FALE W OŚRODKACH SPR
ŻYSTYCH
RODZAJE FAL
Przy zaburzeniu jakiegoś ośrodka sprężystego, a
dokładniej wytrąceniu pewnego elementu tego ośrodka z
jego normalnego położenia równowagi, nastąpi drganie
wokół tego położenia równowagi.
Dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, drgania
takie są przekazywane na kolejne części ośrodka
powodując rozchodzenie się (propagację) fali.
Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego
elementy wykonują drgania w ograniczonych obszarach
przestrzeni.
Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pływające
wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają
się ruchem jednostajnym.
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale
dz
więkowe) nazywamy falami mechanicznymi.
Za pomocą fal można przekazywać energię na duże
odległości. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna
cząstek ośrodka.
1001
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię
poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w
materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny
jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują
o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem
kierunku rozchodzenia się fali
" fale podłużne - rozchodzą się w każdym
ośrodku (np. sprężyna, głos),
" fale poprzeczne - rozchodzą się w ciele
stałym (np. lina, kryształy).
kier. rozch.
kier. rozch.
1002
 Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca
punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili)
wyróżniamy:
" fale płaskie (w jednym kierunku),
" fale kuliste.
kier.
kier.
rozchodz
rozchodz
1003
FALE
FALA to zaburzenie rozchodzące się w przestrzeni
{drganie: � = f (t) = f(�t), periodyczna zmiana w czasie},
fala: � = f (t,x) , periodyczna zmiana w czasie i w
przestrzeni (w kier. x).
argument musi być bezwymiarowy:
�ł x - vt �ł 2Ą 2Ąv 2Ą 2Ą
�ł �ł
� = f �ł �ł = f x - t�ł = f x - t�ł,
�ł �ł �ł �ł
�ł
dlugosc�ł    T
�ł łł �ł łł
�ł łł
2Ą 2Ą
� = �m sin�ł x - t�ł ,
�ł �ł
 T
�ł łł
2Ą 2Ą
podstawiając: = k (wektor falowy), = �
 T
� = �m sin(kx - �t) postać fali biegnącej w
� �m
kierunku x, gdzie: - wychylenie, - amplituda,
(kx - �t)
- argument zależny od x i t.
1004
RÓWNANIE FALI
Rozpatrzmy ruch podłużnej fali sprężystej rozchodzącej
się w ośrodku o gęstości � w kierunku x wewnątrz
�
�
�
cylindra o powierzchni S.
�
�+d�
�
�+d�
� -
S
�
F F+dF
x
0 x+dx
X
wychylenie cząstek, d� - różnica wychyleń,
dx - odl. przestrzenna (między: x a x+dx).
Obl. zmiany dF jakie występują dla x i x+dx:
a �" dm = dF
a �" dm = ? dF = ?
F
"2�
F = � �"S, bo � = ,
a �" dm = �" dm ,
S
"t2
"�
bo �=f(x,t),
� = E �" �,� = E ,
"x
dm = � �" dV ,
"� d
dm = � �" S �" dx , F = E �"S / ,
"x dx
dF "2�
= E �"S ,
2
dx "x
"2�
"2�
a �" dm = � �" S �" dx �"
dF = E �"S �"dx.
"t2
"x2
1005
"2� "2�
� �"S�" dx �" dx = E �"S �" dx / : �
"t2 "x2
"2� E "2�
- = 0 .
"t2 � "x2
N
2
�łEłł
m2 kg �" m �" m3 �ł m �ł =[v2],
= = =
�ł �ł
�ł śł
kg
� s2 �" m2 �" kg s
�ł łł
�ł �ł
m3
E E
= v2 , v2 = .
� �
Jednowymiarowe 1-D r-nie (+rozw.) fali w ośrodku
sprężystym:
"2� "2�
- v2 = 0
� = �m sin(kx - �t)
, .
"t2 "x2
Ogólna (trójwymiarowa 3-D) postać r-nia falowego:
"2�
- v2"� = 0
"t2
"2 "2 "2
gdzie " = "2 = + + ,
"x2 "y2 "z2
r
rozwiązanie postaci �(x, y,z,t) = �(r, t):
r
r
� = Asin(k �" r - �t + �)
lub ogólniej
.
r
r-�t+�
� = Ae-(k�"r )
1006
INTERFERENCJA FAL
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i
amplitudach, ale o fazach różniących się o �.
�1 = Asin(kx  �t  �)
�2 = Asin(kx  �t)
Fala wypadkowa (zasada superpozycji):
� = �1 + �2 = A[sin(kx  �t  �) + sin(kx  �t)],
1 1
(Tw. sin)
sin ą + sin � = 2 �"cos �ł (� - ą)łł �"sin�ł (ą + �)łł
�ł2 śł �ł2 śł
�ł �ł �ł �ł
�ł � łł �
�ł �ł �ł
� =
�ł
�ł2Acos�ł 2 �łśł �" sin�łkx - �t - 2 �ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
A'= f (�), A'`" f (t, x), � ~ sin(x, t)
T.j r-nie fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(�/2).
Analiza warunków
Dla �
� = 0
�
�
fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają) w
punkcie przestrzeni i czasie dla których:
1007
 (kx - �t): Ą/2, (1+1/2)Ą, ... , (n+1/2)Ą
otrzymamy � = �max = 2A - maksima.
A minima: � = �min = 0 dla (kx - �t) = nĄ
Dla � = Ą/2 fale wygaszają się.
�
�
�
FALE STOJ
CE
Rozważmy dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych
kierunkach: �1 = Asin(kx  �t)
�2 = Asin(kx + �t)
np. falę padającą i odbitą.
1 1
(Tw. sin)
sin ą + sin � = 2 �"cos �ł (� - ą)łł �"sin�ł (ą + �)łł
�ł2 śł �ł2 śł
�ł �ł �ł �ł
Falę wypadkową można zapisać jako
� = �1 + �2 = 2A �" cos(�t) �"sin(kx)
A'=f(t), drganie przestrzenne
To jest równanie fali stojącej.

�A
x
-A /4
3/2

/2
5/4
3/4
/4
Cząstki drgają ruchem harmonicznym z częstością �.
�
�
�
1008
węzeł
zmiana w czasie
strzałka
2Acos(�t) - amplituda zależna od czasu, zmieniająca
się w granicach: od -2A do 2A,
dla �t: 0, 2Ą Ą - cos(�t) = 1
Ą, ..., nĄ
Ą Ą
Ą Ą
Strzałki - punkty mające maksymalną amplitudę:
kx : Ą Ą/2, 5Ą Ą/)
Ą/2, 3Ą Ą/2,.... /: (k=2Ą
Ą Ą Ą Ą
Ą Ą Ą Ą
czyli x :  /4, 5
/4, 3 /4, ... itd.
  
  
Węzły - punkty mające zerową amplitudę:
kx : Ą Ą, 3Ą Ą/)
Ą, 2Ą Ą, .... /: (k=2Ą
Ą Ą Ą Ą
Ą Ą Ą Ą
czyli x :  , 3
/2,  /2,... itd.
  
  
1009
Przykład
Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie
najpierw wygięta a następnie puszczona, to wzdłuż struny
rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają
się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji
powstaje fala stojąca. Widzimy, że długości fal spełniają
2L
związek n =
n
 = 2L
1
 = L
2
 = 2L/3
3
 = L/2
4
L
Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową a
pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.
1010
FALE AKUSTYCZNE
Fale akustyczne rozchodzące się w powietrzu to
podłużne fale mechaniczne (w c. stałych poprzeczne).
Są to, niewidzialne dla oka, lokalne zgęszczenia i
rozrzedzenia ośrodka sprężystego (zmiany p).
"2p "2p
- v2 = 0
p = pm sin(kx - �t)
"t2 "x2
Przekazywanie pędu i energii następuje od jednej do
następnej cząsteczki ośrodka sprężystego:
E
v = , vę! gdy Eę! (moduł Younga - sprężystość)
�
vpróżni=0, vpow=340 m/s, vwody=1450 m/s, vFe=5130 m/s
Obszar słyszalny przez ucho ludzkie:
INFRADy
WI
KI  20 - 20'000 Hz  ULTRADy
WI
KI
V
 = , : (17 - 0,017)m
�
ultradz
więki: rozdrabnianie, rozbijanie, rozrywanie,
mieszanie, koagulacja, kawitacja...
układów tkankowych, molekularnych...,
emulsje, żele, oczyszczanie, cięcie...
infradz
więki: przy dużej energii niszczenie obiektów
budowlanych;
badania Fra. (l. 60') niszczenie fortyfikacji;
1011
lewitacja bloków skalnych - mnisi buddyjscy w Tybecie
(trąby, fagoty);
Prawo Webera-Fechnera: przyrost wrażenia jest
proporcjonalny do logarytmu ilorazu energii bodz
ców.
Poziom ciśnienia akustycznego L (natężenie względne
dz
więku) obejmuje 13 rzędów zmian p:
pef
L = 2k �" lg
p0
k - stała zal. od wyboru jednostek,
pef - ciśnienie akustyczne fali,
p0 = 2 10-5 N/m2 - próg słyszalności dla 1 kHz
1 bel odpowiada ciśnieniu akust.: 2 lg(p/p0) = 1
Poziom głośności dz
więku:
Is
Ls =10 �" lg
Is0
Is - subiektywne odczuwane natężenie dz
więku,
Is0 - subiektywne odczuwana wartość progowa (granica
słyszalności).
1012
130
próg bólu
próg słyszenia
0
0,020 1 4 20
częstość [kHz]
ciche mieszkanie 30 dB,
szept 25-35 dB,
wnętrze samochodu 60 - 80 dB,
głośna rozmowa 75 -85 dB,
wnętrze autobusu 90 dB,
krzyk 95 - 105 dB,
sala koncertowa, hala fabryczna 90 - 110 dB,
silnik spalinowy 100 dB,
dyskoteka 120 dB,
silnik odrzutowy 120 - 140 dB,
próg bólu 130 - 140 dB.
"SA
UCH pogarsza się z wiekiem, ale wiele dokładamy od siebie od
najmłodszych lat: infekcje dróg oddech., hałas, dyskoteki,
słuchawki, koncerty...
1013
poziom ciśnienia akustycznego [dB]
DUD IE IA - MODULACJA AMPLITUDY
Mówiliśmy już o superpozycji fal, interferencji w
przestrzeni (dodawanie fal o tej samej częstości).
Dudnienie, z kolei to zjawisko interferencji w czasie.,
wywołane nałożeniem dwóch ciągów fal o równej
amplitudzie, ale nieco różniących się częstotli-wościami.
W danym punkcie x=0 w przestrzeni:
�1 = Asin2Ą�1t
�2 = Asin2Ą�2t
więc
� = �1 + �2 = A(sin2Ą�1t + sin2Ą�2t)
1 1
(Tw. sin)
sin ą + sin � = 2 �"cos �ł (� - ą)łł �"sin�ł (ą + �)łł
�ł2 śł �ł2 śł
�ł �ł �ł �ł
�ł �2 - �1 łł �1 + �2
� = cos�ł2Ą t�ł
�ł �ł �ł
�ł2A �ł 2 t�łśł �"sin 2Ą�ł
2
�ł łł �ł łł
�ł �ł
�2 - �1
podstawmy: = � (cz. różnicowa),
2
�1 + �2 _
= � (cz. średnia)
2
_
� = [2Acos2Ą�t]�" sin�ł2Ą� t�ł
�ł �ł
�ł łł
Amplituda f(�); oscylacja f(�t)
1014
y
t
y
t
_
_
sin�ł2Ą� t�ł jest czynnikiem oscylującym f(� ,t) z częstością
gdzie: �ł �ł
�ł łł
średnią, a
[2A cos 2Ą�t]
jest modulowaną amplitudą f(�,t).
Dudnienie - tzn. max amplituda występuje, gdy
cos(2Ą�t) 2Ą�
: 1 u -1, liczba dudnień na sek: .
Ucho ludzkie rozróżnia zmiany głośności - dudnienia, gdy
różnica częstotliwości v2-v1 d" 7 s-1, tzn. zm. głośności są
małe i amplituda zmienia się powoli.
Mamy wówczas do czynienia z modulacją amplitudy AM
(stosowaną np. w odbiornikach radiowych).
1015
ZASADA SUPERPOZYCJI
(Analiza Częstotliwościowa Fouriera)
O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to,
ile alikwotów jest zawarte w dz
więku i jakie są ich
natężenia.
n = 1
drganie wypadkowe
n = 3
n = 5
t
n = 7
Przez tę samą przestrzeń może przebiegać dwie lub
więcej fal niezależnie nakładając się na siebie.
Addytywność = Superpozycja
Zasada superpozycji pozwala przedstawić złożony ruch
falowy jako kombinację cząstkowych fal, lub inaczej jako
kombinację prostych ruchów harmonicznych.
Jeśli �(t) przedstawia ruch z
ródła fali o okresie T, możemy
rozłożyć �(t) w wyrażenie zwane szeregiem Fouriera:
�(t) = A0 + A1 sin �t + A2 sin 2�t + A3 cos3�t + ... + An cos n�t +
+ B1 sin �t + B2 sin 2�t + B3 cos3�t + ... + Bn cos n�t ,
gdzie � = 2Ą/ T ,
1016
"
�(t) =
"[A sin(n�t)+ Bn cos(n�t)]
n
n =0
T
2
gdzie: An =
+"[�(t) �"sin(n�t)]dt ,
T
0
T
2
Bn =
+"[�(t) �" cos(n�t)]dt
T
0
1017
ZJAWISKO DOPPLERA
Austriak, Christian Doppler (1842 r)
Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal.
Obecnie rozważymy je dla fal dz
więkowych.
Wysokość (częstotliwość) dz
więku zależy od względnego
ruchu z
ródła dz
więku (Z) i ruchu odbiornika (obserwatora)
(O): �o = f (�z , vo , vd )
Oznaczmy:
vo - prędkość obserwatora,
vz - prędkość z
ródła,
vd - prędkość dz
więku w ośrodku,
�z - częstotliwość wysyłana przez z
ródło,
�o - częstotliwość słyszana przez obserwatora.
I przypadek:
z
ródło dz
więku nieruchome, obserwator
porusza się wzdłuż łączącej ich prostej.
I A - Obserwator przybliża się:
vo
z
ródło
spoczywa vd
obserwator
fala dz
w.
v =0
z
zbliża się
1018
Nieruchomy obserwator odbierałby vt/ fal w czasie t.
Teraz odbiera jeszcze dodatkowo vot/ fal (przecina czoła
fali częściej - patykiem o szczebelki płotu). Częstość
słyszana przez obserwatora:
�o = �z + coś = �z + �o ,
vd vo vo
ze związku:  = = otrzymujemy �o = ,
�z �o 
vo vd
�o = �z + , ale  =
 �z
vd vo �" �z
�o = �z +
vd vd
�ł �ł
vd + vo �ł
�ł
�o = �z�ł
vd �ł
�ł łł
gdy voę! to �oę! częstotliwość wzrasta!
I B - Obserwator oddala się
�ł - vo �ł
�ł
vd
�ł
�o = �z�ł
częstotliwość maleje (obniża się)!
vd �ł
�ł łł
1019
II przypadek: obserwator nieruchomy, z
ródło
dz
więku porusza się wzdłuż łączącej ich prostej.
II A - y
ródło przybliża się
=0
vo
v
z
p
L
v
d
Długość fali ulega skróceniu w kierunku poruszania się
z
ródło generuje krótsze fale bo je dogania:
p =  - coś
vd vz
 = , a coś: z =
�z �z
vd vz vd - vz
p = - =
�z �z �z
vd vd vd
chcemy obliczyć �o więc �o = , �o = =
p p vd - vz
�z
�ł �ł
vd �ł
�ł
�o = �z�ł
więc ,
vd - vz �ł
�ł łł
gdy vzę! �oę! częstotliwość rośnie!
1020
II B - y
ródło oddala się
�ł �ł
vd �ł
�ł
�o = �z�ł
, częstotliwość maleje!
vd + vz �ł
�ł łł
Studiując wszystkie przypadki otrzymujemy ogólną
zależność:
�ł �ł
vd ą vo �ł
�ł
�o = �z�ł
vd m vz �ł
�ł łł
vo`"0 i vz`"0 oznacza poruszanie się obserwatora i
z
ródła
+
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają
-
zbliżaniu się;
-
a znaki dolne oddalaniu się obserwatora i z
ródła.
+
1021