Tomasz Kowalski
Prognozowanie i symulacje
Wykład 5
Wygładzanie wykładnicze
Wygładzanie wykładnicze jest jedną z metod wyznaczania wartości średniej trendu oraz wahań
sezonowych występujących w szeregu czasowym. Poszczególne składniki obliczane są jako ważone
sumy wartości bieżących oraz wartości historycznych. Nazwa wykładnicze bierze się stąd, że w miarę
zwiększania się odległości w czasie między wartościami bieżącymi a historycznymi waga tych
ostatnich zmniejsza się wykładniczo.
1. Metoda Browna (proste wygładzanie wykładnicze)
W modelu Browna zakłada się, że nie występuje trend, a odchylenia wartości szeregu
czasowego od poziomu podstawowego (średniego) są spowodowane przez wahania przypadkowe.
Wygładzanie tą metodą rozpoczniemy od warunku początkowego:
k
y1 + y2 + ... + yk 1
* *
y1 == yt ( w szczególności przyjmując k = 1 mamy y1 = y1 ).
"
kk
t =1
*
Oznacza to, że jako wartość prognozy wygasłej y1 przyjmuje się średnią arytmetyczną kilku
początkowych rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej (w szczególności może to być tylko
jedna - pierwsza obserwacja).
Dalej przyjmujemy:
*
yt* =Ä… yt-1 + (1-Ä…)yt-1 , dla t = 2,3, ... ,n .
*
Prognozę wygasłą yt dla lat następnych t przedstawia się więc jako średnią ważoną wartości z
*
okresu poprzedniego: obserwacji yt -1 oraz prognozy yt-1 .
Parametr ą " 0;1 i nosi nazwę stałej wygładzania. Wartość tego parametru ustala się
[ ]
metodą prób i błędów. Za najlepszy uważa się ten parametr, przy którym występuje największa
zgodność obserwacji z wartościami teoretycznymi modelu (np. odpowiedni błąd średniokwadratowy
jest najmniejszy).
Omówimy teraz procedurę budowania prognoz punktowych w tym modelu:
1. Wprowadzamy szereg czasowy (t, yt ) dla t =1,2,...,n .
*
2. Dla ustalonego ą ( 0 < ą < 1 ) wyznaczamy prognozy wygasłe yt stosując wzory:
k
y1 + y2 + ... + yk 1
* *
y1 == yt , yt* = Ä… yt-1 + (1-Ä…)yt-1 , dla t = 2,3, ... ,n ,
"
kk
t =1
a następnie dla tak wyznaczonych n prognoz wygasłych obliczamy błąd średniokwadratowy:
n
1
MSE = yt - yt*)2 .
"(
n
t =1
3. Powyższe obliczenia wykonujemy dla kilku wartości ą , wybierając spośród nich tę, dla której
założony błąd MSE jest najmniejszy.
4. Przyjmując do dalszych obliczeń wartości wygładzone uzyskane przy optymalnym ą
wyznaczamy prognozę dla okresu T > n w oparciu o wzór:
* * * *
yT = yn + (T - n)(yn - yn-1) .
Prognozowanie i symulacje. Wykład 5
2
Przykład 1. Poniżej dany jest pewien szereg statystyczny. Wyznaczyć prognozę zmiennej
endogenicznej na następne cztery lata. Wykorzystać metodę wygładzania wykładniczego. Rozpatrzyć
przypadki ą = 0,1, 0,2 , ... , 0,9 . Jako wartość początkową wygładzoną przyjąć średnią z czterech
pierwszych obserwacji.
yt
t
Ilustracja danych:
1 230
2 260
Dane
3 210
4 250
500
5 240
6 280
400
7 250
300
Dane
8 280
200
9 400
100
10 420
0
11 360
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
12 400
13 380
Wyznaczamy najpierw wartość początkową wygładzeń:
y1 + y2 + y3 + y4 230 + 260 + 210 + 250
*
y1 == = 237,5 .
44
PrzyjmujÄ…c na poczÄ…tek Ä… = 0,1 obliczamy kolejno
**
y2 =Ä… y1 + (1-Ä…)y1 = 0,1Å" 230 + 0,9 Å" 237,5 = 236,75 ,
**
y3 = Ä… y2 + (1-Ä…)y2 = 0,1Å" 260 + 0,9Å" 236,75 = 239,075 ,
..........................................................................
Obliczenia kolejnych wartości wygładzonych i odpowiednich ich różnic zebrane są w poniższej
tabelce:
* *
yt yt yt - yt
t
1 230 237,5 -7,5
2 260 236,75 23,25
3 210 239,075 -29,075
4 250 236,1675 13,8325
5 240 237,5508 2,44925
6 280 237,7957 42,20433
7 250 242,0161 7,983892
8 280 242,8145 37,1855
9 400 246,533 153,467
10 420 261,8797 158,1203
11 360 277,6918 82,30823
12 400 285,9226 114,0774
13 380 297,3303 82,66967
*
- yt )2 = 80043,91
"(yt
Oznacza to, że w tym przypadku obliczając błąd średniokwadratowy odchyleń wartości
wygładzonych od wartości rzeczywistych obserwacji otrzymamy
n
1 80043,91
MSE = yt - yt*)2 = = 6157,224 .
"(
n 13
t =1
Prognozowanie i symulacje. Wykład 5
3
Postępując podobnie w pozostałych przypadkach stałej wygładzania otrzymamy każdorazowo
błąd średniokwadratowy. Zestawienie błędów dla poszczególnych wartości ą zostały zebrane
w tabelce:
MSE
Ä…
Z tabeli tej wynika, że najmniejsza wartość błędu
0 9744,712
odpowiada wartości ą = 0,8 . Wartość tę przyjmiemy jako
0,1 6157,224
najlepszÄ… do sporzÄ…dzenia prognoz.
0,2 4270,441
Przy tej wartości stałej wygładzania mamy
0,3 3259,747
0,4 2707,493
*
yt
t
0,5 2403,017
0,6 2239,651
... ...
0,7 2162,676
12 370,1991
0,8 2143,532
13 394,0398
0,9 2167,381
1 2227,404
Możemy zatem przystąpić do wyznaczania prognoz punktowych na kolejne cztery lata. Na
podstawie wzoru
* * * *
yT = yn + (T - n)(yn - yn-1)
mamy
* * * *
y14 = y13 + (14 -13)(y13 - y12 ) = 394,0398 + (394,0398 - 370,1991) = 417,8805
* * * *
y15 = y13 + (15 -13)(y13 - y12 ) = 394,0398 + 2(394,0398 - 370,1991) = 441,7213
* * * *
y16 = y13 + (16 -13)(y13 - y12 ) = 394,0398 + 3(394,0398 - 370,1991) = 465,562
* * * *
y17 = y13 + (14 -13)(y13 - y12 ) = 394,0398 + 4(394,0398 - 370,1991) = 489,4027
Ilustrację danych, wartości wygładzonych i prognoz w tym przypadku przedstawia rysunek:
600
500
400
Dane
300
Wart.wygł.
Prognozy
200
100
0
0 5 10 15 20
2. Metoda Holta
Metoda Holta służy do wygładzania szeregów, w których występuje trend liniowy oraz
wahania przypadkowe. Jest to model dwurównaniowy, w którym równolegle oblicza się:
" w równaniu I - wygładzone wartości szeregu w momencie (okresie) t :
Ft = Ä… yt + (1-Ä… )(Ft-1 + St-1) , dla t = 2, 3, ... , n ,
" w równaniu II  wygładzone wartości przyrostu trendu:
St = ² (Ft - Ft-1) + (1- ² )St-1 dla t = 2, 3, ... , n .
Prognozowanie i symulacje. Wykład 5
4
Parametry wygÅ‚adzania Ä… i ² powinny zawierać siÄ™ w przedziale 0;1 .
[ ]
Do budowy tego modelu potrzebne są wartości początkowe F1 oraz S1 . Propozycje dla tych
wartości podane są w tabelce:
Propozycja
F1 S1
1 0
y1
2
y1 y2 - y1
3 wyraz wolny liniowej funkcji trendu współczynnik kierunkowy
oszacowanej na podstawie kilku pierwszych oszacowanej liniowej funkcji
obserwacji trendu
Procedurę budowania prognoz punktowych w tym modelu przedstawia się następująco:
1. Wprowadzamy szereg czasowy (t, yt ) dla t =1,2,...,n .
2. Dla ustalonych Ä… i ² (z przedziaÅ‚u 0;1 ) wyznaczamy wielkoÅ›ci Ft oraz St , przyjmujÄ…c jako
[ ]
początkowe wartości np. F1 = y1, S1 = y2 - y1 .
I dalej Ft = Ä… yt + (1-Ä… )(Ft-1 + St-1) , St = ² (Ft - Ft-1) + (1- ² )St-1 dla t = 2, 3, ... , n .
*
3. Wyznaczamy prognozy wygasłe yt stosując wzory:
*
yt = Ft-1 + St-1 , dla t = 2,3, ... ,n ,
a następnie dla tak wyznaczonych n -1 prognoz wygasłych obliczamy błąd średniokwadratowy:
n
1
MSE =- yt*)2 .
"(yt
n -1
t =2
Powyższe obliczenia wykonujemy dla kilku wartoÅ›ci Ä… i ² wybierajÄ…c spoÅ›ród nich te, dla
których założony błąd MSE jest najmniejszy.
4. PrzyjmujÄ…c do dalszych obliczeÅ„ wartoÅ›ci wygÅ‚adzone uzyskane przy optymalnych Ä… i ²
wyznaczamy prognozę dla okresu T > n w oparciu o wzór:
*
yT = Fn + (T - n)Sn .
Przykład. Dokonać wygładzenia szeregu metodą wyrównania wykładniczego Holta. Jako wartości
początkowe dla Ft oraz St przyjąć F1 = y1 oraz S1 = y2 - y1 , jako parametry wygładzania ą = 0,5 i
² = 0,7 . Wyznaczyć prognozy na kolejne 2 lata
t
yt
1 12,2
2 13,3
3 12,9
4 14,2
5 14,8
6 16,4
7 16,3
8 17,5
9 18,3
10 20,1
11 22,4
12 23,1
Prognozowanie i symulacje. Wykład 5
5
RozwiÄ…zanie. Mamy tutaj F1 = y1 = 12,2, S1 = y2 - y1 =13,3 -12,2 = 1,1 .
I dalej na podstawie wzorów:
Ft = Ä… yt + (1-Ä… )(Ft-1 + St-1) , St = ² (Ft - Ft-1) + (1- ² )St-1
F2 = Ä… y2 + (1-Ä… )(F1 + S1) = 0,5Å"13,3 + 0,5Å" (12,2 +1,1) = 13,3 ,
S2 = ² (F2 - F1) + (1- ² )S1 = 0,7 Å" (13,3 -12,2) + 0,3Å"1,1 =1,1 ,
F3 = Ä… y3 + (1-Ä… )(F2 + S2) = 0,5Å"12,9 + 0,5Å" (13,3 +1,1) = 13,65 ,
S3 = ² (F3 - F2 ) + (1- ² )S2 = 0,7 Å" (13,65 -13,3) + 0,3Å"1,1 = 0,575 ,
...............................................................................................
*
W poniższej tabeli zebrane zostały wyniki wszystkich obliczeń wielkości Ft , St oraz yt = Ft-1 + St-1 :
*
t
yt Ft St
yt
1 12,2 12,2 1,1 ------
2 13,3 13,3 1,1 13,3
3 12,9 13,65 0,575 14,4
4 14,2 14,2125 0,56625 14,225
5 14,8 14,78938 0,573688 14,77875
6 16,4 15,88153 0,936616 15,36306
7 16,3 16,55907 0,755264 16,81815
8 17,5 17,40717 0,820246 17,31434
9 18,3 18,26371 0,845651 18,22741
10 20,1 19,60468 1,192375 19,10936
11 22,4 21,59853 1,753406 20,79705
12 23,1 23,22597 1,66523 23,35193
W tabeli kolorem czerwonym wyróżniono wielkości F12 oraz S12 , gdyż tylko one uczestniczyć będą
w wyznaczaniu prognoz na następne lata.
Stosując wzór
*
yT = Fn + (T - n)Sn
najpierw dla T =13 , potem dla T =14 otrzymamy
*
y13 = F12 + (13 -12)S12 = 23,22597 +1,66523 = 24,8912 ,
*
y14 = F12 + (14 -12)S12 = 23,22597 + 2Å"1,66523 = 26,55643.
Ilustracja geometryczna:
30
25
20
Dane
Wart.wygł.
15
Prognoza
10
5
0
05 10 15