PrÄ…d elektryczny
1
PrÄ…d elektryczny
Rozwa\
amy ruch ładunków tzw. nośników ładunku:
- w metalicznych przewodnikach sÄ… to poruszajÄ…ce siÄ™ swobodnie elektrony tzw.
elektrony przewodnictwa,
- w półprzewodnikach obok elektronów nośnikami są dziury (nośniki dodatnie),
- w gazach i cieczach elektrony oraz jony dodatnie (kationy) i jony ujemne
(aniony).
Bez pola elektrycznego te elektrony poruszają się chaotycznie (dzięki energii
cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach zachowujÄ…c siÄ™ tak jak czÄ…steczki
gazu zamknięte w zbiorniku. Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ
prÄ…du.
Przyło\
enie napięcia U pomiędzy końcami
przewodnika wytwarza pole E, które działa
siłą na ładunki, powodując ich ruch w
określonym kierunku w przewodniku. Ruch
chaotyczny ka\
dego elektronu zostaje
zmodyfikowany.
2
Pod wpływem przyło\
onego napięcia w przewodniku płynie prąd elektryczny.
1
NatÄ™\
enie prÄ…du elektrycznego
NatÄ™\
enie prądu elektrycznego definiujemy jako ilość ładunku jaka przepływa
przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu.
Q dQ
I =
I =
dt
t
JednostkÄ… natÄ™\
enie prÄ…du jest amper (A); 1A = 1C/s.
Gęstość prądu elektrycznego definiowana jest jako natę\
enie prÄ…du na jednostkÄ™
powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.
Gęstość prądu jest wektorem, kierunek
I
i zwrot są zgodne z wektorem prędkości
j =
ładunków dodatnich (umowa).
S
3
Rozwa\
my przewodnik o długości l i przekroju poprzecznym S, n - koncentracja
elektronów:
l
Q
vu średnia prędkość unoszenia
t =
I =
Q = nlSe
vu elektronów w zewnętrznym polu
t
elektrycznym
Q nSle
I = = = nSevu
I
l
t j = = nevu = Á vu
Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… Å‚adunku
S
vu
4
2
Przykład: W drucie z miedzi o przekroju 1 mm2 płynie prąd natę\
eniu 1A. Jaka jest vu
elektronów przewodnictwa ? Masa molowa miedzi µ = 63.8 g/mol, gÄ™stość ÁCu = 8.9
g/cm3 , NA=6.022 1023 mol-1 oraz e = 1.6·10-19 C .
I
ÁNAv elektr.
vu = n = = 8.4Å"1028
µ m3 (Cu+1) vu = 7.4·10-5 m/s = 0.074 mm/s
nSe
Dlaczego ta prędkość jest taka mała? Dla porównania: prędkość elektronu
przyspieszanego napięciem 230V na drodze 1m wynosi 9000 km/s.
odp. W przewodniku ładunki są rozpraszane opór elektryczny
Jak przy tak znikomo małej prędkości elektronów mo\
liwe jest błyskawiczne
przenoszenie sygnałów elektrycznych np. w sieci telefonicznej ??
5
Prawo Ohma
Stosunek napięcia przyło\
onego do przewodnika do natÄ™\
enia prądu przepływającego
przez ten przewodnik jest stały i nie zale\
y ani od napięcia ani od natę\
enia prÄ…du.
"V U
R = =
opór elektryczny
I I
JednostkÄ… oporu jest ohm (&!); 1&! = 1V/A.
y
ródłem oporu elektrycznego w przewodnikach jest rozpraszanie nośników ładunku
na defektach sieci i drganiach sieci (fononach).
6
3
Wyprowadzenie prawa Ohma
Elektrony poruszają się pod wpływem pola E a\

zostanÄ… rozproszone (na drganiach sieci lub jej
defektach.
Między zderzeniami przyspieszany elektron
przebywa odległość  (średnia droga swobodna)
w czasie "t.
W zderzeniu elektron  traci pamięć ruchu i
przyspieszanie zaczyna siÄ™ na nowo.
Na ka\
dy elektron działa siła F = -eE , która modyfikuje prędkość prędkością ruchu
chaotycznego (cieplnego) elektronów elektron uzyskuje prędkość unoszenia vu.

"u
"t eE eE
"t =
m = eE
"u = vu = vu =
u
"t m mu
l
U mu l
ne2SE ne2SU
R = Á
R = =
I = nSevu = =
S
I ne2 S
mu mul
StaÅ‚Ä… Á nazywamy oporem wÅ‚aÅ›ciwym (rezystywnoÅ›ciÄ…), a jej odwrotność
à = 1/Á przewodnoÅ›ciÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ…. 7
Opór właściwy w T = 300K
Materiał
(&!m)
srebro 1.6·10-8
miedz
1.7·10-8
glin 2.8·10-8
wolfram 5.3·10-8
platyna 1.1·10-7
krzem 2.5·103
szkło 1010 - 1014
l
I U El E
R = Á j = = = =
j = Ã E
S RS RS Á
S
1
w postaci wektorowej
à =
j = Ã E
(wektorowa postać prawa Ohma):
Á
8
4
Prawo Ohma jest słuszne pod warunkiem, \
e przewodnik znajduje się w stałej
temperaturze.
Opór właściwy zale\
y od czasu relaksacji (prędkości
mu m
Á = =
nośników ładunku i ich drogi swobodnej), masy
ne2 ne2"t
nośników ładunku i koncentracji ładunków.
im wy\
sza T tym
im wy\
sza T tym
w dostatecznie niskich T
więcej nośników,
większe drgania sieci,
całkowity zanik oporu
opór maleje z T
opór rośnie z T
(elektrony tworzÄ… pary
(rośnie koncentracja
(droga swobodna maleje)
nieoddziałujące z siecią)
ładunków)
9
"V U
Z prawa Ohma wnioskujemy, \
e natÄ™\
enie prÄ…du jest wprost
R = =
proporcjonalne do przyło\
onego napięcia.
I I
Jest to słuszne dla większości przewodników (przy niewielkich napięciach i natę\
eniach
prÄ…du).
Istnieją układ, które nie spełniają prawa Ohma. Są to między innymi półprzewodnikowe
elementy elektroniczne takie jak diody i tranzystory.
10
5
Praca i moc prÄ…du, straty cieplne
Elektron w zderzeniach z sieciÄ… traci
nadwy\
kÄ™ energii dW = U dq jakÄ…
uzyskał przyspieszany w polu
elektrycznym i cała ta energia jest
przekazywana do sieci, co powoduje jej
podgrzanie.
dW dq
dW = U dq = U = UI
P = UI
dt dt
2
U
2
P =
P = I R
R
Przemiana energii elektrycznej na energię cieplną, (ciepło Joule'a).
11
Obwody prądu stałego
Siła elektromotoryczna
Aby w obwodzie elektrycznym utrzymać prąd potrzebujemy z
ródła energii
elektrycznej, które  przywróci ładunkom utraconą energię.
Takimi z
ródłami są np. baterie (energia chemiczna) i generatory elektryczne (energia
mechaniczna). Nazywamy je z
ródłami siły elektromotorycznej SEM.
SiÅ‚a elektromotoryczna µ okreÅ›la energiÄ™ elektrycznÄ… dW przekazywanÄ…
jednostkowemu Å‚adunkowi dq w z
ródle SEM
dW
µ =
dq
Miarą SEM jest ró\
nica potencjałów (napięcie) na biegunach z
ródła prądu w
warunkach, kiedy przez ogniwo nie płynie prąd (ogniwo otwarte).
12
6
Prawa Kirchhoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia. Algebraiczna
suma natÄ™\
eń prądów przepływających przez punkt rozgałęzienia (węzeł) jest
równa zeru.
(zachowanie Å‚adunku)
n
n
Ii = 0 d
"
= 0
"qi
i=1
dt
i=1
Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkniętym. Algebraiczna suma
sił elektromotorycznych i spadków napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym (lub
pętli) jest równa zeru.
n m
+ Ri = 0
"µi "Ii
i=1 i=1
(zachowanie energii)
n m
dq + dq = 0
"µi "Ui
i=1 i=1
13
Opór wewnętrzny
Ka\
de rzeczywiste z
ródło napięcia Napięcie zasilania jest mniejsze od SEM
posiada opór wewnętrzny r o spadek potencjału na oporze wewnętrznym
y
ródło prądu Opór wewnętrzny
Uz = µ - Ir
akumulator kilka m&!
stabilizator sieciowy 1 - 50 m&!
Zgodnie z prawem Ohma Uz = IR
bateria typu R20 1 - 3 &!
mikrofon ok. 600 &!
µ = I (r + R)
ogniwo słoneczne 5  100 k&!
14
7
Zastosowanie praw Kirchhoffa:
Przykład 1:
1. Zakładamy jakiś kierunek prądu i jego natę\
enie
w ka\
dej gałęzi.
2. Zaznaczamy zmiany potencjału w obwodzie:
spadek napięcia pojawia się gdy "przechodzimy"
przez opornik w kierunku zgodnym z przyjętym
kierunkiem prądu, a przyrost napięcia gdy
przechodzimy przez z
ródło SEM w kierunku od "-"
do "+".
3. Stosujemy prawa Kirchhoffa dla dowolnych pętli
(oczek) i węzłów.
np. obchodzimy obwód  w lewo począwszy od
punktu a
- µ1 + ir2 + iR + ir1 + µ2 = 0
µ1 - µ2
i =
r1 + r2 + R
Je\
eli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne
natÄ™\
enie prÄ…du to znaczy, \
e rzeczywisty
kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.
15
Przykład 2:
dla zewnętrznej "du\
ej" pętli dla wewnętrznej "małej" pętli
µ1 - I3R1 = 0
µ2 - I2R2 - I3R1 = 0
µ1
µ2 - µ1 - I2R2 = 0
I3 =
R1
µ - µ1
2
I2 =
R2
I1 + I2
dla węzła P - I3 = 0
ëÅ‚ öÅ‚
µ1 µ2 -µ1 ìÅ‚ 1 1 µ2
÷Å‚
I1 = I3 - I2 = - = µ1ìÅ‚ + -
R1 R2 íÅ‚ R1 R2 ÷Å‚ R2
Å‚Å‚
16
8
A
ączenie oporników
połączenie szeregowe
połączenie równoległe
U U U
I = I1 + I2 + I3 = + + =
R1 R2 R3 U = U1 +U2 +U3 = IR1 + IR2 + IR3 =
= I (R1 + R2 + R3)
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚
= UìÅ‚ + + ÷Å‚
R1 R2 R3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
= + + R = R1 + R2 + R3
R R1 R2 R3
17
Obwód RC
Wyłącznik w pozycji a (ładowanie kondensatora)
Q
dQ
µ = U +UC
R µ = IR +
I =
C
dt
dQ Q
µ = R +
dt C
RozwiÄ…zanie:
dQ µ
I = = e-t/RC stała czasowa RC
Q(t) = Cµ (1- e-t / RC )
dt R
Wyłącznik w pozycji b (rozładowanie
kondensatora)
dQ Q
0 = R +
dt C
RozwiÄ…zanie:
dQ Q0
I = = - e-t/RC stała czasowa RC
Q(t) = Q0e-t / RC
dt RC
18
9