GRZEGORZ CIEPLOK"
AMPLITUDA DRGAC
SYMETRYCZNIE POSADOWIONEJ
MASZYNY WIBRACYJNEJ
PODCZAS REZONANSU PRZEJŚCIOWEGO
VIBRATION AMPLITUDE OF A SYMMETRICALLY
SUSPENDED VIBRATORY MACHINE DURING
TRANSIENT RESONANCE
St r e s zczeni e
W niniejszym artykule poddano analizie symetrycznie posadowioną maszynę wibracyjną pod
kątem wyznaczenia amplitudy drgań korpusu w stanach rezonansu przejściowego. Sformułowano
równania ruchu maszyny w jednostkach względnych dla przypadku, w którym korpus wykonuje
ruch postępowy i na ich podstawie wyznaczono mapy warstwicowe do określenia amplitudy
rezonansowej dla fazy rozruchu wibratora oraz nomogram w celu określenia amplitudy drgań
rezonansowych dla fazy wybiegu wibratora. Wskazano na możliwość adaptacji wyników do ma-
szyny o prostoliniowej trajektorii ruchu korpusu.
Słowa kluczowe: rezonans przejściowy, napęd maszyny wibracyjnej, rozruch, wybieg
Abs t r act
Symmetrically suspended vibratory machine was analysed in the paper in order to determine the
frame vibrations amplitude in the transient resonance state. The equations of machine motion in
relative units were formulated for the case, in which the machine frame performs translatory
motion. On the bases of these equations the contour graphs for the determination of the resonance
amplitude for the vibrator starting phase were drawn as well as the nomogram for the determination
of the resonance vibrations amplitude was prepared. The possibility of adapting the results for the
machine of a rectilinear trajectory of the frame motion  was indicated
Keywords: transient resonance, vibratory machine drive, starting, rundown
"
Dr inż. Grzegorz Cieplok, Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, Wydział Inżynierii Mechanicznej
i Robotyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie.
38
Oznaczenia
M  masa korpusu maszyny [kg]
m  masa wibratora [kg]
e  promień niewyważenia wibratora [m]
k  współczynnik sprężystości podparcia maszyny [N/m]
b  współczynnik tłumienia wiskotycznego podparcia maszyny [Ns/m]
Mel  moment napędowy działający na wibrator [Nm]
Ć  kąt obrotu wibratora [rad]
Jzr  zredukowany na kąt Ć masowy moment bezwładności układu napędowego i wi-
bratora [kgm2]
�  prędkość kątowa wibratora [rad/s]
�0  częstość drgań własnych nietłumionych masy drgającej maszyny [rad/s]
b
ł  liczba tłumienia. W artykule ł =
2 k(M + m)
ą  współczynnik zwielokrotnienia amplitudy drgań korpusu maszyny podczas przejścia
Arez (M + m)
przez rezonans. W artykule ą =
me
1. Wstęp
Miękko posadowione maszyny o niewyważonym wirniku mogą podlegać podczas roz-
ruchu i wybiegu drganiom, których amplitudy przekraczają wielokrotnie amplitudy drgań
w stanach ustalonych. Zjawisko to, związane z przejściem siły wymuszającej pochodzącej
od niewyważonego wirnika przez zakres częstotliwości rezonansowych związanych z ukła-
dem korpus maszyny zawieszenie sprężyste, prowadzi do przekazywania dużych sił zmien-
nych na fundament lub konstrukcję wsporczą. Staje się ono szczególnie groz
ne w przy-
padku maszyn o dużym niewyważeniu, jak np. nadrezonansowych maszyn wibracyjnych
napędzanych za pomocą wibratorów inercyjnych [5].
Przykładowy przebieg drgań na kierunku współrzędnej pionowej podczas rozruchu
i wybiegu nadrezonansowego przesiewacza wibracyjnego pokazano na rysunku 1.
Zjawisko rezonansu przejściowego analizowano w literaturze wielokrotnie. Cechą
wspólną tych analiz było przyjęcie przebiegu siły wymuszającej jako zadanej funkcji za-
leżnej od czasu. Przyjmowano, że częstotliwość tej siły jest liniową funkcją czasu, za-
kładając jej stałą amplitudę lub  w pewien sposób odzwierciedlając działanie siły pro-
mieniowej wibratora inercyjnego  przyjmowano jej moduł jako funkcję kwadratu pręd-
kości kątowej wibratora.
Punktem wyjścia dla większości analiz teoretycznych stało się równanie (1a), które przy
&
zadanej funkcji � stanowi niesprzęgniętą z wibratorem postać opisu dynamiki korpusu
maszyny przedstawionej na rys. 2
&& & && &
(M + m)x + bx + kx = -me�cos(�) + me�2 sin(�) = f (t) (1a)
&& &&
(Jw + J + me2 )� + mexcos(�) = M (1b)
s el
 39
0,01
a)
0
 0,01
 0,02
t [s]
b)
0,02
0,01
0
 0,01
 0,02
t [s]
Rys. 1. Przebieg drgań środka masy rzeszota przesiewacza wibracyjnego obciążonego nadawą
podczas: a) rozruchu (na rysunku uwidocznione zostały niegasnące drgania własne
rzeszota będące wynikiem uderzeniowego oddziaływania nadawy na sito przesie-
wacza), b) wybiegu wibratora bezwładnościowego
Fig. 1. Vibrations of the center of mass of the vibratory screen riddle loaded with the feed during:
a) starting (not going out natural vibrations of the riddle being the result of the feed
impacting the screen  are shown), b) rundown of the inertial vibrator
Mel
m, Js + Jw
x
M
Rys. 2. Model fenomenologiczny maszyny wibracyjnej, której g
korpus wykonuje ruch prostoliniowy k b
Fig. 2. Phenomenological model of the vibratory machine,
which frame performs a rectilinear motion
Zatem we wszystkich przypadkach, w których przeprowadzono badania analityczne na
podstawie tak przyjętego równania, oddziaływanie wzajemne pomiędzy korpusem maszyny
i wirnikiem zostało pominięte i stało się zasadniczą przyczyną błędów oszacowań maksy-
malnych amplitud drgań i sił podczas przechodzenia maszyny przez strefę rezonansową i to
zarówno podczas rozruchu wirnika, jak i podczas jego wybiegu.
x
[m]
x
[m]
40
Rys. 3. Wartości maksymalnej bezwymiarowej amplitudy drgań dla różnych wartości liczby
tłumienia ł podczas rozruchu i wybiegu wirnika [2]
Fig. 3. Values of maximal dimensionless vibration amplitude for various damping numbers ł during
starting and coasting of the rotor [2]
W fundamentalnych pracach Lewisa i Kaca rozwiązanie równania (1a) zostało w prak-
tyczny sposób podane w postaci nomogramów (rys. 3), które pozwalają na podstawie
2
znajomości wskaz
nika przyspieszenia tan(�) = � / �0 i liczby tłumienia ł wyznaczyć ma-
ksymalną amplitudę drgań korpusu maszyny podczas rozruchu i wybiegu wibratora.
Praktyka pokazuje jednak, że stosowanie nomogramów bez możliwości poprawnego okreś-
lenia przyspieszenia kątowego wibratora może prowadzić do błędów  najczęściej nie-
znacznie zaniżonych dla rozruchu i wysoko zawyżonych (nawet kilkakrotnie) dla wybiegu
[5]. Sytuacja ta szczególnie uwypukla się w przypadku stosowania wibratorów inercyjnych,
gdzie wysoka wartość momentu wibracyjnego w sposób istotny wpływa na załamanie się
prędkości kątowej w strefie rezonansu.
2. Równania symetrycznie podpartej maszyny wibracyjnej w jednostkach względnych.
Wyniki analizy równań ruchu
Rozpatrzmy tym razem model fenomenologiczny maszyny wibracyjnej przedstawionej
schematycznie na rys. 4.
Korpus maszyny o masie M posadowiony został na symetrycznym układzie sprężysto-
-lepkim określonym przez stałe skupione k i b. Do drgań wzbudzony został za pomocą
wibratora bezwładnościowego o wartości niewyważenia statycznego me. Moment bez-
władności wibratora łącznie z momentem bezwładności układu napędowego zredukowano
do współrzędnej kątowej obrotu wibratora i oznaczono przez Jzr. Wibrator poddano dzia-
 41
łaniu stałowartościowego momentu napędowego działającego zgodnie ze współrzędną
ruchu kątowego wibratora Ć. Przemieszczenie środka masy korpusu maszyny opisano
dwiema współrzędnymi xs i ys.
y
me, Jzr
k
b
Mel
x
M
Rys. 4. Model symetrycznie posadowionej
1/2 k b 1/2 k
maszyny wibracyjnej
Fig. 4. Model of the symmetrically suspend-
ded vibratory machine
Dla tak określonego modelu możemy sformułować równania ruchu, które w formie
zapisu macierzowego przyjmują postać układu
& Px
Mc 0 xs b 0 xs k 0 xs Ą# ń#
Ą# ń#Ą#&& ń# Ą# ń#Ą# ń# Ą# ń#Ą# ń#
+ + = (2)
ó#
&
0 Mc Ą#ó#&& Ą# ó#0 bĄ#ó# ys Ą# ó#0 kĄ#ó# ys Ą# ó#P Ą#
ys
Ł# Ś#
123Ł# 123Ł#
14243Ł# Ś# Ł# Ś# Ś# Ł# Ś# Ś# Ł# y Ś#
[M ] [B] [ K ]
Px Ą#
Ą# ń# mesin(�) mecos(�)
ń# Ą# ń#
2
&& &
= � + (3)
ó#P Ą#
ó# ó#mesin(�) Ą#�
y
Ł#- mecos(�)Ą# Ł# Ś#
Ś#
Ł# Ś#
&& &&
Jzr� - me(xs sin(�) - &&
ys cos(�))= M (4)
el
Z kolei wyrażając położenie środka masy (xs, ys) w układzie współrzędnych związa-
nych z chwilowym położeniem wibratora [1], możemy równania ruchu doprowadzić do
postaci
Ą# 1 1 Ą# 1 ł
2
- (1- �2)�r + �rv�r - v�r + 2ł�r�r ń#
0 - �r 0 0ń#
ó# Ą# Ą#
v�r ó#�r r
Ą# ń# Ą Ą
4Ą2 2Ą
ó# Ą# ó# Ą#
ó#v Ą# 1 ł
1 1
ó# Ą# ó# Ą#
0 (1+ �r ) 0 0 �r - (1- �2)�r - �rv�r - v�r - 2ł�r�r
r
ó# Ą#
d
Ą Ą
4Ą2 2Ą
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą#
�r =
�
� 1
ó# Ą#
- v�r�r + ��r�2 + q
0 (��r +1) 0 0Ą# d� ó# �r Ą# ó#
r
ó# Ą# ó# Ą#
4Ą2 2Ą ó# Ą# Ą
ó# ó# Ą#
vśr
0 0 0 1 0Ą# ó#�r Ą#
Ł# Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
v�r
0 0 0 0 1Ś#
ó# Ą# ó# Ą#
Ł#
Ł# Ś#
(5)
gdzie:
�, �, v�, v�  odpowiednio  współrzędne i prędkości położenia środka masy korpusu
w układzie współrzędnych związanych z wibratorem
42
� � � �0
�r = �r = �r = � = t
Au Au �0 2Ą
m2e2 b M 1 me
el
� = ł = q = Au = (6)
2
M Jzr Jzr �0 M
2 M k
c c
c
M = M + m
c
W tej formie zbiór sześciu parametrów fizycznych Mc, me, Jzr, Mel, k i b potrzebnych do
zapisania dynamiki maszyny we współrzędnych uogólnionych, zredukowany został do
trzech parametrów  �, ł, q.
Uzyskane po transformacji postacie równań pozwalają na wykreślenie wykresów ma-
ksymalnych amplitud drgań korpusu maszyny dla fazy rozruchu i wybiegu. Istnieje również
możliwość ich adaptacji dla maszyny o odcinkowej trajektorii ruchu korpusu. W tym przy-
padku wystarczające jest użycie przy odczytywaniu wykresów dwukrotnie mniejszej war-
tości parametru � niż to wynika z zależności (6).
Rys. 5. Wartość względnej amplitudy rezonansowej w funkcji zmienności
parametrów � i q dla ł = 0,079
Fig. 5. Value of the relative resonance amplitude as a function of the variability
of parameters � and q for ł = 0,079
Na rysunku 5 przedstawiono przykładowy wykres uzyskany dla fazy rozruchu dla za-
danej wartości parametru ł. Na jego podstawie można stwierdzić wyraz
ny wpływ zmien-
ności parametrów fizycznych na wartość amplitudy rezonansowej. I tak, biorąc pod uwagę
powierzchnię amplitud maksymalnych, jakie wystąpiły dla przypadków, w których wibra-
tor pokonał strefę rezonansową (nie utykając np. w rezonansie), zachodzą:
1) wzrost amplitudy rezonansowej przy zmniejszaniu współczynnika tłumienia wisko-
tycznego b,
2) zmniejszanie amplitudy rezonansowej przy zmniejszaniu współczynnika sprężystości k,
3) zmniejszanie amplitudy rezonansowej przy zwiększaniu wartości momentu napędo-
wego,
 43
4) wzrost amplitudy rezonansowej przy zwiększaniu wartości zredukowanego momentu
bezwładności Jzr (Jzr wpływa jednocześnie na parametry � i q  jednak rozstrzyga,
widoczny na wykresach, intensywniejszy wpływ parametru q),
5) wzrost amplitudy rezonansowej względnej przy zwiększaniu wartości niewyważenia
statycznego wibratora me (należy zwrócić również uwagę na zmianę wartości odnie-
sienia Au).
ł = 0,01
ł = 0,02
ł = 0,03
ł = 0,04
ł = 0,05
ł = 0,06
ł = 0,07
ł = 0,08
ł = 0,09
ł = 0,10
ł = 0,11
ł = 0,12
0,001 0,01
�
Rys. 6. Wartość względnej amplitudy rezonansowej dla fazy wybiegu
Fig. 6. Value of the relative resonance amplitude for the rundown phase
Podobnie jak dla rozruchu, tak dla wybiegu można wyznaczyć wykresy względnej
amplitudy rezonansowej. Uzyskuje się je na podstawie rozwiązań równań (5), w których
przyjmuje się q = 0 i warunki początkowe odpowiadające stanowi ustalonemu określonemu
dla ponadrezonansowej prędkości wibratora. W pracy przyjęto �r = 4.
Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że na obniżenie amplitudy re-
zonansowej w fazie wybiegu wpływają:
1) zmniejszenie współczynnika sprężystości k zawieszenia maszyny,
2) podwyższenie współczynnika tłumienia wiskotycznego b zawieszenia maszyny,
3) obniżenie momentu zredukowanego układu napędowego Jzr,
4) zmniejszenie masy części drgającej maszyny,
5) zwiększenie wartości niewyważenia statycznego wibratora (dla punktów 4) i 5) ulega
również zmianie wartość odniesienia Au).
W celu przykładowej weryfikacji uzyskanych wyników na rys. 7 i 8 zostały przed-
stawione przebiegi czasowe rozwiązań równań ruchu maszyny o prostoliniowej i po-
stępowej trajektorii ruchu korpusu uzyskane niezależnie, na drodze symulacji kom-
puterowej.
Odnosząc się do wyników z rys. 5, można dla � = 0,0028, q = 0,17 odczytać wartość
względnej amplitudy rezonansowej równą w przybliżeniu 5,5 6; co daje 8,14 8,9 mm dla
ruchu postępowego i nieznacznie niższą amplitudę dla ruchu prostoliniowego. Z kolei dla
fazy wybiegu z rys. 6 można odczytać wartości 4,9 (dla �) i 5,4 (dla � �), co odpowiada
ą
44
amplitudzie rezonansowej 7,2 mm dla ruchu postępowego i 8 mm dla ruchu prostoli-
niowego. Odczytane wartości liczbowe odpowiadają amplitudom rezonansowym symulacji
komputerowych.
0.01
0,01
1 st. swob.
2 st. swob.
0.008
0,008
0.006
0,006
0,004
0.004
0.002
0,002
0
0
 0,002
-0.002
 0,004
-0.004
 0,006
-0.006
-0.008
 0,008
 0,01
-0.01
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
t [s]
t [s]
Rys. 7. Faza rozruchu. Przebiegi współrzędnej pionowej ruchu korpusu maszyny dla przypadku,
w którym korpus wykonuje ruch postępowy (przebieg oznaczony jako: 2 st. swob.)
i ruch prostoliniowy (przebieg oznaczony jako 1 st. swob.)
Fig. 7. Starting phase. Runs of the vertical co-ordinate of the machine frame motion for the case,
in which the frame performs a translatory motion (marked as: 2 st. swob.) and a recti-
linear motion (marked as: 1 st. swob.)
0.01
0,01
1 st. swob.
2 st. swob.
0,008
0.008
0,006
0.006
0,004
0.004
0.002
0,002
0
0
 0,002
-0.002
-0.004
 0,004
-0.006
 0,006
 0,008
-0.008
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
t [s]
t [s]
Rys. 8. Faza wybiegu. Opis tak samo jak na rys. 7
Fig. 8. Rundown phase. Description as in Fig. 7
y
[m]
y [m]
y [m]
y
[m]
 45
3. Podsumowanie
W artykule:
1. Wskazano na istotne błędy oszacowań maksymalnych amplitud drgań podczas po-
konywania rezonansu przejściowego przez maszyny wibracyjne w przypadku, gdy po-
mija się sprzężenia pomiędzy wirnikiem a korpusem maszyny.
2. Podano równania ruchu symetrycznie posadowionej maszyny wibracyjnej w wirującym
układzie współrzędnych i poprzez wprowadzenie jednostek względnych obniżono do
trzech liczbę parametrów potrzebnych do opisania dynamiki maszyny.
3. Wyznaczono nomogramy do określenia amplitudy rezonansowej dla fazy rozruchu
i wybiegu wibratora oraz na ich podstawie przeprowadzono analizę wpływu zmienności
parametrów fizycznych maszyny na jej wartość.
4. Wskazano na możliwość wykorzystania wyników do maszyny o prostoliniowym ruchu
korpusu.
Pracę wykonano w ramach badań statutowych Katedry Mechaniki i Wibroakustyki AGH za rok 2007.
Li t er at ur a
[1] Ci epl ok G., Równania symetrycznej maszyny wibracyjnej w wirującym układzie
współrzędnych. Zagadnienie utknięcia w rezonansie, XII Konferencja Naukowa Wibro-
akustyki i Wibrotechniki, WibroTech 2006, Kraków 2006.
[2] G o l i ń ski J.A., Wibroizolacja maszyn i urządzeń, WNT, Warszawa 1979.
[3] Kac A.M., Wynużdjonnyje kolebanija pri prochożdienii czerez rezonans, Inzyniernyj
Sbornik, 1947.
[4] L e w i s F.M., Vibration during Acceleration through a Critical Speed, ASME-
-Transactions.
[5] M i c h a l c z y k J., C i e p l i k G., Rezonans przejściowy maszyn wirnikowych  przy-
czyny błędów oszacowań, Zeszyty Naukowe AGH, Mechanika, t. 13, Kraków 1994.
[6] Mi chal czyk J., Bednar ski A
., Graniczne przypadki rozruchu przenośnika wi-
bracyjnego, [w:] Procesy wibroakustyczne w technice i środowisku, praca zbiorowa
pod red. W. B a t k o i Z. D ą br ows kiego, Kraków 2006.