EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I
Studia: dzienne/zaoczne Kierunek: . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Imie i nazwisko, nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wynik egzaminu: . . . . . . . . . . . / pkt
Nazwisko prowadzacego ćwiczenia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ocena:
Ocena z ćwiczeń: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 niepotrzebne skreślić
(-1)n
1. Niech an = dla n " . W wczas ciag (an):
n2
(a) jest/nie jest ograniczony, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) posiada/nie posiada podciagu zbieżnego do 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/pkt
2. Jeśli lim an = 2 oraz lim bn = ", przy czym an, bn > 0 dla n " , to
n" n"
"
1
n n
(a) lim an = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) lim (1 + )a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an
n" n"
"
n
n
(b) lim bn = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) lim (an)b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n" n"
(w przypadku braku jednoznacznej odpowiedzi piszemy tylko odpowiedni symbol) /pkt
"
3. Niech an = (-2)n dla n " . W wczas szereg an :
n=1
(a) jest zbieżny/rozbieżny, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) spe nia/nie spe nia warunku koniecznego zbieżności szereg w liczbowych, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /pkt
4. Kryterium Leibniza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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"
2
1
Szereg (-1)n(1 - )n jest zbieżny/rozbieżny na mocy kryterium: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , bo
n
n=1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Definicja asymptoty pionowej:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Naszkicuj wykres funkcji f : , jeśli wiadomo, że
y
4
lim f(x) = 0, lim f(x) = +",
x1- x1+
3
lim (f(x) + x) = -", lim f(x) = 0.
2
x-" x+"
1
Jakie asymptoty na pewno posiada taka funkcja?
-3 -2 -1 1 2 3 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-2
-3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/pkt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|x - 1| dla x " [0, +"),
6. Niech f(x) = W wczas funkcja f
x2 dla x " (0, 2].
(a) jest/nie jest ciagla w x0 = 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) jest/nie jest r żniczkowalna w x0 = 0, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) jest/nie jest calkowalna w przedziale [-1, 2], bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) nie posiada/posiada styczna w punkcie (1, 1) o r wnaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/pkt
7. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego r żniczkowalnej funkcji jednej zmiennej: Jeśli . . . . . . . . . . . . .
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Implikacja odwrotne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Uzasadnij, że implikacja odwrotna jest falszywa.
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8. Naszkicuj wykres funkcji f : , jeśli wiadomo, że
y
4
f (2) = 0, f (x) < 0 dla x > 2 oraz f (x) < 0 dla x " .
3
Uzupelnij:
2
(a) f posiada/nie posiada ekstremum lokalnego w punkcie
1
x0 = 2, bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-3 -2 -1 1 2 3 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-1 x
-2
(b) f posiada/nie posiada punkt przegiecia, bo . . . . . . . . .
-3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
/pkt
9. Twierdzenie o ca kowaniu przez cześci dla ca ki nieoznaczonej: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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x
Jeśli f(x) = , to funkcjami pierwotnymi funkcji f sa np funkcje:
4-x2
F1(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F2(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
x
W wczas dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  jest to calka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /pkt
4-x2
0
10. Jeśli D jest obszarem ograniczonym krzywymi:
y
2
y = ln x, y = 1, x = 1, to jego pole jest r wne:
|D| = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1 1 2 3
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
/pkt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .