T O P O L O G I A
WPPT I, sem. letni
EGZAMIN POPRAWKOWY
Wroclaw, poniedzialek 23 czerwca 2008
ZADANIE 1. (7p)
Dana jest przestrzeń i dwie metryki d1 i d2. Pokaż, na odpowiednim przykladzie,
że d(x, y) = min{d1(x, y), d2(x, y)} nie musi być metryk¸
a.
ROZW.
Na przyklad przestrzeń trzypunktowa {a, b, c}. Metryka d1 taka jak zwykla metryka
na prostej dla {0, 1, 3} a d2 taka jak dla {0, 2, 3}. Wtedy
d(a, b) = 1, d(b, c) = 1 oraz d(a, c) = 3,
co przeczy warunkowi trójk¸
ata.
ZADANIE 2. (8p)
Udowodnij, że ciag (xn) spelniajacy limn d(xn, xn+1) = 0 i taki, że dla pewnego
¸ ¸
k " N podciag (xkn) (co k-ty wyraz) jest podstawowy, jest podstawowy.
¸
ROZW.
Ustalmy > 0. Niech n0 b¸ takie, że dla każdego n e" n0 mamy d(an, an+1) <
edzie
. Niech N b¸ tak duże, że dla n, m e" N d(akm, akn) < . Niech N0 =
edzie
4k 2
max{n0, kN}. Niech i, j e" N0. Wez
my najmniejsze liczby kn e" i, km e" j.
Oczysiście kn - i d" k oraz km - j d" k. Mamy
d(xi, xj) d" d(xi, xi+1) + d(xi+1, xi+2) + · · · + d(xkn-1, xkn)+
d(xkn, xkm)+
d(xkm, xkm-1) + d(xkm-1, xkm-2) + · · · + d(xj+1, xj) d"
k + + k = .
4k 2 4k
ZADANIE 3. (8p)
Udowodnij, że jeÅ›li f : X R jest funkcj¸ ciagla rzeczywist¸ o dziedzinie zwartej,
a ¸ ¸ a
to istnieje punkt x0 " X taki, że f(x0) = supx"X f(x).
ROZW.
Niech y = supx"X f(x) (a priori dopuszczamy nawet nieskończoność). Istnieje ciag
¸
xn taki, że f(xn) y. Ze zwartości X ciag xn ma podciag xn zbieżny do jakiegoś
¸ ¸
k
x0 " X. Oczywiście nadal f(xn ) y. Z ciaglości f mamy też f(xn ) f(x0).
¸
k k
Z jedynoÅ›ci granicy wynika wi¸ że y = f(x0), i o to chodzilo. (W szczególnoÅ›ci y
ec,
nie może być nieskończone, bo f przyjmuje wartości rzeczywiste.)
ZADANIE 4. (8p)
3
Znajdz
granic¸ ciagu rekurencyjnego a1 = 5, an+1 = .
e ¸
4(an+1)
ROZW.
3 1
Funkcja f(x) = przeprowadza przestrzeÅ„ X = [0, ") w siebie. Pochodn¸ jest
a
4 x+1
3 -1 3
f (x) = co na ma modul X stale mniejszy od , zatem jest to odwzorowanie
4 (x+1)2 4
3 1
zbliżaj¸ Punkty stale znajdujemy rozwiazuj¸ równanie kwadratowe x = .
ace. ¸ ac
4 x+1
1
Wychodz¸ dwa pierwiastki, x0 = i x1 = -3 . Tylko x0 należy do X. Nasz ciag
a ¸
2 2
jest ciagiem iteracji funkcji startuj¸ z punktu 5 " X, zatem z Tw. Banacha
¸ acym
1
zbiega on do x0 = .
2
ZADANIE 5. (6p)
Udowodnij, że jeÅ›li f : X Y jest funkcj¸ ciagla, to przeciwobraz zbioru typu G´
a ¸ ¸
w Y jest typu G´ w X.
ROZW.
Niech G = Un b¸ zbiorem typu G´ w Y (każdy Un jest otwarty w Y ).
edzie
n
UWAGA: Przeliczalny przekrój zbiorów otwartych NIE MUSI być ot-
warty! Gdyby tak bylo, poj¸ zbioru typu G´ nie mialoby sensu!
ecie
Ale dla dowolnej funkcji mamy
f-1( Un) = f-1(Un).
n n
Dalej, z ciaglości f każdy zbiór f-1(Un) jest otwarty w X (jako przeciwobraz zbioru
¸
otwartego Un). Zatem f-1(G) jawi si¸ jako przekrój zbiorów otwartych w X, czyli
e
jest typu G´.
ZADANIE 6. (7p)
Podaj przyklad jakiegokolwiek odwzorowania ciaglego i ,,na f : D T, gdzie
¸
D = {z " C : |z| d" 1} a T = {z " C : |z| = 1}.
ROZW.
Kolo ,,prasujemy do odcinka [-1, 1]: h(z) = Re(z), nast¸ odcinek ,,nawijamy
epnie
na okr¸ g(t) = eiÄ„t (punkty -1 i 1 skleja si¸ odwzorowanie jest ,,na caly okr¸
ag: ¸ e, ag).
Oba powyższe odwzorowania s¸ ciagle. Skladaj¸ je dostajemy poszukiwane odw-
a ¸ ac
zorowanie g ć% h(z) = eiĄRe(z). Jest to oczywiście jedna z wielu możliwości, na
przyklad można zacz¸Ä‡ od Im(z), a nawijać można ,,wielokrotnie bior¸ eiÄ…t (z
a ac
dowolnym parametrem rzeczywistym Ä… > Ä„).
UWAGA: Wszelkie próby odwzorowania, które ,,nie rusza punktów na
okr¸ a punkty wewn¸ kola jakoÅ› rozmieszcza na okr¸ b¸ a
egu, etrzne egu ed¸
NIECIAGLE! (najcz¸Å›ciej w punkcie 0). Kolo trzeba bowiem wtedy
¸ e
gdzieś ,,przedziurawić .
ZADANIE 7. (6p)
Podaj definicj¸ funkcji I klasy Baire a.
e
ROZW.
Musi istnieć ciag funkcji ciaglych fn zbieżny PUNKTOWO do f.
¸ ¸
Tomasz Downarowicz