Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
PA
YTY PROSTOK
TNE  zastosowanie podwójnych szeregów
trygonometrycznych.
Rozpatrzmy klasę płyt prostokątnych swobodnie podpartych na wszystkich brzegach jak na
rysunku:
Przedstawmy obciążenie zewnętrzne p(x, y) w postaci podwójnego szeregu sinusowego tzn.:
"
p(x, y) = sin( x)sin( y) ,
"qmn m n
n=1;m=1
m n
gdzie: = , = , m,n,l,k " N , zaś qmn to współczynniki
m n
a b
rozwinięcia. Pomnóżmy powyższe wyrażenie przez sin( x) i scałkujmy w przedziale
m
x " 0,a . Mamy kolejno
"
l
p(x, y) = sin( x)sin( y) / �" sin( x) gdzie =
"qmn m n l l
a
n=1;m=1
a
"
p(x, y)sin( x) = sin( x)sin( x)sin( y) /
l "qmn m l n
+"dx
n=1;m=1
0
mamy
a a
"
p(x, y)sin( x)dx = qmn sin( y)
l " n m l
+" +"sin( x)sin( x)dx .
n=1;m=1
0 0
Obliczmy teraz całkę po prawej stronie tzn.:
a a
m l
m l
+"sin( x)sin( x)dx = +"sin( a x)sin( a x)dx =
0 0
a
1 �ł x x łł
=
�ł �ł �ł �łśł
�ł
+"�łcos�ł(m - l) a �ł - cos�ł(m + l) a �ł�łdx
2
�ł łł �ł łł
0
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
W powyższych przekształceniach skorzystano z następującej tożsamości trygonometrycznej:
1
sin( )sin( ) = [cos( - ) - cos( + )].
2
Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) m = l �! m - l = 0 i m + l = 2m
a a
1 �ł 2m x łł 1 �ł 2m x łł
�ł �łśł �ł �łśł
�ł �ł
+"�łcos(0) - cos�ł a �ł�łdx = 2 +"�ł1- cos�ł a �ł�łdx =
2
�ł łł �ł łł
0 0
a
a
�ł
1 1 1
=
m �łx m śł
+"[1- cos(2 x)]dx = 2 �ł - 2 sin(2 x)łł =
2
0 m �ł0
�ł
1 1 a
= - sin(2m )łł = , ponieważ sin(k ) = 0 .
�ła śł
2 2 2
�ł m �ł
2) m `" l
a
a
�ł
1 x x 1 a x a x łł
�ł łł łłdx �ł(m łł �ł(m łł
�ł(m
+"cos�ł(m - l) a �ł - cos�ł(m + l) a �ł = 2 �ł - l) sin �ł - l) a �ł - (m + l) sin �ł + l) a �łśł0 =
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
2
�ł
�ł
0
�ł
1 a a
= [sin[(m - l) ]- sin[0]]- [sin[(m + l) ]- sin[0]]łł = 0 .
�ł(m śł
2 - l) (m + l)
�ł �ł
Zatem ostatecznie mamy:
a
ńł
�ł0 dla m `" l
m l
+"sin( x)sin( x)dx = �ła dla m = l
0 �ł2
ół
Wykorzystując ten wynik w wyrażeniu całkowym otrzymamy (dla m = l )
a
"
a
p(x, y)sin( x)dx = qmn sin( y)
m " n
+"
2
n=1
0
k
Możemy teraz pomnożyć powyższe wyrażenie przez sin[ y], = i scałkować w
k k
b
przedziale y " 0,b . Podobnie jak poprzednio otrzymamy
a b b
"
m k "a n k
+"+"p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy = qmn y)sin( y)dy
+"sin(
2
n=1
0 0 0
przy czym teraz
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
b 0
ńł
�łb dla n `" k
n k
+"sin( y)sin( y)dy = �ł dla n = k
0 �ł2
ół
Korzystając z tego wyniku otrzymamy:
a b
a b
m n
+"+"p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy = qmn .
2 2
0 0
Stąd wyznaczymy współczynniki qmn tzn.,
a b
4
qmn = p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy .
m n
+"+"
ab
0 0
Ugięcie płyty przewidujemy w postaci szeregu:
"
w(x, y) = sin( x)sin( y)
"wmn m n
m=1;n=1
Zauważmy, że przyjęta funkcja ugięcia spełnia warunki brzegowe tj. swobodnego podparcia.
Warunki te zapiszemy następująco:
1) x = 0 �! w(0, y) = 0 i M (0, y) = 0
xx
2) x = a �! w(a, y) = 0 i M (a, y) = 0
xx
3) y = 0 �! w(x,0) = 0 i M (x,0) = 0
yy
4) y = b �! w(x,b) = 0 i M (x,b) = 0
yy
Spełnienie warunków na ugięcie widać wprost. Sprawdz
my jeszcze momenty, w tym celu
skorzystajmy ze wzorów:
�ł łł �ł łł
"2w "2w "2w "2w
M = -D�ł + , M = -D�ł +
xx
"x2 "y2 śł yy �ł "y2 "x2 śł
�ł �ł �ł
" "
�ł łł
2 2
M = -D�ł wmn (- )sin( x)sin( y) + (- )sin( x)sin( y)śł =
xy " m m n "wmn n m n
m=1;n=1 m=1;n=1
�ł �ł
"
2 2
D ( + )sin( x)sin( y)
"wmn m n m n
m=1;n=1
widać więc, że wszystkie warunki są spełnione.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Jednak poza spełnieniem warunków brzegowych funkcja ugięcia w(x, y) musi spełnić
równanie różniczkowe płyty, czyli:
"4w "4w "4w p
+ 2 + = .
"x4 "x2"y2 "y4 D
Eh3
gdzie D = (sztywność płytowa).
2
12(1- )
Obliczmy więc pochodne:
"
"4w
4
= sin( x)sin( y)
"wmn n
"x4 m=1;n=1 m m
"
"4w
2 2
= sin( x)sin( y)
"wmn n
"x2"y2 m=1;n=1 m n m
"
"4w
4
= sin( x)sin( y) .
"wmn n
"y4 m=1;n=1 n m
Podstawiając je uzyskamy:
" "
1
4 2 2 4
( + + )sin( x)sin( y) = sin( x)sin( y)
"wmn m m n n m n "qmn m n
D
m=1;n=1 m=1;n=1
a stąd
"
2 2
[Dwmn ( )2 - qmn]sin( x)sin( y) = 0
" m n m n
m=1;n=1
Równanie musi być spełnione dla każdego x i y zatem:
2 2
Dwmn ( )2 - qmn = 0 wtedy
m n
qmn
wmn =
2 2
D( + )2
m n
Reasumując rozwiązanie zadania polega na określeniu kolejno
"
p(x, y) = sin( x)sin( y) ,
"qmn m n
n=1;m=1
m n
gdzie: = , =
m n
a b
a b
4
oraz: qmn = p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy .
m n
+"+"
ab
0 0
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
qmn
Następnie określamy: wmn =
2 2
D( + )2
m n
"
oraz ugięcie: w(x, y) = sin( x)sin( y)
"wmn m n
m=1;n=1
Znając w(x, y) możemy określić siły wewnętrzne w płycie. Mamy zatem
"
2 2
M = D ( + )sin( x)sin( y)
xx "wmn m n m n
m=1;n=1
"
2 2
M = D ( + )sin( x)sin( y)
xx "wmn m n m n
m=1;n=1
"
M = D(1- ) cos( x) cos( y)
xy "wmn m n m n
m=1;n=1
"
2 2
Qx = D ( + ) cos( x)sin( y)
"wmn m m n m n
m=1;n=1
"
2 2
Qy = D ( + )sin( x)cos( y)
"wmn n m n m n
m=1;n=1
oraz siły w narożach
R = 2M tzn,
xy
"
R(0,0) = -2D(1- ) wmn
"wmn m n
m=1;n=1
"
m
R(a,0) = -2D(1- ) wmn
"(-1) wmn m n
m=1;n=1
"
n
R(0,b) = -2D(1- ) wmn
"(-1) wmn m n
m=1;n=1
"
m=n
R(a,b) = -2D(1- ) wmn
"(-1) wmn m n
m=1;n=1
Znając komplet wzorów możemy rozwiązywać zadania.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
ZADANIE 1
Wyznaczyć ugięcie, siły wewnętrzne, reakcje i momenty główne w płycie jak na rysunku.
Rys.1. Schemat statyczny i sposób obciążenia płyty.
Rozważmy przypadek kiedy a = b . Zadanie rozwiążemy przy pomocy podwójnych
szeregów sinusowych. Mamy zatem:
"
m n
w(x, y) = sin( x)sin( y) , = , = ,
"wmn m n m n
a a
m=1;n=1
gdzie
qmn
wmn =
2 2
D( + )2
m n
oraz
a a
4
qmn = p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy
m n
+"+"
a2 0 0
"
p(x, y) = sin( x)sin( y)
"qmn m n
n=1;m=1
q
Ponieważ p(x, y) = x to
a
a a
4 q
qmn = x sin( x)dx y)dy
m n
+" +"sin(
a2 a
0 0
a
a
�ł łł
1 1
xsin( x)dx = sin( x) - x cos( x)śł =
�ł
m m m
+" 2
�ł śł0
0 m
�ł m �ł
1 �ł m łł a a
m
= - cos�ł a�ł - 0śł = - cos(m ) = - (-1)
�ła �ł a �ł
�ł łł
m �ł �ł m m
oraz
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
a
a
1 1
n n
+"sin( y)dy = - [cos( y)] = - [cos(n ) -1]=
n n
0 0
0 dla n = 2,4,6,...
ńł
�ł
2
=
�ł
dla n = 1,3,5,...
�ł
ół n
Ostatecznie
m+1
4q a 2 8q (-1)
m+1
qmn = (-1) = dla n nieparzystego
a3 m a2
n m n
Dalej oznaczamy
m+1
8q (-1)
qmn = dla n = 1,3,5,...
a2
m n
Funkcja ugięcia ma zatem postać
"
w(x, y) = sin( x)sin( y)
"wmn m n
m=1,2,3,..;n=1,3,5,..
gdzie
m+1
8q (-1)
wmn = n = 1,3,5,... m = 1,2,3,...
D a2 m n m 2 + n 2 2
( )
czyli
m+1
"
8q (-1) sin( x)sin( y)
m n
w(x, y) =
"
D a2 m=1,2,3,..;n=1,3,5,.. m n m 2 + n 2 2
( )
Znając funkcję ugięcia możemy wyznaczyć siły wewnętrzne i brzegowe:
"
�ł łł
"2w "2w
2 2
M = -D�ł + = D ( + )sin( x)sin( y)
xx "wmn m n
"x2 "y2 śł m=1;n=1 m n
�ł �ł
"
�ł łł
"2w "2w
2 2
M = -D�ł + = D ( + )sin( x)sin( y)
xx "wmn m n
"y2 "x2 śł m=1;n =1 m n
�ł �ł
"
M = -D( -1) cos( x)cos( y)
xy "wmn m n m n
m=1;n=1
"
2 2
Qx = D ( + ) cos( x)sin( y)
"wmn m m n m n
m=1;n=1
"
2 2
Qy = D ( + )sin( x)cos( y)
"wmn n m n m n
m=1;n=1
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Przykład 1 a
Dane: E = 20GPa , h = 0.12m , = 0.18, a = 1m , q = 10000N . W tym przypadku szeregi
składają się tylko z pięciu wyrazów.
Rys.1a. Wykres konturowy ugięcia.
Rys.2a. Wykres 3D ugięcia.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.3a. Wykres konturowy momentu Mxx.
Rys.4a. Wykres konturowy momentu Myy
Rys.5a. Wykres konturowy momentu Mxy
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.6a. Wykres konturowy momentu głównego M1
Rys.7a. Wykres konturowy momentu głównego M2
Rys.8a. Wykres 3D rozwinięcia w szereg obciążenia
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.9a. Wykres przedstawiający wartość błędu w modelowaniu obciążenia
Przykład 1b.
W tym przypadku szeregi mają po 25 wyrazów.
Pozostałe dane identyczne jak w Przykładzie 1a
Rys.1b. Wykres 3D zamodelowanego szeregami obciążenia płyty
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.2b. Wykres przedstawiający wartość błędu w modelowaniu obciążenia
ZADANIE 2
Wyznaczyć ugięcie, siły wewnętrzne, reakcje i momenty główne w płycie jak na rysunku.
Rys.1. Schemat statyczny i sposób obciążenia płyty.
Aby rozwiązać to zadanie wprowadzamy funkcję skoku Heaviside a:
0 x < xo
ńł
H (x - xo ) =
�ł1 x e" xo
ół
Korzystając z własności tej funkcji możemy zapisać obciążenie :
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
q xo
ńł - c d" x d" xo + c, yo - d d" y d" yo + d
p(x, y) =
�ł0
dla pozostaych x i y
ół
a b
4
qmn = p(x, y)sin( x)sin( y)dxdy
m n
+"+"
ab
0 0
Korzystając z addytywności całki możemy zapisać
xo +c yo +d
4
qmn =
m n
+" +"q sin( x)sin( y)dxdy =
ab
xo -c yo -d
xo +c yo +d
xo +c yo +d
�ł łł �ł łł
4q 4q 1 1
= sin( x)dx y)dy = x)śł �" cos( y)śł =
m n �ł- cos( m �ł- n
+" +"sin(
ab ab
xo -c yo -d �ł m �ł �ł n �ł
xo -c yo -d
4q
= [cos( (xo + c)) - cos( (xo - c))]�"[cos( (yo + d)) - cos( (yo - d))]
m m n n
ab
m n
Korzystając z tożsamości trygonometrycznej:
cos( - ) - cos( + ) = 2sin( )sin( )
mamy:
4q
= 2sin( xo ) �" sin( c) �" 2sin( yo ) �" sin( d )
m m n n
ab
m n
Następnie podstawiamy do wzoru:
qmn
wmn =
2 2
D( + )2
m n
otrzymując współczynniki rozwinięcia w szereg ugięcia.
"
m n
w(x, y) = sin( x)sin( y) , = , = ,
"wmn m n m n
a a
m=1;n=1
Dalej korzystamy ze wzorów jak w zadaniu 1.
Przykład 1 (obciążenie np. słupem)
Dane: E = 20GPa , = 0.17 , a = 6m , b = 3m , c = 0.2m , d = 0.2m , xo = 5m , yo = 2.5m ,
q = 10000N
LICZBA WYRAZÓW SZEREGÓW  30
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.1.1. Wykres konturowy ugięcia.
Rys.2.1. Wykres 3D ugięcia.
Rys.3.1. Wykres konturowy momentu Mxx.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.4.1. Wykres konturowy momentu Myy.
Rys.5.1. Wykres konturowy momentu Mxy.
Rys.6.1. Wykres konturowy momentu głównego M1.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.7.1.Wykres konturowy momentu głównego M2.
Rys.8.1.Wykres konturowy rozwinięcia w szereg obciążenia.
Rys.9.1. Wykres 3D rozwinięcia w szereg obciążenia.
Przykład 2 (obciążenie np. ścianą)
Dane: E = 20GPa , = 0.17 , a = 6m , b = 3m , c = 0.1m , d = 1.5m , xo = 2m , yo = 1.5m ,
q = 10000N .
ILOŚĆ WYRAZÓW SZEREGÓW  30
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.1.2. Wykres konturowy ugięcia.
Rys.2.2. Wykres 3D ugięcia.
Rys.3.2. Wykres konturowy momentu Mxx.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.4.2. Wykres konturowy momentu Myy.
Rys.5.2. Wykres konturowy momentu Mxy.
Rys.6.2. Wykres konturowy momentu głównego M1.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ćwiczenia z Wytrzymałości Materiałów [e-mail]
Rys.7.2. Wykres konturowy momentu głównego M2.
Rys.8.2. Wykres konturowy rozwinięcia w szereg obciążenia.
Rys.9.2. Wykres 3D rozwinięcia w szereg obciążenia.
Należy zauważyć, że w szczególności dla tak postawionego zadania mamy rozwiązanie:
1) Płyty swobodnie podpartej obciążonej na całym obszarze q=const.
2) Płyty swobodnie podpartej obciążonej siłą skupioną w dowolnym punkcie obszaru.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com