w2b ropr c


130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa
1. Rozkład normalny
Zmienna losowa X ma rozkład normalny jeżeli funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci
2

x - m
( )
1 1

f x = exp- ,dla x R,m R,s > 0
( )
ż
2
2 s
s 2p


2 2 2 2
t s
t s
j t = expitm - , M (t) = exp +
( )
ż tm ż
X
2 2

2
E X = m Var X = s ,
( ) ( )
g = 0.
1
Jeżeli
X = X1 + X2 +...+ X , Xi ~ N mi ,si2 , X niezależne zmienne losowe, to
( )
n i
n n
ć
2
X ~ N ,

m s
i i
Ł ł
i=1 i=1
2. Rozkład logarytmiczno-normalny
Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny jeżeli funkcja
gęstości prawdopodobieństwa jest postaci
2

1 1 (ln(x) - m)

f (x)= exp- , dla x>0
ż
2
2
s
sx 2p

1

2
2 2
( )
E X = exp m + s
Var X = exp 2m + s s - 1
ż ( )
{ } ( )
[exp ].
2

1

k 2 2
E(X ) = exp km + k s
ż
2

Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny zmienna
2
losowa Y = ln X ma rozkład normalny Y ~ N m,s .
( )
3. Rozkład Pareto
Zmienna losowa X ma rozkład Pareto, jeżeli funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci
a ć b a +1

, dla x ł b

f (x) =
Ł ł
b x
0 , dla x < b

20
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
a

1 - ć b , dla x ł b

( )
F x =
Ł ł
x
0 , dla x < b

2
2
ab ab ab
ć
k
( )
E X = , dla a > 1 Var(X) = - , dla a > 2 , E(X )= Ą, dla a Ł k .

Ł ł
a - 1 a - 2 a - 1
4. Rozkład gamma
Zmienna losowa X ma rozkład gamma jeżeli funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci

1
x
xg -1 exp- dla x > 0
ż,
f (x) = , dla m > 0,g > 0
m
mg G g
( )


0, dla x Ł 0

Ą
g -1
G g = t e-t dt , G(n + 1) = nG(n) = n!
( )

0
g
g
ć
1
ć 1
( )
,
j t = M (t) =
X
1- mt
Ł1 - imt ł
Ł ł
( ) ( )
E X = gm , Var X = gm2 ,
2
g = .
1
g
Jeżeli
ć
1
X = X1 + X2 +...+ X , Xi ~ G g , , X niezależne zmienne losowe, to

n i
Ł mł
ć
1
X ~ Gng , .
Ł mł
5. Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy jeżeli funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci

1
x

exp - , dla x > 0
ż
( )
f x = ,dla m > 0.
m
m


0, dla x Ł 0



x

1 - exp - , dla x > 0
ż
( )
F x =
m


0, dla x Ł 0

1
1
( )
j t = , M (t) =
X
1 - imt
1- mt
( ) ( )
E X = m , Var X = m2 ,
21
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
g = 2.
1
x
x Ą
ć -
m

E(X ; x)= (t)dt + xf (t)dt = m1- e ,
tf

0 x
Ł ł
x
Ą
-
+
m
E[(X - x) ]= - x)f (t)dt = E(X )- E(X; x) = me
(t
x
Jeżeli
ć ć
1 1
X = X1 + X2 +...+ X , Xi ~ W , X niezależne zmienne losowe, to X ~ Gn, .

n i
Ł mł Ł mł
6. Rozkład beta
Zmienna losowa X ma rozkład beta jeżeli funkcja gęstości
prawdopodobieństwa jest postaci

G a + b
( )
b -1
( )
xa -1 1 - x , dla x 0,1
[ ],dla a > 0,b > 0
f (x) =

G(a)G b
( )

0, dla x 0,1
[ ]

a ab
( )
E X = , Var( X) = .
2
a + b
a + b a + b + 1
( ) ( )
Jeżeli a = b = 1, to X ma rozkład J(0,1).
Związek między rozkładami Poissona, gamma i ujemnym dwumianowym.
( )
Liczba roszczeń na jedną polisę opisuje rozkład Poissona P l . Parametr
l określający przeciętną liczbę roszczeń może być zróżnicowany ze względu na
właścicieli polis. Zróżnicowanie opisane jest rozkładem gamma. Zakładamy, że
L ~ G(a, b) o gęstości
a
b
1

la -1 exp - bl , dla l > 0
{ }
g(l) = , dla m = > 0,g = a > 0 .

G(a)
b

0, dla l Ł 0

Rozkład liczby szkód jest więc rozkładem warunkowym przy L = l mamy
lk
Pr(K = k|L = l) = e-l dla k = 0,1,... oraz l > 0. Bezwarunkowy rozkład
k !
zmiennej K otrzymamy z łącznego rozkładu (K, L) wyznaczając rozkład
( )
brzegowy zmiennej K. Oznaczmy łączny rozkład p(k,l) = Pr(K = k|L = l) g l
czyli
Ą Ą
( ) ( )
Pr K = k = p(k,l)dl = Pr K = k|L = l g l dl =
( )

0 0
22
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Ą
lk ba ba Ą ba G(k + a)
= e-l la -1e-bldl = lk +a -1e-(b +1)ldl = =
k +a
( ) ( ) ( )
k ! G a k !G a k !G a
1 + b
( )
0 0
k a
ć ć
ba G(k +a) (k +a -1)! 1 b
Pr(K = k) = =
k +a 1+ 1+ b
k!G(a) b k!(a -1)! b
Ł ł Ł ł
k +a -1
ć
a
Pr(K = k) = qk(1- q)
, dla k = 0,1,... , q 0,1 ,

k
Ł ł
gdzie
ć ć
1 b
q = (1-
.
1+ b , q) =
1+ b
Ł ł Ł ł
Skoro estymator parametrów rozkładu ujemnego dwumianowego uzyskany
metodą momentów jest postaci
X
2
X
2
X
X
S
Ć
q = 1- Ć , to estymator parametrów rozkładu gamma
, =
a =
S2
X S2 - X
1-
S2
2
Ć
X 1- q X
Ć
Ć
uzyskany metodą momentów jest postaci a = , b = = .
Ć
q
S2 - X S2 - X
Ten sam rezultat dostaniemy stosując metodę momentów wykorzystując
bezpośrednio warunki
ć ć
1 1
a a

Ł1 + b ł Ł1 + b ł a(1 + b)
a
( )
E(K) = = =
, Var K = .
2 2
b b
ć
b
ć
b


Ł1 + b ł
Ł1 + b ł
7. Rozkłady skokowo-ciągłe
Przykład
Wysokość szkody jest zmienną losową postaci , gdzie zmienna K
określa możliwość zajścia wypadku, natomiast zmienna B wysokość roszczenia
gdy dojdzie do wypadku.
K=0, gdy interesujące nas zdarzenie nie nastąpi oraz K=1, gdy
interesujące nas zdarzenie nastąpi. Rozkład zmiennej B określony jest funkcją
23
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej
X.
24


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
w2b Toksykokinetyka biotransformacja trucizn 11 druk
w2a ropr d
w2b Toksykokinetyka biotransformacja trucizn

więcej podobnych podstron