STATYSTYKA
Wykład 11.
Temat: (dokończenie poprzedniego wykładu)
Statystyka Gosseta (lub rozkład t-Studenta)
- u\
yteczna przy badaniu małych prób:
- rozkład ten przy próbach dla N>120 praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym;
- w przypadku rozkładu studenta przedział ufności zale\
y nie tylko od, Ä… lecz tak\
e od
liczebności próby;
- największe ró\
nice między rozkładami są przy liczebności N = 2
Dla rozkładu t-Studenta do obliczenia granic przedziału ufności wykorzystujemy następujący
wzór:
_ S _ S
x - tÄ…: df%%% < µ < x + tÄ…: df%%%
"N-1 "N-1
df = N-1  liczba stopni swobody, to liczba niezale\
nych zmian wartości zmiennej, która nie
powoduje zmiany wartości wszystkich wyników;
np.
3, 5, 7
N = 3 df = 2 (dwie liczby z trzech mo\
na zmieniać, nie wpływając na średnią)
_
x = 5
- przykładowe kombinacje przy zachowaniu tych samych parametrów (liczebności oraz
średniej): 8, 7, 6; 1, 18, -4;
Przykład 1.
W ośmioosobowej, losowo wybranej grupie, zmierzono czas rozwiązywania zadania:
N = 8
_
x = 17 min
s = 5 min
Oszacuj średni czas niezbędny do rozwiązania tego zadania dla całej populacji, przy 1  ą =
0,90.
tÄ…: df  nale\
y odczytać z tabeli = 1,89
_ S 5
g1 = x - tÄ…: df%%% = 17  1,89%% = 13,43
"N-1 "7
_ S 5
g1 = x - tÄ…: df%%% = 17 + 1,89%% = 20,57
"N-1 "7
Średni czas rozwiązywania zadania w całej populacji, przy przedziale ufności równym 0,90
mieści się w przedziale (13,43; 20,57).
Temat: Testowanie hipotez.
hipoteza statystyczna  ka\
dy sąd dotyczący populacji generalnej sformułowany bez
przeprowadzenia badania wyczerpującego. np.  Średni wynik uzyskany z badania, jest równy
średniej dla całej populacji .
Hipotezy (H0) zakładają, \
e nie ma ró\
nicy między wynikami badań a rzeczywistością.
H1  hipoteza alternatywna, przeciwstawna do H0
np.
H0:
_
x = µ
H1:
_
x `" µ  hipotezÄ™ tak sformuÅ‚owanÄ… nazywa siÄ™ czÄ™sto hipotezÄ… dwustronnÄ… (symetrycznÄ…)
poniewa\
nie rozstrzyga ona czy:
_
x > µ czy
_
x < µ
- dwie powy\
sze hipotezy to hipotezy jednostronne;
- hipotezy zerowe testuje się za pomocą testów statystycznych.
test statystyczny  to reguła postępowania która ka\
dej próbie losowej przyporządkowuje
decyzję o dorzuceniu lub przyjęciu hipotezy zerowej.
- przyjmujÄ…c lub odrzucajÄ…c H0 mo\
na popełnić dwa rodzaje błędu:
1. ą  prawdopodobieństwo popełnienia błędu odrzucenia hipotezy zerowej, będącej w
rzeczywistości hipotezą prawdziwą. Ten błąd przyjmujemy sobie sami.
2. ²  przyjmujemy hipotezÄ™ zerowÄ… bÄ™dÄ…cÄ… w rzeczywistoÅ›ci faÅ‚szywÄ…. Ten rodzaj bÅ‚Ä™du
mo\
e stworzyć większe problemy ni\
błąd ą, dlatego w statystyce przyjmuje się jedynie błąd
Ä….
- testy hipotez dobiera siÄ™ w zale\
ności od parametrów próby;
- ka\
dy test przebiega tymi samymi etapami:
(M)  opis modelu populacji
(P)  opis próby
(H)  formułowanie hipotez
(T)  weryfikacja  zastosowanie testu
- test ma postać wzoru, do którego podstawia się parametry populacji  otrzymujemy wtedy
wartość  t ;
(FWS)  formułowanie wniosku statystycznego. Tutaj dodatkowo nale\
y znalez
ć wartość
statystycznÄ… tÄ….
Czym jest wartość tą?
tą  wartość oddzielająca przedział ufności od przedziału błędu.
np. dla Ä… = 0,10
(obszar
niezakreskowany) =
0,90 (90%
powierzchni)
(obszar
zakreskowany) = 0,05
(5% powierzchni) po
ka\
dej stronie; w
sumie 0,10 (10%
powierzchni) po obu
stronach;
-1 0, µ 1 Z
-1,64 1,64
- ostatecznie w teście wartość tą porównuje się z wartością t;
I tak:
1) t e" tÄ…  odrzucamy hipotezÄ™ zerowÄ…;
2) t < tÄ…  brak podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej;
Hipotezy jednostronne testuje się na tej samej zasadzie, inny jest jednak przedział ufności:
(obszar
niezakreskowany) =
0,90 (90%
powierzchni)
(obszar
zakreskowany) =
0,10 (10%
powierzchni)
-1 0, µ 1 Z
1,28