130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Skokowe rozkłady prawdopodobieństwa
1. Rozkład zero - jedynkowy
Rozkład zero-jedynkowy opisuje możliwość wystąpienia wypadku
ubezpieczeniowego, powstania roszczenia lub wypłaty odszkodowania.
Określmy zmienną losową K przyjmując, że K=0, gdy interesujące nas
zdarzenie nie nastąpi oraz K=1, gdy interesujące nas zdarzenie nastąpi. Niech
ponadto
p- oznacza prawdopodobieństwo tego, że nie nastąpi wypadek
ubezpieczeniowy (nie powstanie roszczenie lub nie nastąpi wypłata
odszkodowania) w ciągu ustalonego okresu czasu np. roku.
q=1-p - oznacza prawdopodobieństwo tego, że nastąpi wypadek
ubezpieczeniowy (powstanie roszczenie lub nastąpi wypłata odszkodowania) w
ciągu ustalonego okresu czasu np. roku.
q gdy K =� 1
��
(� )�
Pr K =� k =� dla q �� 0,1 .
��p gdy K =� 0
��
(� )�
j� t =� 1+� q(�eit -� 1)�, MK (�t)�=�1+� q(�et -�1)�
(� )� (� )�
E K =� q, Var K =� q(�1 -� q)�.
2. Rozkład dwumianowy
Rozpatrzmy n homogenicznych pod względem narażenia na określone
ryzyko straty obiektów. Załóżmy, że możliwość wystąpienia straty opisana jest
przy pomocy rozkładu zero- jedynkowego. Przyjmijmy ponadto, że możliwość
wystąpienia straty w jednym obiekcie nie zależy od możliwości wystąpienia
straty w innym obiekcie. Wówczas liczbę wypadków (strat) dla całego portfela
obiektów określa zmienna losowa K równa sumie n zmiennych losowych zero-
jedynkowych. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej K jest
postaci.
n
ć� ��
n-�k
k
(� )�
qk =� Pr K =� k =� q (�1-� q)� , dla k =� 0,1,..., n , q �� 0,1 .
�� ��
k
Ł� ł�
n
n
j�(�t)� =� 1 +� q eit -� 1 , MK (�t)�=�[�1+� q(�et -�1)�]�
(� )�
[� ]�
(� )�
E K =� nq, Var(�K)� =� nq 1 -� q ,
(� )�
nq 1 -� q
(� )�
1 -� q
VK =� =� , ,.
nq nq
Estymator uzyskany metodą momentów
$�
q =� X .
19
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
n2
Zwiększenie liczby obiektów z n1 do n2 , (gdzie n1 >� n2) czyli razy
n1
prowadzi do spadku ryzyka mierzonego przy pomocy współczynnika
n1
zmienności losowej razy.
n2
Jeżeli
X =� X1 +� X2 +�...+� Xn, Xi ~ D q, ni , X niezależne zmienne losowe, to
(� )�
i
n
ć�
X ~ D q, .
�� ��
��n ��
i
Ł� ł�
i=�1
3. Rozkład Poissona
Jeżeli liczba obiektów n jest duża, a prawdopodobieństwo q tego, że
nastąpi wypadek ubezpieczeniowy (powstanie roszczenie lub nastąpi wypłata
odszkodowania) w ciągu ustalonego okresu czasu jest małe, to liczbę wypadków
(zdarzeń) w rozkładzie dwumianowym można opisać przy pomocy rozkładu
granicznego.
Gdy n �� Ą� i q �� 0 tak, że nq =� l� >� 0, to
l�k
qk �� Pr(�K =� k)� =� e-�l� dla k =� 0,1,... .
k !
Zmienna losowa K ma rozkład Poissona jeżeli funkcja rozkładu
prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej jest postaci:
l�k
Pr(�K =� k)� =� e-�l� dla k =� 0,1,... oraz l� >� 0 .
k !
it
(�ett
j�(�t)� =� el�(�e -�1)� , MK (�t)�=� el� -�1)�
(� )� (� )�
E K =� l�, Var K =� l� ,
l� 1
VK =� =� , , .
l� l�
Estymator uzyskany metodą momentów
$�
l� =� X .
Jeżeli
n
ć� ��
X =� X1 +� X2 +�...+� Xn, Xi ~ P l�i , X niezależne zmienne losowe, to X ~ P
(� )� �� ��
��l�
i i
Ł� ł�
i=�1
4. Rozkład ujemny dwumianowy
Zmienna losowa K ma rozkład ujemny dwumianowy jeżeli funkcja
rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej jest postaci:
a� +� k -�1
ć� ��
a�
Pr(�K =� k)� =� �� ��qk(�1-� q)� , dla k =� 0,1,... , q �� 0,1 .
�� ��
k
Ł� ł�
20
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
a� a�
ć� �� ć� ��
1-� q 1-� q
j�(�t)� =� �� �� ,
M (�t)�=� �� ��
K
��1-� qeit �� ��1-� qet ��
Ł� ł� Ł� ł�
a�q a�q
E(�K)� =� , Var(�K)� =� ,
2
1-� q
(�1-� q)�
1
VK =�=� , , .
a�q
Estymator uzyskany metodą momentów
X
2
X
X
S2 =� X
Ć Ć
q =� 1-� , a� =� .
S2
X S2 -� X
1-�
S2
Jeżeli
X =� X1 +� X2 +�...+� Xn, Xi ~ UD(�q,a�i)�, X niezależne zmienne losowe, to
i
n
ć�
X ~ UD��q, ��
��a� ��
i
Ł� i=�1 ł�
Dla a� =� 1, K ma rozkład geometryczny
dla k =� 0,1,....
Pr(�K =� k)� =� qk(�1-� q)�
4. Rozkład logarytmiczny
Zmienna losowa K ma rozkład logarytmiczny jeżeli funkcja rozkładu
prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej jest postaci:
k
1 q
Pr K =� k =� , dla k =� 1,2,....
(� )�
-� ln 1 -� q k
(� )�
, ,
Związek między rozkładami Poissona, logarytmicznym i ujemnym
dwumianowym
Niech , gdzie , , wówczas
.
Przy założeniu, że X są niezależne i mają identyczne rozkłady dostajemy
.
21
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak  matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania -
konspekt
Można pokazać, że , co oznacza, że
5. Klasa rozkładów (a,b,0)
Zmienna losowa K ma rozkład należący do klasy (a,b,0) jeżeli istnieją takie stałe a, b, że
zachodzi
dla k=1,2,& .
Przykłady
&
6. Klasa rozkładów (a,b,1)
Zmienna losowa K ma rozkład należący do klasy (a,b,1) jeżeli istnieją takie stałe a, b, że
zachodzi
dla k=2,3,& .
Zmienne losowe K o rozkładach należących do klasy (a,b,1) przyjmują wartości k=1,2,3& .
Mogą one być traktowane jako przekształcone lub ucięte zmienne należące do klasy
(a,b,0). Przekształcenie może np. polegać na przyjęciu, że , gdzie jest
ustaloną liczbą z przedziału . Ucięcie rozkładów w punkcie 0 sprowadza się do
przyjęcia, że . W obu przypadkach mamy, że dla
k=1,2,3,& . , co oznacza, że oba przekształcenia nie wpływają na parametry a, b
występujących w powyższych wzorach rekurencyjnych.
Przykłady
&
22