PAiTM
materiały uzupełniające do ćwiczeń
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
studia inżynierskie
prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak
Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.
PODSTAWY AUTOMATYKI  CZ
ŚĆ I
Zakres materiału na 3 kolokwium
1. Równania elementów automatyki i ich transmitancje operatorowe. Elementy: proporcjonalny,
inercyjny I-go rzędu, całkujący, różniczkujący, oscylacyjny i opóz
niający. Odpowiedzi na
wymuszenie skokowe oraz charakterystyki częstotliwościowe.
2. Algebra schematów blokowych. Połączenia elementów automatyki szeregowe, równoległe i ze
sprzężeniem zwrotnym.
WST
P TEORETYCZNY
Proszę w pierwszej kolejności zapoznać się z materiałem z wykładu
Przed przystąpieniem do zadania automatycznego sterowania obiektami lub procesami należy
zapoznać się ze sposobem opisu stosowanym w teorii automatyki i sterowania.
W przedmiocie skupimy się na rozważaniu obiektów, dla których wyróżniamy jedną zmienną
wejściową (sygnał wejściowy, wymuszenie układu, zazwyczaj będziemy mogli je zmieniać) oraz
jedną zmienną wyjściową (sygnał wyjściowy, wpływamy na niego poprzez zmianę sygnału
wejściowego).
Single Input Single Output (SISO)
x(t) y(t)
Obiekt lub proces
wejście wyjście
input output
Podstawowa teoria sterowania zajmuje się układami liniowymi niezależnymi od czasu (ozn. LTI od
linear time-invariant system).
x(t) h(�")
Jeśli to sygnał wejściowy, a funkcja opisuje działanie układu, tak że wyjście
y(t)=h(x (t))
możemy obliczyć jako , to układ nazywamy liniowym, gdy spełnia własność
skalowalności ą y(t)=ąh(x (t ))=h(ą x(t))
.
y (t)=h(x (t))
Układ jest niezależny od czasu jeśli dla zależności wyjście/wejście spełniona jest
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
�
y(t-�)=h(x(t-�)) h(�")
również zależność dla dowolnego (czyli funkcja nie zależy
jawnie od czasu).
Badając zachowanie obiektów posługujemy się kilkoma typowymi funkcjami wejściowymi:
x(t)=0
" sygnał zerowy (brak sygnału wejściowego):
" impuls jednostkowy (delta Dirac'a, należy kojarzyć to bardzo krótkim pobudzeniem układu,
np. uderzeniem układu młotkiem):
0, t <0
�(t )=
", t=0
{
0, t >0
0, t<0
1(t)=
H (t), 1+(t)
" skok jednostkowy (funkcja Heaviside'a): oznaczana też:
{
1, t>0
0, t<0
x(t)=
" liniowy przyrost sygnału (funcka Ramp):
{
t , t >0
x(t)=ax sin(� t)
" funkcja harmoniczna:
Transformata Laplace'a
x(t)
Dana jest ciągła funkcja lokalnie całkowalna dla t"Ł'0, " i taka, że dla t<0
)
x(t)=0
"
x(t)e-st dt
x (t) +"
Transformatę Laplace'a funkcji definiujemy jako i oznaczamy
0
L{x(t)}=X (s) s"! jest liczbą zespoloną ( s=� + j � , )
, gdzie
j=
"-1
Przykład 1
x(t)=e-2 t , t~*0. X (s)=?
T
" "
e-(2+ s)t 1
Rozwiązanie:
X (s)=L {e-2 t}= e-2 t e-st= e-(2+ s)t=lim =
+" +"
[ ]
T " -(2+s) s+2
0
0 0
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
TABELA TRANSFORMAT LAPLECE'A
f (t) , t~*0 F (s)
�(t ) 1
impuls jednostkowy
1
1(t)
skok jednostkowy
s
2
sgn(t )
signum
s
1
t
s2
n !
tn
sn +1
1
e-b t
s+b
b
1  e-b t
s(s+b)
�
sin(� t )
s2+�2
s
cos(� t)
s2+�2
�
sinh(�t)
s2-�
s
cosh(� t)
s2-�
a�"f (t) a�"F (s)
x(t)+ y(t ) X (s)+Y (s)
x(t)"y(t) X (s)�"Y (s)
splot
dy(t)
sY ( s)- y(0)
dt
2
dy(0)
d y(t)
s2Y (s)-s y (0)-
dt
dt2
n n-1 n-2
d y(t) d y(0)-s d y(0)-...-s y(0)
n-1
snY (s)-
dtn dtn-1 dtn -2
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
Przykład 2
Rozwiązać równianie różniczkowe z zastosowaniem Transformaty Laplace'a.
2
d y (t ) dy(t ) dy(0)=2, y(0)=3, t ~* 0
 3 +2y(t )=1(t) ,
dt
dt2 dt
Po transformacie całego równania równanie różniczkowe zmienia się w wielomian ze zmienną
1-7 s+3s2
zespoloną s, możemy od razu napisać napisać Y (s)=
s(s-1)(s-2)
Aby otrzymać rozwiązanie w dziedzinie czasu korzystamy z odwrotnej transformaty Laplace'a. Aby
1 1 1 1 1
Y (s)= +3 -
wykorzystać tabelę gotowych wzorów rozkładamy Y(s) na czynniki
2 s s-1 2 s-2
1 1
y (t)= 1(t)+3 et- e2 t
Po wykorzystaniu tabeli otrzymujemy rozwiązanie .
2 2
Transmitancja (funkcja przejścia układu, transfer function)
Dla układu liniowego niezależnego od czasu, o jednym wyjściu i wejściu opisanego równaniem
ogólnym
dn y(t) dn-1 y(t) dm x(t) dm -1 x (t)+...+b dx(t)
+a1 +...+an-1 dy(t )+an y(t )= +b1 +bm x(t)
m-1
dt dt
dtn dtn-1 dtm dtm-1
po transformacie Laplac'a przy zerowych warunkach początkowych
snY (s)+a1 sn-1 Y (s)+...+an-1 sY (s)+anY (s)=sm X (s)+b1 sm-1 X (s)+...+bm-1 s X (s)+bm X (s)
możemy napisać zależność między transformatą wyjścia i wejścia, którą nazywamy transmitancją
sm+b1 sm-1+...+bm-1 s+bm
Y (s)
G(s)= =
X (s)
sn+a1 sn-1+...+an-1 s+an
Znając transmitancję możemy szybko obliczyć sygnał
wyjściowy z układu przy dowolnym sygnale
wejściowym (odpowiedz
układu na dowolne
wymuszenie) korzystając z zależności
Y (s)=G(s) X (s)
(transformata wyjścia =
transmitancja * transformata wejścia)
y(t)=L-1 {Y (s)}
Rysunek obok pokazuje dwie drogi liczenia
odpowiedzi układu y(t) na wymuszenie x(t). Droga
krótsza wymaga konieczności rozwiązania równania
z
ródło: wikipedia
różniczkowe lub dokonania operacji splotu (ozn.
gwiazdką), droga dłuższa wymaga korzystania z tablic i operowania na wielomianach.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
(s- z1)(s-z2)...(s-zm)
Y (s)
G(s)= =
Transmitancję zapisać możemy również w postaci
X (s) (s- p1)(s- p2)...(s- pn)
z1, z2, ..., zm nazywamy  zerami transmitancji, a p1, p2, ... , pn  biegunami (uwaga,
I wtedy
zera i bieguny mogą być liczbami zespolonymi).
Przykład 3
2-s
G(s)=
Obejrzyjmy przykładową transmitancję
s3+s2-2
Po znalezieniu pierwiastków wielomianu z mianownika możemy transmitancję zapisać w formie
s-2
G(s)= p1=1, p2=-1-i , p3=-1+i z1=2
, gdzie bieguny i zero .
(s-1)(s+ j+1)(s-i+1)
Ponieważ jest to funkcja zespolona, aby przedstawić ją na wykresie musiałby być to wykres
czterowymiarowy. Wykreślimy zatem wykres modułu transmitancji w funkcji parametru
s
zespolonego w skali logarytmicznej (skala log. konieczna ze względu na bardzo duży zakres
wartości).
20 log|H (s)|
Im s
Re s
s=z1 -"
Dla wartość modułu transmitancji wynosi zero (czyli dla skali log.), dla
s= p1 , p2 lub p3 (czyli w biegunach) transmitancja ma wartość
+".
Ponieważ potraktowaliśmy jako niewiadome zarówno wejście jak i wyjście do układu, to
transmitancja operatorowa w pełni opisuje jego działanie dla dowolnych sygnałów.
Zachęcam do przypomnienia sobie o liczbach zespolonych np. z wikipedii.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
Transmitancja widmowa
Transmitancja widmowa charakteryzuje zachowanie ustalone układu liniowego przy wymuszeniu
harmonicznym (sinusoidalnym), przy czym moduł transmitancji wyznacza stosunek amplitud
sygnału wyjściowego do wejściowego, a argument transmitancji wyznacza przesunięcie fazowe
sygnału wyjściowego względem wejściowego.
Transmitancję widmową wyznaczamy poprzez podstawienie do transmitancji operatorowej s=j�.
Transmitancję widmową przedstawiamy na wykresie nazywanym charakterystyką amplitudowo-
częstościową (wykresem Nyquista). Aby sporządzić ten wykres transmitancję widmową
rozkładamy na część rzeczywistą i urojoną:
G ( j�)=P (�)+jQ (�)
�
i przyjmując za parametr częstość wejściowego sygnału harmonicznego za współrzędne
punktów wykresu przyjmujemy części rzeczywistą i urojoną transmitancji, np.:
Im G(j�)
�="
�=0
Re G(j�)
Wiele informacji niosą też inne wykresy:
amplitudowo-częstościowy
A(�)=|G( j �)|= P2(�)+Q2(�)
"
logarytmiczna charakterystyka amplitudowo-częstościowa L(�)=20log A (�)
Q(�)
�(�)=arg G( j �)=arctg
fazowo-częstościowy
P (�)
x (t)=x0 sin �t
Zatem dla sygnału harmonicznego wejściowego wyjście układu ma postać
y(t)=x0 A (�)sin(� t+�(�))
Charakterystyka amplitudowo-częstościowa odzwierciedla wzmocnienie sygnału po przejściu przez
układ, a charakterystyka fazowo-częstościowa opisuje opóz
nienie sygnału wyjściowego względem
wejściowego.
W ramach podstaw teorii automatyki niezwykle ważne jest poznanie kilku podstawowych
transmitancji i ich charakterystyk, gdyż wykorzystuje się je do opisu bardzo wielu
układów/procesów/zjawisk. W oparciu o te podstawowe transmitancje buduje się również układy
sterowania automatycznego.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
Element Równanie elementu Transmitancja Wykres Nyquist'a
Im
proporcjonalny
y(t) =ku(t ) k
(proportional)
Re
Im
�=0
�="
inercyjny
dy(t) k
I-go rzędu T +y(t) =ku(t )
Re
Ts+ 1
dt
(first order)
dy(t)
=ku(t)
Im
�="
dt
k
całkujący
lub Re
t
(integrator) s
y(t) =k u(t) dt
+"
0
Im
różniczkujący
du(t)
idealny y(t) =k ks
dt
�=0
(derivative)
Re
Im
różniczkujący
dy(t) du(t ) ks
rzeczywisty
T +y (t) =k
(derivative with Ts+ 1
dt dt
inertia)
�=0 �="
Re
Im
opóz
niający
�=0
y(t) =u(t-� )
e-�s
(delay)
Re
Im
2
inercyjny II-go �=0
d y(t) dy(t)
2
k
T +T +
rzędu, oscylacyjny �="
1
Re
dt2 2 dt 2
(second order, T s2+T s+ 1
1 2
( ) ( )
+y t =ku t
oscillator)
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014
Wykres Nyquist'a Przykładowa charakterystyka Bodego
Im
Re
Im
�=0
�="
Re
Im
�="
Re
Im
�=0
Re
Im
�=0 �="
Re
Im
�=0
Re
Im
�=0
�="
Re
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 6.12.2014