Ćwiczenia
do wyk ad w z analizy matematycznej 3
w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013
Tomasz Kubiak
17 listopada 2012
Poniższe tytuly sa takie same, jak na wykladach. Zadania rozwiazane na
zajeciach  to bardzo latwy material na sprawdzian, bo nie jest trudnym coÅ›,
co ma znane wszystkim latwe i kr tkie rozwiazanie. Zadania nie rozwiazane
na zajeciach staja sie zadaniami domowymi, czyli przyjaznym materialem
na sprawdzian. Symbolem [W] oznaczmy rzeczy, kt re beda om wione na
wykladach (może sie zdarzyć, że nie beda). Trzeba ćwiczyć to samo po-
raz drugi, a nawet trzeci. Wszystkie ćwiczenia  z definicji  polegaja na
powtarzaniu pewnych czynności.
n
1. jako przestrzeń liniowa
T
2 2
1. Niech - - bedzie funkcja liniowa taka, że T (1, 1) = (1, 3) oraz
-
T (2, 3) = (1, 8). Znalez
ć wz r na T (x, y).
T S
n m p
2. Jeśli funkcje - - - - sa liniowe, to funkcja liniowa jest
- -
Sć%T
n p
ich zlożenie - - .
-
T
n m n
3. Funkcja stala - - jest liniowa Ô! T (x) = ¸ dla x " .
-
T S
2 3
4. Zlożyć funkcje - - - - , gdzie T (x, y) = (x, x + y) i
- -
S(x) = (0, x, 2x).
T
5. Funkcja - - jest liniowa Ô! T (x) = ax, gdzie a " .
-
1
T
n n
6. [W] Funkcja - - jest liniowa Ô! T (x) = a, x , gdzie a " .
-
T =(T1,...,Tm)
n
7. Funkcja - - - - - - - jest liniowa wtedy i tylko wtedy, gdy
- - - - - -- m
Ti
n
funkcja - - jest liniowa dla każdego i = 1, . . . , m.
-
T S
2 3 2
8. Funkcje liniowe - - - - określone sa wzorami
- -
T (x1, x2) = (x1, x1 +x2, x1 -x2) oraz S(x1, x2, x3) = (x1, x2 +x3).
Sć%T
2 2
Sprawdzić, że zlożenie - - - spelnia r wność [Sć%T ] = [S]·[T ].
- -
Komentarz. Okoliczność tu przedstawiona jest fundamentalna dla Analizy.
Chodzi o to, by wiedzieć kiedy lepiej jest myśleć o funkcji liniowej zamiast
o jej macierzy, a kiedy na odwr t. A i tak myślimy ciagle o jednym i tym
samym.
T
2 2
9. Niech - - bedzie określona tak: T (x, y) = (x + y, x - y).
-
Należy: (a) sprawdzić, że T jest bijekcja, (b) znalez
ć funkcje odwrotna
-1 -1
T , (c) sprawdzić, że [T ] = [T ]-1.
n
2. jako przestrzeń unormowana
n
Uwaga. Jeśli nie powiemy inaczej, to x = x2.
j=1 j
10. Pokazać, że w nie ma innych norm niż normy postaci x = a |x|,
gdzie a > 0.
n
11. [W] Obliczyć wyr żnik tr jmianu kwadratowego (aix + bi)2 e" 0,
i=1
by otrzymać nier wnós´ Cauchy ego-Schwarza:
c
n n n
aibi d" a2 · b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Wyprowadzić z niej nier wność silniejsza, a mianowicie
n n n
|aibi| d" a2 · b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Co to znaczy, że jakaś nier wność jest s absza lub silniejsza od innej?
2
12. [W] Wyprowadzić nier wnós´ Minkowskiego: dla ai, bi " zachodzi
c
n n n
|ai + bi|2 d" a2 + b2.
i i
i=1 i=1 i=1
Nier wność ta jest tym samym, co nier wność tr jkata x + y d"
x + y .
T1,T2
n m
13. Funkcje liniowe - - sa r wne wtedy i tylko wtedy, gdy sa
-
n
r wne na kuli Br(¸) lub na sferze Sr(¸) = {x " : x = r}.
Komentarz. Identyczność funkcji na podzbiorze implikuje r wność na calej
dziedzinie. Rzadka to rzecz. Pokazuje, jak prosta jest liniowość.
3
14. Niech x, y " , gdzie x = (1, 0, 2) i y = (3, -1, 1). Sprawdzić, że
2 2 2 2
zachodzi x + y + x - y = 2 x + 2 y .
15. Pokazać, że r wnós´ r wnoleg oboku
c
2 2 2
x + y + x - y = 2 x + 2 y 2
n
zachodzi dla wszystkich x, y " .
2 2
n
16. Pokazać, że x + y x - y d" x + y dla wszystkich x, y " .
[Wskaz wka: ( x + y - x - y )2 e" 0.]
n
17. Dowieść twierdzenia cosinus w: JeÅ›li x, y " {¸}, to
2 2 2
x - y = x + y - 2 x y cos Ä…,
gdzie Ä… jest katem pomiedzy x i y.
n
18. Dowieść twierdzenia Pitagorasa: Wektory x, y " sa prostopadle
wtedy i tylko wtedy, gdy
2 2 2
x + y = x + y .
n
19. Niech x, y " . Sprawdzić, że
n
ds(x, y) = |xi - yi| oraz dm(x, y) = max |xi - yi|
1d"id"n
i=1
n
sa metrykami w z dodatkowymi wlasnościami (napisanymi tu za
pomoca wsp lnej litery d):
(a) d(x + z, y + z) = d(x, y),
(b) d(ax, ay) = |a| d(x, y).
3
20. Napisać wzory na norme sumacyjna · oraz norme maksimum · ,
s m
kt re zdefiniowane przez metryki ds oraz dm. Na przykladzie konkret-
n
nych x, y " pokazać, że żadna z tych norm nie spelnia r wności
r wnolegloboku.
Uwaga. Wiadomo, że norma spelnia r wność r wnolegloboku wtedy i tylko
wtedy, gdy pochodzi od iloczynu skalarnego (ż7 wyklad w). Zatem te dwie
normy nie pochodza od żadnych iloczyn w skalarnych. Stad wynika wyższość
normy euklidesowej nad tymi dwiema, mimo że obie sa o wiele prostsze od
normy euklidesowej.
n n
21. Niech x = x2, x = |xi| oraz x = max1d"id"n |xi|
i=1 i s i=1 m
n n
dla x " . Pokazać, że dla każdego x " mamy:
"
(1) x d" x d" n x ,
m m
(2) x d" x d" n x ,
m s m
1
(3) x d" x d" x .
n s s
22. Pokazać bezpośrednio, że zbieżność w sensie normy sumacyjnej i normy
maksimum jest zbieżnościa po wsp lrzednych.
n
3. Topologia w : zbieżność, ciag ość i granice
funkcji
n
Uwaga. Jeśli nie powiemy inaczej, to ma norme euklidesowa
n
x = x2.
j
j=1
a2k 2
23. Obliczyć granice ciagu xk = (kak, ) w , gdzie |a| d" 1.
k!
"
k
1 k+1 4
24. Obliczyć granice ciagu xk = (1 - )k, , 2k + sin k, 1 w .
k k
n
25. Jeśli xk x oraz yk y w , to xk, yk x, y w .
n
26. Normy · oraz · w sa  z definicji  r wnoważne, gdy daja te
1 1
sama zbieżność, tj.
" " ( xk - x 0 Ô! xk - x 0) .
1 2
(xk)‚" n x"
4
Pokazać, że nastepujace warunki sa r wnoważne:
(1) · oraz · sa r wnoważne,
1 1
(2) " " a x d" x d" b x ,
1
a,b>0 x" n 1 2
(3) " " c x d" x d" d x .
2
c,d>0 x" n 2 1
n
[Komentarz. Zachodzi twierdzenie: Wszystkie normy w sa r wnoważne.
n
Czyli jest tylko jedna analiza matematyczna w (o ile zbieżność ma być w
sensie normy).]
27. [W] Pokazać, że kula otwarta jest zbiorem otwartym.
n n
28. Dla b " oraz B ą" , niech a + B = {a + x : x " B}. Sprawdzić,
że Br(x) = x + Br(¸). Zinterpretować to geometrycznie.
n n n
29. Mamy trzy przestrzenie ( , · ), w ( , · ) i w ( , · ). Pokazać,
s m
że kula otwarta w jednej z tych przestrzeni jest otwarta w każdej innej.
[Wskaz wka. Dlaczego bez straty og lności możemy ograniczyć sie do
przypadku y = x = ¸ ?]
30. Uzasadnić ustnie (lub pisemnie), że:
2
(1) {0} [0, 1] jest zbiorem domknietym w ,
n
(2) [a1, b1] . . . [an, bn] jest zbiorem domknietym w ,
n
(3) (a1, b1) . . . (an, bn) jest zbiorem otwartym w ,
(4) (a, b) [c, d] nie jest ani otwarty, ani domkniety.
prj
n
31. Uzasadnić, że rzutowania - - sa funkcjami otwartymi, tzn.
-
n
jeśli U ą" jest zbiorem otwartym, to zbi r prj(U) jest otwarty w .
32. Pokazać, że:
xy2 1
(1) lim = ,
(x,y)(1,1) x2 + y2 2
xy2
(2) lim = 0.
(x,y)(0,0) x2 + y2
f,g
xy
2
33. Niech {(0, 0)} - - , gdzie f(x, y) = oraz g(x, y) =
-
x2 + y2
xy
. Pokazać, że:
x2 + y2
5
(1) f ma granice w (0, 0),
|a|
(2) g nie ma granicy w (0, 0). [Wskaz wka: g(x, ax) = .]
1+a2
f
x2y2
2
34. Niech {(0, 0)} - - , gdzie f(x, y) = . Wtedy:
-
x2y2 + (x - y)2
(1) lim(limf(x, y)) = 0 = lim(limf(x, y)),
x0 y0 y0 x0
(2) funkcja f nie ma granicy w punkcie (0, 0).
f
2
35. Czy istnieje granica funkcji - - ,
-
x2-y2
dla (x, y) = (0, 0),

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0),
w punkcie (0, 0)?
f
2
36. Czy funkcja {(0, 0)} - - ma granice w punkcie (0, 0), gdy:
-
xy + y2
(1) f(x, y) = ,
x2 + y2
2xy2
(2) f(x, y) = ?
x2 + y4
x2 + y2
37. Obliczyć lim .
(x,y)(1,1)
x2 + y2 + 1 - 1
38. Za pomoca definicji granicy w sensie Cauchy ego (µ i ´) pokazać, że:
y sin x
(1) lim = 2,
(x,y)(0,2) x
sin(xy)
(2) lim = 0.
(x,y)(0,0) x
39. Z jakich funkcji ciaglych i w wyniku jakich operacji zachowujacych
f
3
ciaglość powstala funkcja - - dana wzorem
-
f(x, y) = x2y + sin(xy + x + y) + 1.
f
3 3
40. Uzasadnić ciaglość funkcji - - danej wzorem
-
f(x, y, z) = (x sin z, x + y + z, 1 + z2).
6
f
2
41. Pokazać, ciaglość funkcji - - danej wzorem
-
x2y
dla (x, y) = (0, 0)

x2+y2
f(x, y) =
0 dla (x, y) = (0, 0).
f
n
42. Pokazać, że funkcja ‡" B1(¸) - - okreÅ›lona wzorem f(x) =
-
2
ln(1 - x ) jest ciagla.
f
2
43. Zbadać ciaglość funkcji - - określonej wzorem
-
Å„Å‚
xy2
òÅ‚
, gdy (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y4
ół
0, gdy (x, y) = (0, 0).
f
2
44. Zbadać ciaglość funkcji - - określonej wzorem
-
Å„Å‚
x2y3
òÅ‚
, gdy (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x4 + y6
ół
0, gdy (x, y) = (0, 0).
f
2
45. Zbadać ciaglość funkcji - - określonej wzorem
-
Å„Å‚
(xy)2
òÅ‚
, gdy (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
(xy)2 + (x - y)2
ół
0, gdy (x, y) = (0, 0).
f
2
46. Pokazać ciaglość funkcji - - określonej wzorem
-
Å„Å‚
(sin(x - y))2
òÅ‚
, gdy |x| + |y| > 0
f(x, y) =
|x| + |y|
ół
0, gdy |x| + |y| = 0.
f
3
47. W jakich punktach ciagla jest funkcja - - dana wzorem
-
Å„Å‚
Ä„1(x)Ä„2(x) - Ä„3(x)2
òÅ‚
, gdy x = ¸

f(x) =
x 2
ół
0, gdy x = ¸.
7
f
2
48. Dla jakich ą ciagla jest funkcja - - określonej wzorem
-
Å„Å‚
x |y|Ä…
òÅ‚
, gdy (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x4 + y4 + x2
ół
0, gdy (x, y) = (0, 0).
4. Pojecie pochodnej w n
n m
49. Co jest pochodna funkcji stalej z do ?
T
n m
50. Sprawdzić, że dla funkcji liniowej - - zachodzi T (x) = T
-
n
dla każdego x " . Przedyskutować przypadek n = 1 = m.
f
2 3
51. Niech - - , f(x, y) = (x2, 2xy, y2). Znalez
ć pochodna funkcji
-
f w punkcie x = (a, b) przez wydzielenie cześci liniowej i reszty oraz
sprawdzenie, że reszta ta zachowuje sie jak należy.
f
2 3
52. [W] Dla funkcji - - , gdzie f(x1, x2) = (x1, x1x2, x2), znajlez
ć
-
2
pochodna w x = (a, b) przez wydzielenie cześci liniowej i zbadanie
reszty.
f
2
n
53. Niech - - danej bedzie wzorem f(x) = x . Sprawdzić za
-
pomoca definicji, że jej pochodna w punkcie a jest f (a)(h) = 2 a, h .
f
Przedyskutować analogie z przypadkiem n = 1 i funkcja - -
-
dana wzorem f(x) = x2 = |x|2.
f,g
n m
54. Niech ‡" U - - beda r żniczkowalne w punkcie x " U. Niech
-
f,g
U - - bedzie określona wzorem f, g (x) = f(x), g(x) (iloczyn
-
skalarny). Pokazać, że
f, g (x) = f (x), g(x) + f(x), g (x) .
f
n m
55. Uzasadnić, że: Funkcja ‡" U - - - (U jest zbiorem ot-
- -
wartym) ma pochodna w punkcie a " U wtedy i tylko wtedy, gdy
T
n m
istnieje funkcja liniowa - - taka, że
-
f(x) - f(a) - T (x - a)
lim = 0.
xa
x - a
8
f
n m
56. Uzasadnić, że: ‡" U - - - (U  zbi r otwarty) ma pochodna
- -
T
n
w a " U wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja funkcja liniowa - - m
-
µ
oraz funkcja U - - - takie, że
- -
f(x) = f(a) + T (x - a) + µ(x) x - a oraz lim µ(x) = 0.
xa
f
2
57. Niech - - bedzie zadana wzorem
-
x + y, gdy x = 0 lub y = 0
f(x, y) =
0, gdy x = 0 = y.

Pokazać, że w punkcie (0, 0) istnieja pochodne czastkowe, ale nie ma
pochodnej kierunkowej w (0, 0) i w kierunku jakiegokolwiek wektora o
obu wsp lrzednych niezerowych.
58. Znalez
ć pochodne kierunkowe funkcji f  danej poniższym wzorem 
w podanym punkcie i w podanym kierunku:
(1) f(x, y) = 4xy + 3y2 w (1, 1) i w kierunku (2, -1),
3 4
(2) f(x, y) = sin(Ä„xy) + x2y w (1, -2) i w kierunku , ,
5 5
(3) f(x, y, z) = x2e-yz w (1, 0, 0) i w kierunku (1, 1, 1).
5. Pochodne czastkowe a istnienie pochodnej
f
"f "f
2
59. Niech - - . Obliczyć pochodne czastkowe (1, 1) oraz (1, 1),
-
"x "y
gdy:
(1) f(x, y) = 3x2 - y2 + 4xy - x + 7y,
(2) f(x, y) = 3x2y - xy4,
(3) f(x, y) = x sin(x2 + y2),
(4) f(x, y) = xex+y.
60. Dla funkcji określonej poniższym wzorem znależć pochodne czastkowe
oraz "f ( propos: co to jest "f ?):
2
(1) f(x, y) = e4x-y + ln(x2 + y),
(2) f(x, y) = cos(x2 - 3y),
y
(3) f(x, y, z) = x2ez .
9
f
n
61. Znalez
ć pochodna funkcji - - danej wzorem f(x1, . . . , xn) =
-
n
x4.
j=1 j
f
2
62. [W] Niech - - bedzie określona wzorem
-
Å„Å‚
1
2
òÅ‚
x sin dla x = ¸

f(x) =
x 2
ół
0 dla x = ¸.
Pokazać, że f jest r żniczkowalna w ¸, mimo że jej pochodne czastkowe
nie sa ciagle w ¸. To pokazuje, że warunek wystarczajacy r żniczkowal-
ności nie jest konieczny. W tym celu:
(1) Obliczyć pochodne czastkowe w ¸.
(2) Ustalić, jak wygladać może pochodna w ¸, o ile istnieje.
(3) Sprawdzić, że jest to pochodna w ¸.
(4) Obliczyć pochodne czastkowe w x = ¸.

(5) Sprawdzić, że pochodne czastkowe nie sa ciagle w ¸. W tym celu
1
"
wzia ć ciag (ak, ak) ¸, gdzie ak = , pokazać, że f(ak, ak) f(¸).
2 Ä„k
f
2
63. Wiemy już [na podstawie kt rego ćwiczenia ?], że funkcja - -
-
określona wzorem
Å„Å‚
x2y
òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0)
jest ciagla w (0, 0). Pokazać, że ma ona pochodne czastkowe w punkcie
(0, 0), ale nie ma pochodnej w (0, 0).
64. Zbadać ciaglość, istnienie pochodnych czastkowych i r żniczkowalność
w punkcie (0, 0) funkcji
Å„Å‚
1
òÅ‚
x sin dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) = x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
65. Zbadać ciaglość, istnienie pochodnych czastkowych i r żniczkowalność
w punkcie (0, 0) funkcji
Å„Å‚
x |y|
òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
10
f
2
66. Niech - - , f(x, y) = x2 + y4. Zbadać jakich punktach ist-
-
nieja pochodne czastkowe funkcji f.
f
2
67. Niech funkcja - - bedzie określona wzorem
-
Å„Å‚
a(|x| + |y|)
òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
b dla (x, y) = (0, 0).
Dla jakich liczb a and b funkcja f ma pochodne czastkowe w (0, 0) ?
f
2 2
68. Niech - - bedzie określona wzorem
-
1
(ex+y, x2 sin ) dla x = 0

x
f(x, y) =
(ey, 0) dla x = 0.
Zbadać r żniczkowalność tej funkcji oraz  w przypadku istnienia pochod-
nej  obliczyć jej jakobian w punkcie (0, 0). W tym celu:
(1) Ustalić skladowe f1 oraz f2 funkcji f.
(2) Zbadać ciaglość pochodnych czastkowych obu skladowych.
"f2
(3) Ponieważ nie jest ciagla w (0, 0), nie możemy korzystać z
"x
warunku dostatecznego istnienia pochodnej funcji f2, toteż sprawdz-
imy za pomoca definicji pochodnej, czy
"f2 "f2
T (h1, h2) = (0, 0)h1 + (0, 0)h2
"x "y
jest pochodna f2 w (0, 0).
(4) Ponieważ test z punktu (3) wypadl pozytywnie, możemy zapisać
macierz Jacobiego [f (x, y)].
(5) Teraz możemy obliczyć Jf (0, 0).
69. Dla każdej z funkcji danych poniższymi wzorami znalez
ć pochodna
f (x) oraz wskazany tam jakobian:
(1) f(x, y) = (x2 + y, 2xy - y2); znalez
ć Jf (1, 1),
(2) f(r, Õ, z) = (r cos Õ, r sin Õ, z); znalez
ć Jf (r, Õ, z).
70. Pokazać, że funkcja o wzorze
Å„Å‚
x3
òÅ‚ - y3
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0)
nie ma pochodnej w (0, 0).
11
f
2
71. Zbadać, czy funkcja - - dana wzorem f(x, y) = |xy| ma
-
pochodna w punkcie (0, 0).
g f
2
72. Niech - - bedzie ciagla, niech a " oraz niech - -
- -
bedzie dana wzorem
x+y
f(x, y) = g(t)dt.
a
Obliczyć pochodna f (x, y).
f
n
73. Niech funkcja - - bedzie r żniczkowalna i niech f(¸) = 0.
-
gj
n
Pokazać, że istnieja funkcje - - , j = 1, . . . , n, takie, że
-
n
n
f(x) = xjgj(x) dla x " .
j=1
f
2
74. Niech funkcja - - bedzie dana wzorem
-
Å„Å‚
xy(x + y)
òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
2
(1) Czy f jest ciagla w ?
"f "f
(2) Obliczyć (0, 0) oraz (0, 0).
"x "y
(3) W jakich punktach funkcja f jest r zniczkowalna?
f
n
75. Niech - - spelnia warunek: istnieje stala M > 0 taka, że
-
2
|f(x)| d" M x . Pokazać, że f (¸)(h) = 0.
Uwaga. Zadania 76 78 stana sie rozwiazalne p z
niej.
76. Znalez
ć r wnanie plaszczyzny stycznej do powierzchni o r wnaniu z =
1 - x2 - y2 w punkcie (0, 0, 1).
77. Znalez
ć r wnanie plaszczyzny stycznej do powierzchni o r wnaniu:
(1) z = x2 - y3 w punkcie (2, 1, -5),
(2) x2 + 2y2 + 2z2 = 6 w punkcie (1, 1, -1)
12
f
n
78. Niech - - oraz f(x) = x . Znalez
ć hiperplaszczyzne styczna
-
do wykresu funkcji f w punkcie: (1) a = ¸, (2) a = ej, (3) a = ¸.

6. Pochodna z ożenia i regu y ańcuchowe
f,g
n
79. Niech - - beda określone wzorami f(x) = x, x oraz g(x) =
-
x . Obliczyć pochodna funkcji g w punkcie x = ¸ dwoma sposobami:

(1) najpierw obliczyć pochodna funkcji f za pomoca warunku dostate-
cznego istnienia pochodnej,
"
(2) potem bliczyć g = f za pomoca wzoru na pochodna funkcji
zlożonej.
f f
2 2
80. Niech - - bedzie ciagla, a " oraz - - niech bedzie
- -
dana wzorem
xy
f(x, y) = g(t)dt.
a
Obliczyć pochodna f (x, y).
81. Obliczyć pochodne czastokowe funkcji określonych wzorami (zakladamy,
że wszystkie funkcje maja wszystkie możliwe pochodne):
(1) f : , gdzie f(x) = G(sin x, x2 + 1),
(2) h : , gdzie h(x) = g(Õ(x), x, x2 + 1).
82. Obliczyć pochodne czastokowe funkcji określonych wzorami (zakladamy,
że wszystkie funkcje maja wszystkie możliwe pochodne):
(1) f : , gdzie f(x) = G(x, h(x)),
2
(2) Õ : , gdzie Õ(x, y) = h(f(x, y), g(y)),
2
(3) F : , gdzie F (x, y) = f(x, y, h(x, y)),
2
(4) É : , gdzie É(x, y) = h(f(x, y), g(y)),
2
(5) g : , gdzie g(x, y) = f(y, f(x, y)).
7. Twierdzenia o wartości średniej
n
83. Sprawdzić, że przedzial domkniety [a, b] ą" jest tym samym co
odcinek o końcach a i b, tj. [a, b] = {sa + tb : s, t e" 0, s + t = 1}.
13
n
84. Sprawdzić, że jeśli x, y " Br(z) ą" , to [x, y] ą" Br(z).
f=(cos,sin)
2
85. Niech - - - - - . Pokazać, że nie istnieje liczba z " (0, 2Ą)
- - - -
taka, by f (2Ä„) - f(0) = f (z)(2Ä„ - 0)
8. Pochodne czastkowe wyższych rzed w
x "3f "3f
86. Niech f(x, y) = arctg . Pokazać, że = .
y "y2"x "x"y2
"2f
87. Niech f(x, y, z) = x2z -3xyz3 +xy3z5 +x+y+z +1. Obliczyć: ,
"x"y
"2f "4f "4f
, oraz . Co zuważamy?
"y"x "x2"y"z "y"z"x2
88. Znalez
ć wszystkie pochodne czastkowe drugiego rzedu nastepujacych
funkcji określonych wzorami:
(1) f(x, y) = ln(x + x2 + y2),
x + y
(2) f(x, y) = arctg .
1 - xy
f
2
89. [W] Niech funkcja - - bedzie dana wzorem
-
Å„Å‚
x2
òÅ‚ - y2
xy dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) =
x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
"2f "2f
Pokazać, że (0, 0) = (0, 0).

"y"x "x"y
1
90. Niech f(x, y, z) = , (x, y, z) = (0, 0, 0). Sprawdzić, że

x2 + y2 + z2
"2f "2f "2f
def125
"(x, y, z) = (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 0.
"x2 "y2 "z2
f
2
91. Niech funkcja - - bedzie dana wzorem
-
Å„Å‚
2xy
òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0)

f(x, y) = x2 + y2
ół
0 dla (x, y) = (0, 0).
14
"2f
Zbadać, czy istnieje (0, 0). W tym celu:
"y"x
"f
(1) obliczyć (0, 0) dla (x, y) = (0, 0),

"x
"2f
(3) korzystajac z (1) oraz (2), sprawdzić, czy istnieje (0, 0).
"y"x
f
2
92. Niech funkcja - - bedzie dana wzorem
-
Å„Å‚
x - sin x
òÅ‚
dla y = 0

f(x, y) = - sin y
y
ół
-1 dla y = 0.
"2f "2f
Pokazać, że istnieje (0, 0) istnieje, ale w (0, 0) nie istnieje.
"y"x "y"x
x "2z
93. Niech z = F (u, v), gdzie u = xy, v = . Obliczyć .
y "x"y
f
3
94. [W] Niech ‡" U - - bedzie klasy C2. Niech [x, x + h] Ä…" U
-
F
(zbi r otwarty), niech [0, 1] - - bedzie określona wzorem F (t) =
-
f(x + th). Obliczyć F (t), F (t) oraz F (t).
f
2
95. Napisać macierz Hessego Hf (1, 1) dla funkcji - - danej wzorem
-
f(x, y) = x3 - x2y - y4.
f
3
96. Napisać macierz Hessego Hf (1, 1, 1) dla funkcji funkcji - -
-
danej wzorem f(x, y, z) = x4z + xy4 + xyz.
9. R żniczki wyższych rzed w i wz r Taylora
f
2
97. Niech - - , gdzie f(x, y) = x3y5 + 1. Znalez
ć r żniczke:
-
(1) 1-go rzedu w punkcie (1, 1),
(2) 2-go rzedu w punkcie (1, 1),
(3) 3-go rzedu w punkcie (1, 1).
98. Napisać wz r Taylora 2-go rzedu dla funkcji f(x, y) = ln(xy) w otocze-
niu punktu (1, 1).
15
99. Napisać wz r Taylora dla funkcji f(x, y) = ex+y w otoczeniu punktu
(0, 0) z reszta 3-go rzedu.
100. Napisać wz r Taylora 2-go rzedu dla funkcji f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 -
3xyz w otoczeniu punktu (1, 1, 1).
f
2
3
101. Niech - - , gdzie f(x, y, x) = e-(x +y2+z2). Napisać wz r Tay-
-
lora dla tej funkcji w otoczeniu punktu (0, 0, 0) z reszta 2-go rzedu.
10. Ekstrema lokalne i warunkowe
f
2
102. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji - - zadanych wzorami:
-
(1) f(x, y) = x2 + xy + y2 - 6x - 9y + 1,
(2) f(x, y) = x3 + xy2 + 6xy - 1,
(3) f(x, y) = (x + y)2 + x4,
(4) f(x, y) = 3x2y - x3 - y4 [rozstrzygna ć przypadek watpliwy],
(5) f(x, y) = (y - x2)(y - 2x2) [rozstrzygna ć przypadek watpliwy],
(6) f(x, y) = x4 + 16y4 - x2 - 4xy - 4y2.
f
2
103. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji - - zadanych wzorami (roz-
-
strzygna ć ewentualne przypadki watpliwe):
(1) f(x, y) = x3 + y3 - 9xy + 1,
(2) f(x, y) = x3 + xy2 + 6xy - 1,
2
(3) f(x, y) = (x2 + y2)e-(x +y2).
f
3
104. Znalez
ć ekstrema funkcji - - zadanych wzorami:
-
(1) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z + 1,
(2) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy - xz - x - y - 4z + 1,
(3) f(x, y, z) = xyz(1 - x - y - z).
f
n
105. Znalez
ć ekstrema funkcji - - zadanych wzorami:
-
n n
(1) f(x1, . . . , xn) = x2 - ajxj, gdzie aj " ,
j=1 j j=1
n n
(2) f(x1, . . . , xn) = x4 - 4 xj.
j=1 j j=1
106. Na plaszczyz
nie danych jest n > 1 punkt w P1 = (a1, b1), . . . , , Pn =
n
(an, bn). Znalez
ć punkt P = (x, y), dla kt rego suma |P Pi|2 jest
i=1
najmniejsza.
16
107. Znalez
ć tr jkat o maksymalnym polu powierzchni wpisany w okrag o
promieniu r.
108. Znalez
ć najwieksza wartość iloczynu trzech liczb nieujemnych o stalej
sumie c.
109. Znalez
ć ekstrema warunkowe funkcji o wzorze f(x, y) = x4 + y4 przy
warunku x + y = 1.
110. Znalez
ć ekstrema warunkowe funkcji o wzorze f(x, y, z) = x - 2 + z
przy warunku x + y2 - z2 = 1.
xn + yn
111. Znalez
ć ekstrema warunkowe funkcji o wzorze f(x, y) = (n e"
2
2) przy warunku x + y = s > 0.
n
112. Znalez
ć ekstrema warunkowe funkcji o wzorze f(x1, . . . , xn) = x2
i=1 i
n xi
przy warunku = 1, ai > 0
i=1
ai
11. Lokalne odwracanie funkcji
113. [W] Ilustracja twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań.Niech
f
2 2
- - , gdzie f(x, y) = (ex + ey, ex - ey).
-
2
(1) Znalez
ć i narysować zbi r f( ).
2
(2) Zauważyć, że f jest iniekcja, czyli bijekcja na f( ).
2 2
(3) Znalez
ć funkcje odwrotna f-1 : f( ) .
(4) Obliczyć (f-1) (u, v).
(5) Sprawdzić, że (f-1) (u, v) ć% f (f-1(u, v)) = id 2, tj. że zachodzi
wz r na pochodna funkcji odwrotnej :
(f-1) (u, v) = (f (f-1(u, v)))-1.
(6) Obliczyć Jf (x, y) oraz Jf-1(u, v).
(7) Sprawdzić, że:
1
Jf-1 = .
(u,v)
Jf (f-1(u, v))
17
114. W tym ćwiczeniu zobaczymy, że zalożenie o injektywności funkcji w
twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej jest istotne. W tym celu
f
2 2
rozważmy funkcje - - określona wzorem
-
f(x, y) = (ex cos y, ex sin y).
Sprawdzić, że:
2
(1) Jf (x, y) = 0 dla każdego (x, y) " ,

2 2
(2) f " C1( , ),1
(3) r wnanie f(x, y) = (1, 0) ma nieskończenie wiele rozwiazań (a wiec
f nie jest injekcja).
15. Funkcje uwik ane
115. Niech F (x, y) = ex+y + y - x. Zauważyć, że F (1, -1) = 0 oraz
2 2
"F
(1, -1) = 2 = 0. Zatem istnieje funkcja f określona w pewnym

"y 2 2
1
przedziale zawierajacym punkt x0 = . Pomimo, że nie znamy jawnego
2
wzoru na f(x), to umiemy znalez
ć ekstrema tej funkcji. Zr bmy to.
W tym celu:
ex+f(x) - 1
(1) pokazać, że f (x) = - ,
ex+f(x) + 1
(2) zastosować procedure znajdowania ekstremum, czyli wpierw roz-
wiazać r wnanie f (x) = 0 [pamietajmy, że F (x, f(x)) = 0],
(3) obliczyć f (x) i zbadać znak f (z), gdzie z jest rozwiazaniem
r wnania f (x) = 0.
F
2
116. Ilustracja twierdzenia o funkcji uwik anej : Niech - - , gdzie
-
2
F (x, y) = y+sin y-x, czyli U = . Niech (x0, y0) = (0, 0). Zauważyć,
że spelnione sa zalożenia twierdzenia o funkcji uwiklanej, tj.:
2
(1) F " C1( , ),
(2) F (x0, y0) = 0,
"F
(3) (x0, y0) = 0.

dy
Z twierdzenia o funkcji uwiklanej wynika istnienie przedzialu (a, b)
x0 oraz f " C1(a, b) takich, że f(x0) = y0 oraz F (x, f(x)) = 0 dla
każdego x " (a, b).
1
Tj.  przypomnijmy  że wszystkie pochodne czastkowe funkcji f sa ciagle.
18
(4) podać wz r na f (x) dla x " (a, b),
(5) obliczyć f (0) ze pomoca tego wzoru, a także bezpośrednio ze
wzoru F (x, f(x)) = 0 (co de facto jest jednym i tym samym!).
C.d.n.
19