T O P O L O G I A
WPPT I, sem. letni
EGZAMIN I
Wroclaw, pi¸ 13 czerwca 2008
atek
ZADANIE 1. (7p)
Dana jest przestrzeń metryczna (X, d). Niech
d1(x, y) = min{d(x, y), 1}.
Sprawdz
,
A) że d1 jest metryk¸ (sprawdz
starannie warunek trójk¸
a ata);
B) że d1 (wiedz¸ że jest metryk¸ jest równoważna z d.
ac, a)
ROZW.
A) mamy:
d1(x, y) + d1(y, z) = min{d(x, y), 1} + min{d(y, z), 1} =
min{d(x, y) + d(y, z), d(x, y) + 1, 1 + d(y, z), 1 + 1} e"
min{d(x, z), 1, 1, 1} = d1(x, z)
B) oczywiÅ›cie d1 d" d wi¸ zbieżność w d implikuje zbieżność w d1. Na odwrót:
ec
Niech ciag xn x w d1. To znaczy, że dla dostatecznie dużego n, d1(xn, x) < 1.
¸
Ale wtedy d1(xn, x) = d(xn, x) i skoro jest zbieżność w d1 to i w d.
ZADANIE 2. (8p)
Udowodnij, że zupelność metryki d na przestrzeni X jest równoważna z poniższym
warunkiem. Trzeba udowodnić implikacje w obie strony:
A) =Ò!
B) Ð!=
Warunek: JeÅ›li Fn jest zst¸ acym ciagiem niepustych zbiorów domkni¸ w X
epuj¸ ¸ etych
o średnicach malejacych do zera, to Fn = ".
¸
n
ROZW.
A) Zakladamy zupelność. Z każdego zbioru Fn wybieramy po jednym punkcie xn.
Otrzymany ciag jest podstawowy, gdyż wszystkie elementy xn o indeksach powyżej
¸
n0 s¸ w Fn , a wi¸ ich wzajemne odlegloÅ›ci nie przekraczaj¸ Å›rednicy zbioru Fn ,
a ec a
0 0
która dla dostatecznie dużego n0 jest odpowiednio mala. Z zupelości ciag xn ma
¸
granic¸ x. Z domkni¸ każdego ze zbiorów Fn, x " Fn (bo ciag xn od miejsca
e etoÅ›ci ¸
n leży w Fn). Zatem x należy do przekroju wszystkich Fn, czyli przekrój ten jest
niepusty.
B) Zalóżmy ten warunek o zbiorach. Weżmy ciag podstawowy ale nie zbieżny xn.
¸
Ponieważ ciag podstawowy majacy podciag zbieżny jest zbieżny, wi¸ nasz ciag
¸ ¸ ¸ ec ¸
nie ma podciagów zbieżnych. Zatem zbiory Fn = {xn, xn+1, . . . } s¸ domkni¸
¸ a ete.
Ponadto s¸ zst¸ ace, a ich Å›rednice d¸Å¼¸ do zera (podstawowość), oraz ich przekrój
a epuj¸ a a
jest pusty (bo brak podciagów zbieżnych implikuje też, że każdy punkt wyst¸
¸ epuje
w tym ciagu co najwyżej skoÅ„cznie wiele razy, zatem nie wyst¸ w przekroju).
¸ epuje
Sprzeczność.
ZADANIE 3. (8p)
A) Udowodnij, że jeśli f : X Y jest funkcja ciagla z jednej przestrzeni metrycznej
¸ ¸ ¸
w drug¸ to jej wykres F = {(x, f(x)) : x " X} jest zbiorem domkni¸ w X × Y
a, etym
z metryk¸ maximum. Podaj przyklad na to, że odwrotna implikacja nie zachodzi
a
(ale wez
pod uwag¸ co mówi punkt B)).
e,
B) Wykaż, że jeÅ›li Y jest zwarta, to domkni¸ wykresu F implikuje ciaglość f.
etość ¸
ROZW.
A) Niech ciag punktów z wykresu (xn, f(xn)) zbiega do jakiegoś (x, y) w produkcie.
¸
Oznacza to, że xn x i f(xn) y. Z ciaglości, f(xn) musi zbiegać do f(x), czyli
¸
y = f(x). St¸ punkt graniczny (x, y) to (x, f(x)) i należy on do wykresu. To
ad
dowodzi domkni¸ wykresu.
etości
Niech X = [0, 1], Y = [0, 1), f(x) = x z tym, że f(1) = 0. Wykres jest domkni¸
ety
w produkcie, bo ,,brakuj¸ punkt (1, 1) nie należy do przestrzeni produktowej.
acy
Funckja oczywiście nie jest ciagla w x = 1.
¸
B) Niech Y b¸ zwarta a wykres domkni¸ Niech xn x w X. Wtedy z
edzie ety.
każdego podciagu f(xn) można wybrać podciag zbieżny. Trzeba pokazać, że zawsze
¸ ¸
do tej samej granicy f(x), to da zbieżność calego ciagu f(xn) do f(x) czyli ciaglość.
¸ ¸
Wi¸ wez
my podciag f(xn ) zbieżny do jakiegoś y. Wtedy ciag (xn , f(xn )) zbiega
ec ¸ ¸
k k k
w produkcie do (x, y). Z domkni¸ wykresu, punkt ten (czyli para (x, y)) należy
etości
do wykresu. Ale to oznacza, że y = f(x), co wlaśnie trzeba bylo pokazać.
ZADANIE 4. (8p)
A) = B) Znajdz
granic¸ (w metryce supremum) ciagu rekurencyjnego funkcji ciaglych
e ¸ ¸
"
x
1
określonych na przedziale [0, ]: f1(x) = x, fn+1(x) = fn(t) dt + 1.
2 0
1
ROZW. Na C([0, ]) (z metryk¸ supremum) rozważamy odwzorowanie T (f) = g
a
2
x
1
gdzie g(x) = f(t) dt+1. Jest to odwzorowanie Lipschitzowskie ze stala , bo jeśli
¸
0 2
dwie funkcje s¸ oddalone o (co najwyżej) r, to ich calki od zera do x s¸ oddalone
a a
1 1
o co najwyżej rx. Ponieważ x d" , to mamy szacowanie przez r. No to teraz
2 2
wystarczy znalez
ć punkt (czyli funkcj¸ staly wzgl¸ T . Czyli funkcj¸ spelniaj¸ a
e) edem e ac¸
x
f(x) = f(t)dt + 1.
0
Latwo widać, że f(x) = ex spelnia to równanie. Czyli ciag nasz d¸Å¼y do ex.
¸ a
ZADANIE 5. (6p)
A)= B) Podaj przyklad metryki na prostej R równoważnej ze zwykla metryk¸ d
¸ a
,,modul różnicy , która jest ograniczona ale nie calkowicie ograniczona.
Wskazówka: wykorzystaj coś, co jest w zadaniach z tej listy.
ROZW. Wystaczy wziać metryk¸ d1 = min{d, 1}. PrzestrzeÅ„ (R, d1) jest ograni-
¸ e
czona (zawarta w kuli o promieniu 1 wokól zera (lub dowolnego innego punktu)).
1
Natomiast nie jest calkowicie ograniczona, bo kule o promieniu s¸ takie same jak
a
2
dla d i nie pokryjemy prostej skończenie wieloma takimi kulami. Równoważność d1
z d wynika z zadania 1.
ZADANIE 6. (7p)
Udowodnij, że na prostej ze zwykla metryk¸ zbiór A = [0, 1) *" (2, 3] *" [4, 5) *" · · ·
¸ a
jest typu
A) G´
B) FÃ.
ROZW.
1 1 1
A) Niech Un = (- , 1)*" (2, 3+ )*"(4 - , 5)*" . . . . Jest to zbiór otwarty i przekrój
n n n
(przeliczalny) zbiorów Un daje A. Wi¸ A jest typu G´.
ec
1 1 1
B) Niech Fn = [0, 1 - ] *" [2 + , 3] *" [4, 5 - ] *" . . . . Jest to zbiór domkni¸ (ale
ety
n n n
nie dlatego, że jest sum¸ przedzialów domkni¸ tylko dlatego, że dopelnienie
a etych,
jest otwarte). Zbiór A jest sum¸ (przeliczaln¸ zbiorów Fn, czyli jest typu FÃ.
a a)
ZADANIE 7. (6p)
A) Podaj definicj¸ zbioru I kategorii (definiuj¸ poj¸ poÅ›rednie).
e ac ecia
B) Sformuluj twierdzenie Baire a.
Tomasz Downarowicz