0 0 2Ś# ó# 0 2Ś#
Ł#0
Postępowanie takie jest równoznaczne transformacji z układu współrzędnych
naturalnych do postaci wektorowej poprzez stosowanie macierzy:
- 4-
1 3
Ą# ń#
1 a a2
a = - + j
1 ó#1 a2 a Ą# 2 2
[C][S]= [T]=
ó# Ą#
gdzie:
3 1 3
ó#1 1 1 Ą#
a2 = - - j
Ł# Ś#
2 2
Macierz odwrotna przyjmuje wówczas postać:
1 1 1
Ą# ń#
1
-1
ó# 2
[T ] = a a 1Ą#
ó# Ą#
3
2
ó# Ą#
a a 1Ś#
Ł#
Przy stosowaniu macierzy w postaci zespolonej w takiej postaci należy pamiętać o
założeniach dotyczących doboru współczynników. Całkowita moc po przekształceniu jest
równa mocy przed transformacją, natomiast moc chwilową należy tu liczyć jako:
p = ui* + u*i + u0i0
Znacznie wygodniejszą postacią macierzy transformacyjnej o współczynnikach
zespolonych stosowanej w praktyce jest:
Ą# ń#
1 a a2
2 ó#1 a2 a Ą#
'
[T ]=
ó# Ą#
3
ó#1 1 1 Ą#
Ł# Ś#
Stosowanie takiej postaci macierzy do układu trójfazowego bez składowej zerowej
sprowadza przekształcenie trzech wielkości fazowych do jednego wektora przestrzennego.
Przekształcenie prądów fazowych daje wówczas następującą postać po przekształceniu:
i
Ą# ń# Ą# ń#
1 a a2 iA
Ą# ń#
2
ó# Ą# ó#1 Ą#
ó#i Ą#
*
= a2 a
B
ó#i Ą# ó# Ą# i = ią + ji�
ó# Ą#
gdzie:
3
ó#i0 Ą# ó#1 1 1 Ą#Ł#iC Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#ó# Ą#
Macierz odwrotna przyjmuje wówczas postać:
1 1 1
Ą# ń#
-1 1
' ó#a a 1Ą#
2
[T ] =
ó# Ą#
2
ó# Ą#
a a2 1Ś#
Ł#
Prąd fazy A można (przy pominięciu składowej zerowej) wyznaczyć zatem ze wzoru:
1
iA = (i + i*) = ią
2
Wartość mocy po transformacji będzie zaniżona i wówczas przy pominięciu
składowej zerowej moc w układzie należy liczyć jako:
3 3
p = Re{ui*} = (uąią + u�i� )
2 2
- 5-
Do tej pory opisywano transformacje wielkości typu prąd, napięcie, strumień układu
trójfazowego do układu dwufazowego. W praktyce należy w jaki sposób zastępuje
przekształcenie równań opisujących stan dynamiczny maszyn elektrycznych. Równania
układu trójfazowego w układzie stacjonarnym można przedstawić w postaci:
d� d� d�C
A B
uA = RiA + uB = RiB + uC = RiC +
dt dt dt
Równania te można przedstawić w postaci macierzowej:
d[�]
[u]= [R][i]+
dt
Zastosowanie transformacji S sprowadza się do pomnożenia powyższego równania
przez macierz S otrzymując:
d[S][�ą]
[S][u]= [S][R][i]+
dt
d[S][�ą]
-1
[S][u]= [S][R][S] [S][i]+
dt
Przy założeniu jednakowych wartości rezystancji w każdej fazie otrzymamy:
d[�ą� 0]
[uą� 0]= [R][ią� 0]+
dt
lub w innej postaci:
d�
d�ą d�o
�
uą = Rią + u� = Ri� + uo = Rio +
dt dt dt
Jeśli pomijamy składową zerową prądu to opis matematyczny sprowadza się do
dwóch pierwszych równań. Równania te można traktować jak jedno równanie przy
wykorzystaniu zmiennych zespolonych w postaci:
d�
u = Ri +
dt
Przy czym wszystkie wielkości występujące w równaniach noszą miano wektorów
przestrzennych: prądu, napięcia, strumienia.
w = wą + jw�
Bardzo często dokonuje się transformacji tych równań do innych układów
współrzędnych, przesuniętych względem układu stacjonarnego o pewien kąt:
- 6-
Transformacji do układu xy dokonuje się w sposób następujący:
wx wą
Ą# ń# cosł sinł Ą# ń#
Ą# ń#
=
ó#w Ą# ó#w Ą#
ó# Ą#
y �
Ł#- sinł cosł Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Transformacja odwrotna:
wą wx
Ą# ń# cosł - sinł Ą# ń#
Ą# ń#
=
ó#w Ą# ó#w Ą#
ó#sinł cosł Ą#
� y
Ł# Ś#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Przy uwzględnieniu składowej zerowej otrzymamy:
wx cosł sinł 0 wą
Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
ó#w Ą# ó# Ą#
=
y
ó# Ą# ó#- sinł cosł 0Ą#ó#w� Ą#
Ą#ó#
ó# Ą# ó# Ą#ó# Ą#
0 0 1Ś#Ł#wo Ś#
o
Ł#w Ś# Ł#
Przy transformacji do układu xy kąt ł może się zmieniać w czasie, stąd równania
maszyny w układzie xy będą miały postać::
ux = uą cosł + u� sinł
uy = -uą sinł + u� cosł
po pomnożeniu przez j drugiego równania i dodaniu stronami otrzymamy:
ux + juy = uą cosł + u� sinł -
- juą sinł + ju� cosł
- 7-
uxy = (uą + ju� )cosł - j(uą + ju� )sinł
uxy = u(cosł - j sinł )
uxy = ue- jł
Przekształcenie do drugiego układu współrzędnych jest zatem równoznaczne przez
pomnożenie równań w postaci zespolonej przez ejł:
d�
ue- jł = Rie- jł + e- jł
dt
Otrzymamy:
d�
uxy = Rixy + e- jł
dt
Czynnik:
d�
e- jł
dt
nie daje się łatwo przedstawić jako pochodna strumienia w układzie xy, gdyż kąt ł
w ogólnym przypadku może być funkcją czasu:
d�
d(e- jł� ) d�
dł
xy
= = e- jł - j e- jł�
dt dt dt dt
Otrzymamy zatem:
d�
d�
dł
xy
jł
e = + j �dq
dt dt dt
d�
dł
xy
uxy = Rixy + + j �
xy
dt dt
W przypadku ogólnym oś xy wiruje z prędkością:
dł
= �x
dt
Stąd ostateczna postać:
- 8-
d�
xy
uxy = Rixy + + j�x�
xy
dt
W maszynach elektrycznych oprócz uzwojeń stacjonarnych (stojan) występują także
uzwojenia wirujące umieszczone w wirnikach maszyn. Rozpatrzmy zatem sytuację w
której występują uzwojenia zarówno w stojanie jak i wirniku maszyny Uzwojenia wirnika są
przesunięte względem stojana o kąt ą:
W opisie matematycznym wygodnie jest przedstawić równania wirnika widziane z od
strony nieruchomych uzwojeń stojana. Przeliczenie wielkości wirnika do obwodu stojana
odbywa się zatem podobnie jak w przypadku różnych układów współrzędnych, zgodnie
z rysunkiem:
'
Ą# ń#
wrą wrą
cosą - siną Ą# ń#
Ą# ń#
=
ó# Ą#
ó#w Ą#
ó#siną cosą Ą#
'
r�
Ł# Ś#
ó#w Ą#
r� Ł# Ś#
Ł# Ś#
Jedyna różnica jaka występuje w powyższych zależnościach dotyczy znaku przy
funkcjach sin w obu wierszach równania co wynika z założeń dotyczących kierunku
wirowania wirnika względem stojana. Przeliczenie obwodu wirującego do układu stojana
prowadzi zatem do równania:
d�
dą
r
ur = Rr ir + - j �r
dt dt
gdzie szybkość zmiany kąta pomiędzy uzwojeniami stojana i wirnika związana jest
z prędkością:
dą
= �
dt
- 9-
A
ącząc transformacje wirnika do układu stacjonarnego i transformacje do dowolnego
układu wirującego otrzymamy znaną z literatury postać równań opisujących maszyny
trójfazowe w dowolnym układzie współrzędnych wirujących:
d�
s
us = Rsis + + j�x�s
dt
d�
r
ur = Rr ir + + j(�x -�)�r
dt
- 10-