PAiTM
materiały uzupełniające do ćwiczeń
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
studia inżynierskie
prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak
Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia.
Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.
PODSTAWY AUTOMATYKI  CZ
ŚĆ II
Zadanie 1
i(t)
Dla przedstawionego układu elektrycznego wyznaczyć:
transmitancję operatorową, odpowiedz
na wymuszenie
C
R
skokowe, transmitancję widmową, charakterystyki u1(t) u2(t)
amplitudowo-częstościową i fazowo-częstościową. Za
u1 ,
wejście układu należy uznać napięcie zasilające a za
u2
C
wyjście napięcie . Przez oznaczono stałą wartość
pojemności kondensatora (jednostka: Farad F) a przez R stałą wartość oporu rezystora (jednostka:
�
Ohm ).
u1(t )=uC (t)+uR(t )
Z drugiego prawa Kirchhoffa: , gdzie spadek napięcia na kondensatorze
q(t )
uR (t )=i (t ) R
i(t)
uC(t)= , a spadek napięcia na rezystorze , przy czym jest prądem
C
q(t)
chwilowym płynącym przez układ będący pochodną ładunku .
Pierwsze równianie możemy przekształcić do postaci:
du2(t) du1(t )
1
1
lub po zróżniczkowaniu
+"u (t) dt+u2(t )=u1(t) u2(t )+ =
2
CR
CR dt dt
W celu wyznaczenia transmitancji operatorowej układu dokonujemy transformaty Laplace'a
powyższego równania przy zerowych warunkach początkowych:
1
U (s)+sU ( s) =sU1( s)
, gdzie wprowadzono stała T=CR .
2 2
T
Transmitancja operatorowa jako stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty
sygnału wejściowego wynosi:
U ( s)
Ts
2
G (s)= =
1+Ts
U ( s)
1
Obiekt o transmitancji jw. nazywamy rzeczywistym elementem różniczkującym.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
u1(t )=a�"1(t) ,
1(t)
Odpowiedz
na wymuszenie skokowe w postaci gdzie jest funkcją skoku
jednostkowego, obliczamy następująco:
U1(s)=L-1{u1(t)}=L-1{a�"1(t)}=a�"L-1{1(t)}=a�"1
s
1
U (s)=U (s) ( s) =a
�"G
2 1
1
s+
T
t
-
1
u2(t)=L-1 (s) L-1 a
{U }= s+1/T =a e T
2
{ }
wykres dla a=2 i T=1
u1(t)
u2(t)
Transmitancja widmowa:
2 2 2
s j �
T j �(1-T j �)
T j � T j �+T �2 j T � T �2
G(s) G( j �)= = =T j �-T j2 �2 = = +
2 2 2 2
1+T j � (1+T j �)(1-T j �)
1-T j2 �2 1+T �2 1+T �2 1+T �2
2
T �2 Q(�)= T �
P (�)=
,
2
2
1+T �2
1+T �2
Wszystkie poniższe wykresy dla T =1
�=0
� "
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
2
T �
"
A(�)= P2+Q2=T � T �2+1 =
"
2
1+T �2 T 2 �2+1
"
T �
2
L(�)=20log A (�)=20 log =20logT �-20 log T �2+1
"
2
T �2+1
"
Q 1
�=arctg =arctg
( )
P T �
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
Zadanie 2
Do walcowego zbiornika o średnicy d
dopływa ciecz o natężeniu przepływu
x1(t )
m3
x1(t) ,
[ ] x2(t)
s
h(t)
m3
a odpływa z natężeniem x2(t) .
�d
[ ]
s
Wyznaczyć: transmitancję operatorową, odpowiedz
na wymuszenie skokowe, transmitancję
widmową, charakterystyki amplitudowo-częstościową i fazowo-częstościową. Za wejście układu
w (t)=x1(t)-x2(t),
h(t )
należy uznać różnicę a za wyjście wysokość słupa cieczy w zbiorniku .
Przyjmijmy, że objętość cieczy w zbiorniku opisuje funkcja [ ]
v(t ) m3
t1 v(t1)=v1
Znając objętość cieczy w chwili równą
"
objętość po upływie małego czasu obliczymy następująco
v(t1+")H"v(t1)+" x1(t)-" x2(t)
(dodaliśmy ilość cieczy która dopłynęła w jednostce czasu przy znanym natężeniu i odjęliśmy to co
odpłynęło)
v (t2)-v(t1)
Po przekształceniu mamy
H"x1(t)-x2(t)
"
dv(t)
" =x1(t)-x2(t)
a po przejściu do granicy, gdy dąży do zera otrzymujemy
dt
x1(t) x2(t)
Ponieważ w tej postaci równanie ma dwa sygnały wejściowe i oraz jeden
v(t )
wyjściowy przechodzimy do zadanych w treści zadania zmiennych
4 v(t)
Ą d2
w (t)=x1(t)-x2(t), h(t )=
v (t )= h(t)
4 Ą d2
dh(t)
4
=w (t)
Ą d2 dt
Ostatecznie po wprowadzeniu stałej T równanie różniczkowe opisujące zależność między
dh(t)
T =w(t)
przepływem cieczy i jej wysokością w zbiorniku ma postać
dt
T s H (s)=W (s)
Po transformacie Laplace'a
H (s)
1
G(s)= =
Transmitancja operatorowa (jest to obiekt całkujący)
W (s) T s
1 1 j= j j
1
G( j �)= = =-
P(�)=0, Q(�)=-
Transmitancja widmowa
T j � T j� j T �
T �
T j2�
1 1
A(�)= P2+Q2=|Q|= L(�)=20 log =20 log(1)-20 log(T )-20 log(�)
"
( )
T � T �
20 log(1)=0, 20 log(T )=const .
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
Q
Ą
�=arctg =-
P 2
� "
�=0
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
Zadanie 3
F(t)
m
Dla modelu pojazdu o masie poruszającego się prostoliniowo pod
F(t)
działaniem siły napędowej i przy oporach liniowo zależnych od
prędkości (współczynnik c), wyznaczyć: transmitancję operatorową,
odpowiedz
na wymuszenie skokowe, transmitancję widmową, charakterystyki amplitudowo-
F(t),
częstościową i fazowo-częstościową. Za wejście układu należy uznać siłę napędową a za
v(t ).
wyjście prędkość pojazdu
Równanie różniczkowe ruchu pojazdu traktowanego jako punkt materialny ma postać:
dv(t)
m +cv(t )=F (t )
dt
m 1
T= =k
c
dzieląc równianie przez i wprowadzając oznaczenia i otrzymamy równanie w
c c
dv(t)
postaci T +v (t) =kF (t ) , które opisuje tzw. element inercyjny pierwszego rzędu.
dt
F ( s)=
k
G (s)=
Transmitancja operatorowa tego układu ma postać:
Ts+1
V ( s)
k
G ( j�)=
Transmitancja widmowa:
Tj�+1
k -kT� k
P (�)= , Q (�)= , A(�)= , �(�)=arctg (-T�)
2 2
2
T �2+1 T �2+1
T �2+1
"
Wykresy dla T=1 i k=1:
� "
� = 0
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
Przykład 4
Dla modelu maszyny o masie m spoczywającej na podłożu o
y(t)
własnościach sprężysto-tłumiących, które to podłoże porusza się
zgodnie z funkcją u(t), wyznaczyć: transmitancję operatorową,
k c
odpowiedz
na wymuszenie skokowe, transmitancję widmową,
u(t)
charakterystyki amplitudowo-częstościową i fazowo-częstościową. Za
wejście układu należy uznać przemieszczenie podłoża u(t), a za wyjście
przemieszczenie maszyny y(t). Przemieszczenia u i y mierzymy z
położenia równowagi układu.
Równianie różniczkowe układu:
m �(t)+c Ź(t)+k y(t)=cu (t)+k u(t )
Ł
cs+k
G (s)=
Transmitancja operatorowa: (jest to element inercyjny II rzędu)
ms2+cs+k
k2+c2�2  km�2 -cm�3
P (�)= , Q (�)=
Transmitancja widmowa:
(k-m�2)2+c2 �2 (k-m�2)2+c2�2
Ns N
m=300kg ,c= 800 ,k=11000 :
Wykresy dla
m m
� "
� = 0
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
Algebra schematów blokowych
Transmitacja zastępcza układu szeregowo połączonych transmitancji jest iloczynem tych
transmitancji.
Transmitacja zastępcza układu równolegle połączonych transmitancji jest sumą tych transmitancji.
Transmitancja zastępcza układu ze sprzężeniem zwrotnym ujemnym:
x(s) y(s)
+
G1(s)
x(s)
y(s)
G1

Gz(s)=
1+G1G2
G2(s)
Przykład 1
Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu z rysunku.
a)
x(s) y(s)
+
G1(s)

+
G4(s) G2(s)

G1
rozwiązanie
G3(s) G2
1 +G1G4
1 +G2 G3
b)

y(s)
x(s)
+
1 / (s+1)
+
+
-s
rozwiązanie
5k
s+ 1-5k
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014
ZADANIA POWTÓRZENIOWE DO KOLOKWIUM NR 3
1. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu z rysunku.
x(s)  y(s)
+
G1(s)
G4(s)
+
+
G3(s)
G2(s)
+
3s

x(s) y(s)
+
+
10
+ +
+
+

2/(s+1)
2. Dla podanej transmitancji wyznaczyć odpowiedz
układu na wymuszenie skokowe, podać
zależność na transmitancję widmową, jej część rzeczywistą i urojoną, wyznaczyć wzór na moduł i
argument transmitancji widmowej. Narysować wykresy: transmitancji na płaszczyz
nie zespolonej,
charakterystykę amplitudowo-fazową oraz amplitudowo-częstościową (w skali logarytmicznej).
10 5s 1
a) b) c) d) 15 s
s 1+5s 3s+1
3. Narysować dowolny układ mechaniczny, elektryczny lub hydrauliczny, który można opisać za
pomocą elementu: proporcjonalnego, całkującego, różniczkującego, inercyjnego I rzędu. Wskazać
sygnał wejściowy i wyjściowy.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2014/2015, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 7.12.2014