Ćwiczenie 7: Nośność graniczna belek i ram (Opracował Z. Waszczyszyn)
wersja dla studentów
1. Nośność graniczna przekroju zginanego
Założenia:
a) Czyste zginanie
" N(x) = 0 położenie osi obojętnej z
0 ,
" i uwzględniamy tylko M(x) .
b) Pełne uplastycznienie przekroju
" oś z dzieli przekrój na równe pola
0
N = � dA = - Re +"+" dA + Re +"+" dA = Re (- A1 + A2 ) = 0
+"+"
A1 = A2

A A1 A2
(1)
" Moment graniczny przekroju:
M = � ydA = - Re +"+"ydA + Re +"+"ydA = Re ( S1 + S2 ) = ReWp Wp = S1 + S2 , (2)
+"+"
A A A
+"+"
gdzie: Si = Ai y dA . (2)
Rys. 1: a) Przekrój monosymetryczny, b) Przekrój bisymetryczny (powinno być y = 6 a)
0
Przykład 1. Plastyczny wskaz
nik wytrzymałości przekrojów monosymetrycznego i
bisymetrycznego z Rys. 1
a) Przekrój monosymetryczny
Zakres zginania plastycznego:
1
Zakres zginania sprężystego:
b) Przekrój bisymetryczny
2. Nośność graniczna belek i ram płaskich
Założenia dla mechanizmiow typowych:
a) Mechanizm typowy:
r = n+ 1 (3)
gdzie:
r - liczba przegubów plastycznych w mechaniz
mie typowym,
n - stopień statycznej niewyznaczlności płaskiego ustroju prętowego;
b) Liczba mechanizmów typowych:
s!
m = (4)
r!(s - r)!
gdzie:
s - liczba punktow charakterystycznych;
2
c) Metody analizy
" Metoda statyczna
Twierdzenie statyczne teorii nośności granicznej [1,2]:
Jeśli ustrój jest w stanie równowagi i w żadnym punkcie charakterystycznym nie jest
przekroczy stan graniczny nośności plastycznej przekroju to nośność graniczna ustroju
odpowiada maksymalnej wartości parametru obciążenia � :
s
max
� = {� }, (4)
G s
s
gdzie: � - wartość parametru obciążenia dla statycznie dopuszczalnego pola momentów
s
zginajacyc h.
" Metoda kinematyczna
Zasada prac wirtualnych:
Jeśli ustrój jest w stanie równowagi i spełnione są więzy kinematyczne i równania
geometryczne to praca naprężeń na wirtualnych odkształceniach jest równa pracy obciążeń
na wirtualnych przemieszczeniach.
*
Mpi �i = źk Pj u
" "
j
(5)
i j
�i
gdzie lewa strona (5) jest pracą momentów na względnych obrotach (wirtualna krzywizna)
*
w przegubach plastycznych, a prawa strona jest pracą obciążeń P = � j Pj na wirtualnych
j
�i
przemieszczeniach u (są one zgodne z więzami, a więc też obrotami ).
j
" Twierdzenie kinematyczne nośności granicznej [1,2]:
Nośność graniczna jest określana minimalną wartością kinematycznego parametru
obciążenia � dla kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów:
k
min (6)
� = {� )
G k
k
gdzie: � - wartość parametru obciążenia dla kinematycznie dopuszczalnego mechanizmu.
k
" Podstawowe twierdzenie nośności granicznej::
max min (7)
� d" � d" � � a" {� }= {� }
s G k G s k
s k
a więc z tego wynika, że jeśli � = � to taka wartość parametru obciążenia odpowiada
s k
nośnosci granicznej �
G .
3
Przykład 2. Nośność graniczna belki 1-przęsłowej, 1-krotnie statycznie niewyznaczalnej
Rys. 2:a) Schemat i przyjęte dane, b) Układ podstawowy metody sił,
c) Mechanizmy dla przegubów plastycznych w punktach charakterystycznych (i, j)
3!
= 3
Dla rozpatrywanej belki mamy: P* = 1, n = 1, r = n + 1 = 2, m = .
2!(2 - 2)!
Metoda kinematyczna
Rys. 3: a) Wykres momentów z metody statycznej,
b) Mechanizmy z zaznaczonymi wirtualnymi przemieszczeniami do metody kinematycznej.
" Kolejne mechanizmy i kinematycznie dopuszczalne parametry obciążenia:
4
Zgodnie z twierdzeniem kinematycznym otrzymujemy:
Mp 7 Mp 5 Mp 5 Mp
� = min (3 , , ) = .
G
l 5 l 4 l 4 l
Metoda statyczna
" Momenty w punktach granicznych:
" Mechanizm (1,2):
" Mechanizm (2,3):
2X l  � l = M
p ,
(2, 3): 3X l  4� l =  2M
p ,
M = X l ,
1
skąd obliczamy:
Mp Mp
6 5
6 7
Mp k
X = , � = , M = = ,
1
5 6
5 l 5 l
Mp
7 5
Mp 2 5
Mp 3 Mp
� = , X = , M = , M = , M =  .
s s 1
5 6 3
l
5
" Mechanizm (3,1):
3X l  4� l =  2M
p,
(3, 1): X l = M
p,
M = M = 2X l  � l,
2 2
skąd wynika:
4
Mp 2 3 2Mp
Mp 1 Mp 3
k = 1 , � = , M = , M = , M =  .
s
5 5
Z twierdzenia statycznego nośności granicznej notrzymujemy:
Ml Ml Ml 5 Ml
2 5 5
ńł �ł
, ,
�ł żł
3 l 6 l 4 l
ół �ł 4 l
� = max = .
G
" Wnioski końcowe:
1) Nosność graniczna jest określona wartością parametru obciążenia:
Mp
5
� = ,
G
4 l
2) Powstanie pierwszego przegubu plastycznego odpowiada wykresowi momentow statycznie
dopuszczalnych wynikających z analizy statycznej mechanizmu (1,2):
Mp
2
� = ,
S
3 l
stąd zapas nosnosi wynosi:
�ł - � �ł �ł � �ł
� 5 3
�ł
�ł
�ł �ł
Z = �ł G S �ł 100% = �ł G - 1�ł 100% = �" - 1�ł 100% = 87.5%.
�ł �ł �ł
� � 4 2
�ł łł
�ł S łł �ł S łł
Przykład 3. Rama statycznie niewyznaczalna, [1, 2]
Dane: n = 2, r = 3, P* = 1, s = 4, pozostałe dane na Rys. 4.
4!
Mechanizmy: liczba mechanizmow m =
3!(4 - 3)!
(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4,1), (4, 1, 2).
Momenty zginajace w punktach charakterystycznych:
6
Rys. 4: a) Schemat ramy i dane, b) Siły hiperstatyczne,
c,d) Wykresy momentów otrzymane metoda statyczną,
e, h) Mechanizmy dla metody kinematycznej.
" Metoda kinematyczna
Zgodnie z twierdzeniem kinematycznym otrzymujemy:
7
" Z metody statycznej:
Mp 3 Mp
3 1 5 3
ńł �ł
� = max , , , =
G
�ł żł
7 2 4 2 l 2 l
ół �ł
Przykład 4. Nośność graniczna belki 3-przęsłowej, [3], s.196
Podstawowe dane: n = 2, r = 2 lub 3, s = 5, m = 10;
mechanizmy podstawowe: 2 lokalne (brzegowe) mechanizmy (1,2) i (4,5)
oraz 4 mechanizmów typowych, tj. (2,3,4), (1,3,4), (1,3,5), (2,3,5).
a) Metoda kinematyczna
" Zasada prac wirtualnych dla P* = 1
p j
Mi � uku
" i= " j
(5a)
i i
Kolejne mechanizmy:
Nośność graniczna:
b) Metoda statyczna
" Momenty w punktach charakterystycznych
Obliczenie reakcji:
5 3 3 5
M2 = 0 , M4 = 0 R = - X1 + X2 , R = X1 - X2 + �
" " .
2 2
2 2 2 2
Na tej podstawie napisano wzory na momenty zginajace w punktach charakterystycznych:
8
Rys. 5: a) Schemat belki, b) Układ statycznie wyznaczlny i punkty charakterystyczne,
c)Mechanizmy lokalne i typowe dla rozpatrywanej belki
M1 = 2X1l
�ł
�ł
M2 = 3X1 - � l
�ł
3
3 3
�ł
X2l
M3 = 4X1l - 2� l + R l = X1l + X1l + - 2� l
2
�ł
2
2 2
�ł
M4 = 3X2l - 2� l
�ł
M5 = X2l
�ł
9
" Liczba możliwych mechanizmów typowych:
5! 1�" 2�" 3�" 4�" 5
= = = 10
r = 2 +1 = 3 , s = 5, m .
3!(5 - 3)! 1�" 2�" 3�"1�" 2
Uwaga: Parametry obciążenia można obliczyć jednoznacznie jedynie dla typowych
mechanizmów, gdyż mamy wtedy odpowiednią liczbe rownań.
" Mechanizm (2, 3, 4):
" Mechanizm (1, 3, 4):
- Mp 4 p ,
M = M , M = , M = M
1 p 3
Mp Mp Mp
11 9
X = , X = , � = ,
1 2
2l 6 l 4 l
3 11
M = - Mp 5 Mp
, M = .
2
4 6
" Mechanizm (1, 3, 5):
- Mp 5 p
M = M , M = , M = M ,
1 p 3
Mp Mp 13 Mp
X = , X = , ,
1 2 � = = źG
2l l
8 l
Mp Mp Mp
5
M = - Mp 4 - , R = , R = - ,
, M =
2 2 4
8
4 4l 8l
" Mechanizm (2, 3, 5):
- Mp
M = M , M = , M M ,
2 s 3 5 = p
Mp Mp Mp
X = , X = , � = 2
2 1
l l l
- Mp
M = 2M , M = .
1 p 4
" Mechanizm lokalny (1, 2, 0):
- Mp
M =M , M = ,
1 p 2
Mp 5 Mp
X = , � = .
1
l 2 l
X  dowolne �, M , M , M  niejednoznaczne.
2 3 4 5
10
" Mechanizm lokalny ( 0, 4, 5)
- Mp 5 p
M = , M = M
4
Mp Mp
X = , � = 2
2
l l
X  dowolne �, M , M , M  niejednoznaczne.
1 1 2 3
" Wnioski koncowe:
1) Tylko jeden mechanizm (1,3,5) daje pole momentów zginajacych statycznie dopuszcalne;
2) Parametr obciążenia z rozwiazania statycznego � dla w/w mechanizmu (1,3,5) ma wartość
s
rowną � , a więc jest parametrem nośnosci granicznej:
k
Mp
13
� = � � = .
,
s k
G
8 l
dla ktorego pole momentów przyjmuje postać wynikajaca z rozwiazania statycznego.
Literatura:
[1] Notatki do wykładu Teoria Sprężystości i Plastyczności, 9.2.8: Nosność graniczna belek
i ram płaskich, Internet, Przed ćwiczeniami należy przeczytać z Rozdz. 9 Punkt 9.2.8
[2] Z. Waszczyszyn (Red.), Mechanika budowli: ujęcie komputerowe, T.3, Rozdz.11:
A. Borkowski i A. Sawczuk, Nosność graniczna i optymalizacja konstrukcji prętowych,
ss.255-308, Arkady, Warszawa, 1995.
[3] W. Krzyś i M. Życzkowski, Sprężystość i plastyność, PWM, Warszawa, 1962.
11