Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń
odwzorowań kartograficznych c.d.
ekstremalne skale zniekształceń długości
elementarna skala zniekształceń pól
zniekształcenia kątów i ekstremalne
zniekształcenia kątów
pojęcie zbie\
ności południków
Ekstremalne skale długości
Kwadrat elementarnej skali zniekształceń długości ma postać
2 2
µ = P cos2 A + Q sin 2A + R sin A
E' F' G'
gdzie
P = , Q = , R =
E G
EG
Wyznaczamy pochodnÄ…
2
dµ
= -2P cos Asin A + 2Q cos 2A + 2R sin Acos A
dA
przyrównujemy do zera i podstawiamy za A, Ae
- Psin 2Ae + 2Q cos 2Ae + R sin 2Ae = 0
Stąd wyznaczamy kierunek ekstremalnych zniekształceń
2Q
tan 2Ae =
P - R
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Ekstremalne skale długości
Mając dany kierunek ekstremalnych zniekształceń mo\
emy wyznaczyć
ekstremalne skale długości
r r r r
m = µ(Ae ) = µ1 cos Ae + µ2 sin Ae
r r Ä„ r r
öÅ‚
n = µëÅ‚ Ae + = -µ1 sin Ae + µ2 cos Ae
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
m2 = P cos2 Ae + Qsin 2Ae + Rsin2 Ae
n2 = Psin2 Ae - Qsin 2Ae + R cos2 Ae
Mając dane skale ekstremalne wzór na skalę w dowolnym kierunku
mo\
na zapisać w postaci
r r r
µ = m cos ² + n cos ²
gdzie
² = A - Ae
I i II twierdzenie Appoloniusza
r r
µ1, µ2
Skale są półśrednicami sprzę\
onymi w elipsie zniekształceń
poniewa\
spełniają dwa twierdzenia Appoloniusza
I twierdzenie Appoloniusza
µ12 + µ2 2 = m2 + n2
suma kwadratów półśrednic sprzę\
onych elipsy jest równa sumie
kwadratów półosi
Sprawdzenie:
Mamy dane wzory
m2 = P cos2 Ae + Qsin 2Ae + Rsin2 Ae
n2 = Psin2 Ae - Qsin 2Ae + R cos2 Ae
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
I i II twierdzenie Appoloniusza
sumujÄ…c stronami i porzÄ…dkujÄ…c mamy
m2 + n2 = P(sin2 Ae + cos2 Ae)+ Qsin 2Ae - Qsin 2Ae
+ R(sin2 Ae + cos2 Ae)= P + R = µ12 + µ22
II twierdzenie Appoloniusza
r r r r
µ1µ2 sinŃ = µ1 × µ2 = m× n = mn
pole równoległoboku, zbudowanego na półśrednicach sprzę\
onych
elipsy, jest równe polu prostokąta, zbudowanego na osiach elipsy
I i II twierdzenie Appoloniusza
Sprawdzenie:
Mamy dane wzory
r r r r
m = µ(Ae ) = µ1 cos Ae + µ2 sin Ae
r r Ä„ r r
öÅ‚
n = µëÅ‚ Ae + = -µ1 sin Ae + µ2 cos Ae
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Obliczamy moduł iloczynu wektrowego
r r r r r r
m × n = (µ1 cos Ae + µ2 sin Ae)×(- µ1sin Ae + µ2 cos Ae) =
r r r r
= (µ1 cos Ae)×(µ2 cos Ae)+ (µ2 sin Ae)×(- µ1sin Ae) =
r r r r r r
= µ1 × µ2 cos2 Ae + µ1 × µ2 sin2 Ae = µ1 × µ2
( ) ( )
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Konstrukcja elipsy w oparciu o półśrednice
sprzÄ™\
one
Zale\
ność pomiędzy skalami ekstremalnymi
a półśrednicami sprzę\
onymi elipsy
zniekształceń odwzorowawczych
Z I twierdzenia Appoloniusza mamy
m2 + n2 = µ12 + µ22 = P + R
Z II twierdzenia Appoloniusza mamy
mn = µ1µ2 sinŃ = µ12µ22 sin2Ń = µ12µ22(1- cos2Ń) =
= µ12µ22 - µ12µ22 cos2Ń = PR - Q2 = p
Podnosząc do kwadratu sumę i ró\
nicÄ™ skal ekstremalnych, oraz
uwzględniając powy\
sze rozwa\
ania otrzymujemy
(m + n)2 = m2 + 2mn + n2 = P + R + 2 p
(m - n)2 = m2 - 2mn + n2 = P + R - 2 p
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Zale\
ność pomiędzy skalami ekstremalnymi
a półśrednicami sprzę\
onymi elipsy
zniekształceń odwzorowawczych
Stąd wyznaczamy sumę i ró\
nicÄ™ skal ekstremalnych
m + n = P + R + 2 p = A
m - n = P + R - 2 p = B
dodajÄ…c lub odejmujÄ…c stronami powy\
sze równania otrzymujemy
1
1
n = (A - B)
m = (A + B)
2
2
Elementarna skala zniekształceń pól
r r
Elementarne pole na powierzchni opisanej równaniem r = r(u,v)
mo\
na przedstawić następująco
r r r r
dP = rudu × rvdv = ru × rv dudv
dP = EG - F2 dudv = Hdudv
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Elementarna skala zniekształceń pól
Elementarna skala zniekształceń pól jest to stosunek
odpowiadających sobie elementarnych pól na powierzchni obrazu i na
powierzchni oryginału
dP'
p =
dP
gdzie:
dP  elementarne pole na powierzchni oryginału
dP  elementarne pole na powierzchni obrazu
PodstawiajÄ…c wzory na elementarne Å‚uki otrzymujemy
dP' E'G'-F'2 H '
p = = =
2
dP H
EG - F
Je\
eli w danym odwzorowaniu kartograficznym wyznaczymy
elementarne skale zniekształceń długości m, n w kierunkach głównych
wówczas
p = mn
Zniekształcenia kątów
Zniekształceniem dowolnego kąta A nazywamy ró\
nicę pomiędzy
odpowiadajÄ…cymi sobie kÄ…tami na powierzchni obrazu i powierzchni
oryginału
É = A'-A
A - kąt pomiędzy krzywymi na powierzchni oryginału
A  kąt pomiędzy obrazami tych krzywych na powierzchni obrazu
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Zale\
ność pomiędzy kątem kierunkowym A
na powierzchni oryginału a jego obrazem A
w odwzorowaniu kartograficznym
Tangens kÄ…ta kierunkowego A mo\
na obliczyć na podstawie kąta A
ze wzoru:
r r r r r
µ1 o µ µ1 o (µ1 cos A + µ2 sin A)
cot A'= = =
r r r r r
µ1 × µ sgn(sin A) µ1 ×(µ1 cos A + µ2 sin A) sgn(sin A)
r r r
µ1 2 cos A + µ1 o µ2 sin A
P cos A + Qsin A
= =
r r
µ1 × µ2 sin A sgn(sin A) psin A
StÄ…d ostatecznie mamy
P Q
cot A'= cot A +
p p
Zale\
ność pomiędzy kątem kierunkowym
² =A-Ae a jego obrazem ²
Tangens kÄ…ta kierunkowego ² mo\
na obliczyć ze wzoru:
r r r r r
m o µ m o (mcos ² + n sin ²)
cot ² '= = =
r r r r r
m × µ sgn(sin ² ) m ×(mcos ² + n sin ² )sgn(sin ² )
r r r
2
m cos ² + m o n sin ²
m2 cos ² m
= = = cot ²
r r
m × n sin ² sgn(sin ² ) mnsin ² n
StÄ…d ostatecznie mamy
m
cot ² '= cot ²
n
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Ekstremalne zniekształcenia dowolnego
kÄ…ta Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Dowolny kÄ…t Å‚ mo\
emy zdefiniować jako ró\
nicę dwóch kierunków
²1 oraz ²2
Å‚ = ²2 - ²1
Kąt ł będący obrazem kąta ł mo\
na zapisać w postaci
Å‚ '= ²2 '-²1'
Zniekształcenie kąta ł z definicji
ÉÅ‚ = Å‚ '-Å‚
W zwiÄ…zku z tym mo\
na napisać, \
e
ÉÅ‚ = Å‚ '-Å‚ = (²2 '-²1')- (²2 - ²1) = (²2 '-²2 )- (²1'-²1) = É - É
²2 ²1
Na podstawie powy\
szego wzoru mo\
na oszacować
ÉÅ‚ d" 2 max É
²
Ekstremalne zniekształcenia dowolnego
kÄ…ta Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Ekstremalne znieksztaÅ‚cenia kÄ…ta kierunkowego ²
²=A-Ae
²
²
ZnieksztaÅ‚cenie kierunku ² jest z definicji równe
É = ² '-²
²
Wyznaczamy tangens ɲ
tan ² '- tan ²
tanɲ = tan(² '-² ) =
1+ tan ² 'tan ²
uwzględniając
m
cot ² '= cot ²
n
otrzymujemy
n 1
tan ² - tan ² tan ²(n - m)
n - m
m m
tanɲ = = =
n
n m cot ² + n tan ²
ëÅ‚cot ² + tan ² öÅ‚
1+ tan ² tan ²
tan ²
ìÅ‚ ÷Å‚
m
m
íÅ‚ Å‚Å‚
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Ekstremalne zniekształcenia dowolnego
kÄ…ta Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Funkcja powy\
sza osiąga ekstremum wówczas, gdy mianownik osiąga
ekstremum, wyznaczamy więc ekstremum następującej funkcji
¨(² ) = mcot ² + n tan ²
W tym celu liczymy pochodnÄ…
d¨ m n
= - +
2
d²
sin ² cos2 ²
i przyrównujemy do zera podstawiajÄ…c za ², ²m
m n
- + = 0
sin2 ²m cos2 ²m
Ekstremalne zniekształcenia dowolnego
kÄ…ta Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Stąd otrzymujemy kierunek najbardziej ulegający zniekształceniu
m
tan ²m =
n
Ostatecznie wzór na ekstremalne znieksztaÅ‚cenie kÄ…ta kierunkowego ²
ma postać
n - m
tanÉ =
²
m
2 mn
Poniewa\

maxɲ = ɲm
stąd zniekształcenie dowolnego kąta ł
zawiera siÄ™ w przedziale
- 2ɲm d" ÉÅ‚ d" 2ɲm
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Kąt między liniami parametrycznymi na
powierzchni oryginału
i na powierzchni obrazu w odwzorowaniu
kartograficznym
Równanie parametryczne powierzchni oryginału ma postać:
r r
r = r(u,v)
KÄ…t ¸ pomiÄ™dzy liniami parametrycznymi mo\
na wyznaczyć w
następujący sposób
r r
ru o rv
F F
cot¸ = = =
r r
2
ru × rv H
EG - F
Kąt między liniami parametrycznymi na
powierzchni oryginału
i na powierzchni obrazu w odwzorowaniu
kartograficznym
Równanie parametryczne powierzchni obrazu ma postać:
r r
r '= r '(u,v)
KÄ…t ¸ pomiÄ™dzy liniami parametrycznymi mo\
na wyznaczyć w
następujący sposób
r r
r 'u or 'v
F' F'
cot¸ '= = =
r r
r 'u ×r 'v
E'G'-F'2 H '
Wykład 5. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań
kartograficznych c.d.
Zbie\
ność południków w odwzorowaniach
kartograficznych
W odwzorowaniu kartograficznym określonym równaniem
r
r '= [x = x(u,v), y = y(u,v)]
zbie\
ność południków mo\
na
określić za pomocą wzoru
"y "x
tanł = :
"u "u