Daniel Józef Bem
NAWIGACJA SATELITARNA
Wroc aw 2001
Sorc®
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 2 -
Spis tre ci
1. WPROWADZENIE 3
2. PODSTAWOWE POJ CIA STOSOWANE W NAWIGACJI 4
3. CHARAKTERYSTYKA SATELITARNYCH SYSTEMÓW NAWIGACYJNYCH 6
4. UK ADY WSPÓ RZ DNYCH 7
4.1. GEOCENTRYCZNY INERCYJNY UK AD WSPÓ RZ DNYCH 7
4.2. GEOCENTRYCZNY OBRACAJ CY SI WRAZ Z ZIEMI UK AD WSPÓ RZ DNYCH 8
4.3. WIATOWY SYSTEM GEODEZYJNY (WGS-84) 8
5. ORBITY SZTUCZNYCH SATELITÓW ZIEMI 11
6. SYSTEM NAWIGACJI SATELITARNEJ NAVSTAR GPS 18
6.1. KRÓTKA CHARAKTERYSTYKA 18
6.2. KONSTELACJA GPS 20
6.3. INFORMACJA NAWIGACYJNA 22
6.4. OKRE LENIE POZYCJI U YTKOWNIKA 24
6.5. B D OKRE LENIA POZYCJI U YTKOWNIKA 28
6.6. EFEKTY RELATYWISTYCZNE 30
6.7. RÓ NICOWE SYSTEMY GPS 31
BIBLIOGRAFIA 32
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 3 -
1. Wprowadzenie
Nawigacja zajmuje si procesem kierowania ruchami pojazdów (l dowych, morskich,
powietrznych, kosmicznych) z jednego punktu do drugiego. W pierwszych podró ach cz owiek
u ywa swoich zmys ów do okre lania kierunku, odleg o ci, pr dko ci i pozycji obiektu, w którym
podró owa . Nie by o to zbyt trudne na l dzie bogatym w ró norodne punkty orientacyjne. Kiedy
jednak cz owiek sta si na tyle mia y, aby wyp yn na morze, wówczas musia si gn do
pomocy przyrz dów u atwiaj cych obserwacj zjawisk przyrody (wiatru, fal wody, cia niebieskich).
Przez wiele wieków jednak nawigacja by a raczej sztuk ni nauk . Pod koniec dwudziestego
stulecia nawigacja rozwin a si w wiedz , umo liwiaj c cz owiekowi podró owanie zarówno na
Ziemi, jak i w przestrzeni kosmicznej, wykorzystuj c w wysokim stopniu najnowsze osi gni cia
matematyki, elektroniki, mechaniki, ekonomii i filozofii. Przekszta cenie nawigacji ze sztuki w
wiedz odby o si stosunkowo niedawno i jest ci le zwi zane z rozwojem teorii systemów,
matematyki, informatyki i technologii elektronowej.
Podstawowym zadaniem nawigacji jest doprowadzenie poruszaj cego si pojazdu (l dowego,
morskiego, powietrznego, kosmicznego) do okre lonego punktu z za o on dok adno ci i we
w a ciwym czasie. W celu dok adnego wykonania tego zadania stosuje si ró ne urz dzenia i
systemy nawigacyjne, w ród których mo na wyró ni :
- mechaniczne i elektromechaniczne (logi, yrokompasy, inercyjne systemy nawigacyjne),
- magnetyczne (kompasy magnetyczne, magnetometry),
- optyczne i kwantowo-optyczne (sekstanty, pelengatory podczerwieni, dalmierze, lokatory
optyczne),
- akustyczne i hydroakustyczne (pelengatory akustyczne, echosondy, hydrolokatory),
- radiolokacyjne (dalmierze),
- radiowe.
Wszystkie wymienione rodki nawigacyjne mog by stosowane w rozmaitych warunkach, a w
celu zwi kszenia dok adno ci okre lenia pozycji statku informacje z nich otrzymane musz by
wzajemnie uzupe niane. Zastosowanie ka dego z tych rodków oddzielnie nie zawsze jest
mo liwe, ze wzgl du na z e warunki meteorologiczne, ograniczon widoczno ziemskich i
niebieskich punktów orientacyjnych, dzia anie anomalii magnetycznych na wskazania kompasu,
zak ócenia wyst puj ce na S o cu oraz burze magnetyczne powoduj ce pogorszenie si
warunków rozchodzenia si fal radiowych itd.
Z tego wzgl du w celu wykonania zada nawigacyjnych na pojazdach instaluje si ró ne przyrz dy
i urz dzenia nawigacyjne, które umo liwiaj okre lenie pozycji pojazdu w zale no ci od ró nych
warunków, w jakich pojazd si znajduje. Szczególnie jest to istotne w warunkach d ugotrwa ego
poruszania si pojazdu w rejonach nie zbadanych i pozbawionych znaków orientacyjnych (np.
okr ty podwodne p ywaj ce w zanurzeniu).
Szczególnie atrakcyjne s systemy radionawigacyjne. Ju pierwsi u ytkownicy radia stwierdzili, e
mo e ono zapewni zarówno czno , jak i informacj nawigacyjn . Pocz tkowo zastosowanie
radia w nawigacji by o ograniczone do wykonywania namiarów na istniej ce radiostacje
komunikacyjne, a pó niej tak e radiofoniczne. Z biegiem czasu rozwin y si wyspecjalizowane
systemy radionawigacyjne. Urz dzenia i systemy radionawigacyjne umo liwiaj otrzymanie
okre lonych informacji o parametrach nawigacyjnych i mog by stosowane samodzielnie lub te
kompleksowo. W zale no ci od rodzaju wyposa enia mog one by autonomiczne lub zale ne.
Aparatura autonomicznych rodków nawigacyjnych jest zainstalowana na pok adzie pojazdu, a
okre lenie parametrów nawigacyjnych odbywa si bez otrzymywania informacji powsta ych z
wykorzystaniem innych urz dze radionawigacyjnych.
Zale ne rodki tworz systemy radionawigacyjne sk adaj ce si z pok adowego (ruchomego) i
naziemnego (zasadniczo stacjonarnego) wyposa enia.
Urz dzenia i systemy radionawigacyjne, w zale no ci od zestawu wykonywanych zada i ich
wykorzystania, mo na scharakteryzowa przez:
- zasi g dzia ania, czyli najwi ksz odleg o pomi dzy pojazdem i punktem
radionawigacyjnym, w której uzyskuje si jeszcze wymagan dok adno (wed ug zasi gu
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 4 -
dzia ania systemy radionawigacyjne dzieli si na systemy bliskiego (do 800 km), redniego (do
3000 km) i dalekiego (powy ej 3000 km) zasi gu);
- dok adno pomiaru parametrów nawigacyjnych, które okre la przeznaczenie urz dze i
systemów radionawigacyjnych;
- szybko uzyskiwania danych (co jest szczególnie wa ne w lotnictwie i technice
rakietowej);
- przepustowo , czyli zdolno systemu do jednoczesnego obs ugiwania okre lonej liczby
obiektów;
- odporno na zak ócenia;
- niezawodno ;
- ekonomiczno ;
- rozmiary i masa, które maj szczególne znaczenie przy umieszczaniu urz dze na
samolotach i rakietach;
- zdolno do pracy w okre lonych warunkach rodowiskowych.
2. Podstawowe poj cia stosowane w nawigacji
Podczas prowadzenia pojazdu i okre lania jego pozycji stosuje si nast puj ce podstawowe
poj cia:
- pr dko pojazdu, która charakteryzuje si przesuni ciem jego rodka ci ko ci w
jednostce czasu,
- tor ruchu pojazdu, którym jest linia, jak zakre la w przestrzeni rodek ci ko ci pojazdu,
- trasa, czyli rzut toru na powierzchni Ziemi,
- kurs, którym jest k t mierzony w p aszczy nie poziomej mi dzy kierunkiem pó nocnym
po udnika przechodz cego przez rodek ci ko ci pojazdu i jego pod u n osi ,
- namiar, który jest k tem mierzonym w p aszczy nie poziomej mi dzy pó nocnym
kierunkiem po udnika przechodz cego przez rodek ci ko ci pojazdu i kierunkiem na dany punkt
orientacyjny,
- pozycja w dowolnym czasie, która okre la rzut rodka ci ko ci pojazdu na powierzchni
Ziemi,
- pozycja obserwowana, czyli otrzymana na podstawie obserwacji przedmiotów sta ych,
których po o enie jest ci le okre lone na mapie lub na podstawie obserwacji cia niebieskich,
- pozycja zliczona, któr jest miejsce pojazdu liczone od ostatniej pozycji obserwowanej, a
otrzymane na podstawie znajomo ci kursu rzeczywistego i przebytej odleg o ci stwierdzonej
wed ug przyrz dów, z uwzgl dnieniem oddzia ywania si zewn trznych (pr dów morskich,
wiatrów).
Zasadniczo pozycj pojazdu okre la si w stosunku do powierzchni Ziemi wed ug przyj tego
uk adu wspó rz dnych. Podczas lotu w przestrzeni kosmicznej wspó rz dne pojazdu kosmicznego
okre la si w stosunku do planet i gwiazd, których po o enie w przestrzeni jest znane. W celu
okre lenia pozycji pojazdu za pomoc rodków technicznych, wyznacza si okre lone parametry
nawigacyjne, jak np. odleg o od oznaczonych punktów na Ziemi lub k ty, pod jakimi te punkty s
widoczne ze pojazdu; parametry te nie s wspó rz dnymi geograficznymi.
Mierzone parametry nawigacyjne i wspó rz dne geograficzne s ze sob zwi zane okre lonymi
równaniami, których graficzne rozwi zania stanowi tzw. linie pozycyjne. Lini pozycyjn nazywa
si miejsce geometryczne punktów na powierzchni Ziemi, odpowiadaj cej sta ej warto ci mierzonej
wielko ci, a wi c k ta, odleg o ci, ró nicy lub sumy odleg o ci.
Na przyk ad lini pozycyjn , czyli miejscem geometrycznym punktów na powierzchni Ziemi, z
których pomierzona zosta a w okre lonym momencie wysoko obserwowanej gwiazdy jest okr g,
którego rodkiem jest rzut gwiazdy (punkt podgwiezdny), a promieniem sferycznym odmierzona
odleg o zenitalna, czyli dope nienie wysoko ci.
Jedna obserwacja daje tylko jedn lini pozycyjn , dwie ró ne obserwacje dokonane w jednym
momencie daj dwie linie pozycyjne, w których przeci ciu znajduje si miejsce obserwacji. Ka dy
system nawigacyjny charakteryzuje si ci le okre lon lini pozycyjn .
Rozpatrzmy g ówne linie pozycyjne spotykane w systemach nawigacyjnych.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 5 -
Ortodroma jest lini najkrótszej odleg o ci mi dzy dwoma punktami na powierzchni kuli. Jak
wynika z podstawowych poj geometrii, najkrótsz odleg o ci na powierzchni kuli pomi dzy
dwoma punktami jest uk ko a wielkiego.
Rys 2.1. Ortodroma
Jak wida na rysunku 2.1, uk ko a wielkiego przechodz cego przez dwa dane punkty jest nie tylko
najkrótszym, ale równie jedynym. Wynika st d wniosek, e przez dwa punkty na powierzchni
Ziemi nie le ce na przeciwleg ych ko cach rednicy kuli ziemskiej mo na przeprowadzi tylko
jedn ortodrom . Ortodroma jest wi c lini pozycyjn wszystkich punktów, których suma odleg o ci
od dwóch punktów danych znajduj cych si na niej jest sta a i najmniejsza.
Linia równych namiarów (lub linia równych azymutów) jest to linia pozycyjna na sferze, maj ca t
w a ciwo , e z ka dego punktu tej linii namiar (azymut) na pewien punkt sta y jest zawsze taki
sam (rys. 2.2).
Rys. 2.2. Linie równych namiarów
Linia równych odleg o ci jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty znajduj si w
jednakowej odleg o ci od danego punktu T (rys. 2.3). Linia ta jest zwi zana z systemami
radionawigacyjnymi opartymi na pomiarach odleg o ci.
Rys. 2.3. Linie równych odleg o ci
Linia równych sum odleg o ci jest to linia pozycyjna, której wszystkie punkty s w takich
odleg o ciach od dwóch danych punktów T1 i T2 (rys. 2.4), e sumy tych odleg o ci s wielko ci
sta a. Wykres tej linii na p aszczy nie przedstawia elips , na powierzchni kuli za elips sferyczn .
Rys. 2.4. Linie równych sum odleg o ci
Linia równych ró nic odleg o ci jest to linia pozycyjna, b d ca miejscem geometrycznych
punktów, których ró nica odleg o ci od dwóch punktów o znanych pozycjach jest sta a. Dla
obserwatora znajduj cego si w dowolnym punkcie R linii pozycyjnej (rys. 2.5) ró nica odleg o ci
(d1 - d2) od tego punktu do dwóch punktów T1 i T2 (których po o enie jest okre lone) jest sta a i
równa 2a. W przypadku rozpatrywania zagadnienia na p aszczy nie omawiana linia pozycyjna jest
hiperbol , a na powierzchni kuli - hiperbol sferyczn .
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 6 -
Rys. 2.5. Linie równych ró nic odleg o ci
Systemy radionawigacyjne umo liwiaj ce wyznaczanie ró nic odleg o ci od dwóch radiostacji
znajduj cych si w okre lonych punktach nosz nazw systemów hiperbolicznych.
Wprowad my jeszcze poj cie loksodromy, któr nazywamy drog pojazdu, przecinaj c po udniki
rzeczywiste pod jednakowymi k tami (rys. 2.6). Na ma ych odleg o ciach ró nica drogi wed ug
ortodromy i loksodromy jest niedu a i zwykle nie bierze si jej pod uwag przy obliczaniu drogi
wed ug loksodromy.
Rys. 2.6. Ortodroma i loksodroma
Nawigacja trójwymiarowa opiera si na powierzchniach pozycyjnych. Powierzchni pozycyjn jest
powierzchnia, z której ka dego punktu parametr nawigacyjny mierzony w stosunku do okre lonego
obiektu kosmicznego (naturalnego lub sztucznego) ma warto sta . W nawigacji l dowej pozycj
pojazdu mo na okre li na podstawie dwóch linii pozycyjnych; do okre lenia pozycji pojazdu w
uk adzie trójwymiarowym nale y zna nie mniej ni trzy powierzchnie pozycyjne. Przeci cie si
dwóch powierzchni pozycyjnych daje lini pozycyjn , która, przecinaj c si z trzeci powierzchni
pozycyjn , wyznacza dwa punkty okre laj ce przypuszczaln pozycj statku. Przybli ona pozycja
pojazdu jest znana, wi c wyst puj c niejednoznaczno okre lenia pozycji atwo wyja ni .
3. Charakterystyka satelitarnych systemów nawigacyjnych
Satelitarne systemy radionawigacyjne charakteryzuj si nast puj cymi zaletami w porównaniu z
klasycznymi systemami radionawigacyjnymi:
- globalno ci systemów (systemy klasyczne, z wyj tkiem systemu Omega nie maj tej
cechy),
- du i prawie jednakow dok adno ci okre lania pozycji na ca ym obszarze
stosowalno ci,
- niezawodno ci od warunków meteorologicznych,
- niezawodno ci od pory roku i doby,
- mo liwo ci przekazywania dodatkowych informacji, nie zwi zanych z nawigacj .
Satelitarny system nawigacyjny tworz nast puj ce elementy:
- okre lona liczba satelitów nawigacyjnych poruszaj cych si dooko a Ziemi po
wyznaczonych orbitach;
- sie stacji obserwacyjnych odbieraj cych sygna y nadawane przez urz dzenia
zainstalowane na satelitach; stacje te maj czno z centrum sterowania systemem, w którym
oblicza si efemerydy satelitów;
- rodki czno ci, s u ce do przekazywania obliczonych efemeryd satelitów
poszczególnym u ytkownikom;
- autonomiczne urz dzenia nawigacyjne, wyznaczaj ce pozycj obiektu.
W zale no ci od rodzaju aparatury radionawigacyjnej systemy satelitarne mog opiera si na
pomiarze odleg o ci, k ta lub na zjawisku Dopplera. Zawsze jednak podstawowym elementem
systemu jest znany i okre lony wzgl dem Ziemi tor lotu satelity, na którego podstawie wyznacza
si linie pozycyjne.
Systemy dopplerowskie opieraj si na pomiarze szybko ci zmiany odleg o ci od obiektu do
satelity, któr okre la cz stotliwo Dopplera. Przeci cie si powierzchni sto kowej
odpowiadaj cej sta ej warto ci cz stotliwo ci Dopplera z powierzchni kuli ziemskiej wyznacza
lini pozycyjn , zwan izodopp (rys. 3.1). Do okre lenia pozycji obiektu w uk adzie
trójwymiarowym trzeba wyznaczy trzy linie pozycyjne, tzn. zmierzy warto ci pr dko ci satelity
wzgl dem punktu obserwacji w trzech kolejnych chwilach.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 7 -
Zasada okre lania pozycji obiektu na podstawie pomiaru cz stotliwo ci Dopplera jest analogiczna
do zasady klasycznych hiperbolicznych systemów nawigacyjnych, w których baza jest równa
odleg o ci przebywanej przez satelit w wybranym przedziale czasu.
Rys. 3.1. Tworzenie linii pozycyjnej - izodoppy - w satelitarnym dopplerowskim systemie
nawigacyjnym
Dopplerowskim satelitarnym systemem nawigacyjnym by system Transit opracowany na pocz tku
lat sze dziesi tych na potrzeby ameryka skiej flotylli odzi podwodnych Polaris. W roku 1968
system ten, po udoskonaleniu, zosta oddany do u ytku cywilnego pod nazw NNSS (ang. Naval
Navigation Satellite System). Szybko sta si on popularnym i niezawodnym rodkiem okre lania
pozycji statków morskich w skali ca ego globu. redni b d okre lenia pozycji wynosi 0,5 mili
morskiej w skali globalnej.
Systemy odleg o ciowe. Powierzchnia pozycyjna ma posta sfery ze rodkiem w punkcie, w
którym znajduje si satelita w momencie dokonywania pomiaru odleg o ci i promieniu równym
odleg o ci mi dzy obiektem i satelit . Do okre lenia pozycji obiektu w uk adzie trójwymiarowym
nale y wyznaczy co najmniej trzy powierzchnie pozycyjne (rys. 3.2). Mo na tego dokona b d
mierz c w tym samym czasie odleg o ci od trzech ró nych satelitów, b d mierz c trzy odleg o ci
do tego samego satelity w ró nych momentach.
Rys. 3.2. Powierzchnia pozycyjna w postaci sfery (a); przeci cie si dwóch powierzchni
pozycyjnych (dwóch sfer) wyznacza lini pozycyjn w postaci okr gu (b); przeci cie si tej linii
pozycyjnej z trzeci powierzchni pozycyjn wyznacza dwa mo liwe po o enia pojazdu (c); zwykle
nie ma k opotu ze stwierdzeniem, które z tych po o e jest w a ciwe
Pomiar odleg o ci do jednego satelity wyznacza powierzchni pozycyjn w postaci sfery. Pomiar
odleg o ci do drugiego satelity wyznacza drug powierzchni pozycyjn , równie w postaci sfery.
Przeci cie tych powierzchni pozycyjnych wyznacza lini pozycyjn w postaci okr gu. Przeci cie
si tej linii pozycyjnej z trzeci powierzchni pozycyjn , uzyskan w wyniku pomiaru odleg o ci do
trzeciego satelity, wyznacza dwa mo liwe po o enia pojazdu. Zwykle nie ma k opotu ze
stwierdzeniem, które z tych po o e jest w a ciwe.
4. Uk ady wspó rz dnych
W celu sformu owania równa umo liwiaj cych okre lenie pozycji i pr dko ci pojazdu na
podstawie pomiaru odleg o ci do satelitów nale y wybra odpowiednie uk ady wspó rz dnych.
Zwykle wektory po o enia i pr dko ci satelity i wektory po o enia i pr dko ci odbiornika
nawigacyjnego okre la si w kartezja skich uk adach wspó rz dnych.
4.1. Geocentryczny inercyjny uk ad wspó rz dnych
Geocentryczny inercyjny uk ad wspó rz dnych (ang. ECI - Earth-Centered Inertial Coordinate
System) jest to kartezja ski uk ad wspó rz dnych, którego p aszczyzna x-y pokrywa si z
p aszczyzn równikow Ziemi, o x jest stale skierowana ku ustalonemu punktowi na sferze
niebieskiej (zwykle jest to punkt równonocy wiosennej), o z pokrywa si z osi Ziemi i jest
skierowana ku biegunowi pó nocnemu, o y dobiera si tak, aby utworzy prawoskr tny uk ad
wspó rz dnych (rys. 4.1).
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 8 -
Rys. 4.1. Geocentryczny inercyjny uk ad wspó rz dnych (ECI)
Uk ad ECI jest inercyjny w tym sensie, e równania ruchu sztucznych satelitów Ziemi zapisane w
tym uk adzie spe niaj niutonowskie prawa ruchu i grawitacji.
Pewien k opot z podan definicj uk adu ECI wynika z nieregularno ci ruchu Ziemi. Wskutek
niesferycznego kszta tu Ziemi i niejednorodnego rozk adu masy, grawitacyjne oddzia ywanie
S o ca i Ksi yca powoduje przemieszczanie si ziemskiej p aszczyzny równikowej wzgl dem
sfery niebieskiej. Poniewa o x jest okre lona wzgl dem ustalonego punktu na sferze niebieskiej,
a o z - wzgl dem ziemskiej p aszczyzny równikowej, to podana wcze niej definicja uk adu ECI nie
zapewnia w rzeczywisto ci jego inercyjno ci. Rozwi zaniem tego k opotu jest zdefiniowanie
po o enia osi uk adu wspó rz dnych w ustalonym momencie czasu, zwanym epok . Na potrzeby
systemu GPS przyj to po o enie osi uk adu ECI 1 stycznia 2000 roku o godzinie 12.00 czasu UTC
(ang. Coordinated Universal Time). O x jest skierowana od rodka Ziemi ku punktowi równonocy
wiosennej, pozosta e osie - zgodnie z wcze niejszym opisem. W ten sposób po o enie osi zosta o
dla danej epoki jednoznacznie ustalone, a wi c uk ad ECI sta si rzeczywi cie uk adem
inercyjnym.
4.2. Geocentryczny obracaj cy si wraz z Ziemi uk ad wspó rz dnych
Do okre lenia po o enia odbiornika nawigacyjnego (GPS) wygodniej jest stosowa uk ad
wspó rz dnych, który obraca si wraz z Ziemi (ang. ECEF - Earth-Centered Earth-Fixed
Coordinate System). W takim uk adzie wspó rz dnych atwiej jest wyznaczy wspó rz dne
geograficzne i wysoko pojazdu. Podobnie jak w uk adzie ECI, w uk adzie ECEF p aszczyzna x-y
pokrywa si z równikow p aszczyzn Ziemi, o x jest jednak skierowana na po udnik Greenwich
(00), a o y - na po udnik (900 E) . Osie x i y obracaj si wi c zgodnie z obrotem Ziemi i nie
opisuj ustalonych kierunków w inercjalnej przestrzeni. O z jest prostopad a do p aszczyzny
równikowej i skierowana ku biegunowi pó nocnemu.
W celu okre lenia pozycji odbiornika GPS nale y najpierw dokona przetworzenia efemeryd
satelitów z uk adu wspó rz dnych ECI do uk adu wspó rz dnych ECEF. W dalszym ci gu nie
b dziemy si zajmowali problemem przetworzeniem efemeryd satelitów z uk adu ECI do uk adu
ECEF. Zak adamy wi c, e znane s wspó rz dne satelitów GPS w uk adzie ECEF.
4.3. wiatowy system geodezyjny (WGS-84)
Standardowym modelem fizycznym Ziemi stosowanym w systemie GPS jest model opisany w
wiatowym systemie geodezyjnym WGS-84 (ang. World Geodetic System - 84). W modelu tym
rzeczywisty kszta t Ziemi aproksymuje si elipsoid obrotow . Przekroje modelu p aszczyznami
równoleg ymi do p aszczyzny równikowej s ko ami. Promie przekroju równikowego wynosi
6378,137 km. Jest to redni równikowy promie Ziemi. Przekroje modelu p aszczyznami
normalnymi do p aszczyzny równikowej s elipsami (rys. 4.2). Wielka o przekroju zawieraj cego
o z pokrywa si z równikow rednic ziemi; wielka pó o a ma wi c tak sam d ugo jak redni
promie równikowy. Ma a pó o przekroju pokazanego na rysunku 9 pokrywa si z biegunow
rednic Ziemi. Ma a pó o b ma w modelu WGS-84 d ugo 6356,7523142 km.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 9 -
Rys. 4.2. Elipsoidalny model Ziemi (przekrój p aszczyzna normaln do p aszczyzny równikowej)
Parametry modelu WGS-84:
- mimo ród
b2 6356,75231422
e = 1 = 1 = 0,08181919093, (4.1)
a2 6378,1372
- sp aszczenie
b 6356,7523142
f = 1 = 1 = 0,003352810672. (4.2)
a 6378,137
Czasem u ywa si dodatkowego parametru, zwanego drugim mimo rodem
a2 a
e' = 1 = e = 0,0820944379496. (4.3)
b2 b
W celu okre lenia wspó rz dnych geodezyjnych: szeroko ci ( ) i d ugo ci ( ) oraz wysoko ci (h)
u ytkownika (odbiornika nawigacyjnego GPS). wprowad my nast puj ce oznaczenia (rys. X.12).
Po o enie u ytkownika (punkt S) okre la wektor u = (xu , yu , zu ), przy czym (xu , yu , zu ) s
wspó rz dnymi u ytkownika (odbiornika nawigacyjnego) w uk adzie wspó rz dnych ECEF; O jest
rodkiem Ziemi. Punktem na powierzchni elipsoidy najbli szym wzgl dem po o enia u ytkownika
jest punkt N. Prosta wyznaczona przez wektor n normalny do powierzchni elipsoidy wystawiony w
punkcie N przecina p aszczyzn równikow w punkcie P. Punkt A jest punktem na równiku
najbli szym do punktu P.
D ugo geodezyjna jest to k t mi dzy u ytkownikiem i osi x, mierzony w p aszczy nie x-y
yk
arctg , xu 0,
xk
yk
= 1800 + arctg , xu < 0 i yu 0, (4.4)
xk
yk
1800 + arctg , xu < 0 i yu < 0.
xk
przy czym k ty ujemne odpowiadaj d ugo ci zachodniej.
Szeroko geodezyjn wyznacza k t mi dzy wektorem normalnym do powierzchni elipsoidy i
jego rzutem na p aszczyzn równikow (k t NPA na rysunku 4.2). Konwencjonalnie przyjmuje si ,
e jest dodatnie, je li zu > 0(u ytkownik znajduje si na pó kuli pó nocnej) i ujemne, je li zu < 0.
Wysoko geodezyjna h jest równa d ugo ci odcinka SN na rysunku 4.2. Obliczona przez
odbiornik GPS, stosuj cy model WGS-84, wysoko geodezyjna mo e znacznie ró ni si od
wysoko ci odczytanej z mapy. Wynika to z ró nic mi dzy elipsoid WGS-4 i geoid (lokalny redni
poziom morza). W celu zwi kszenia dok adno ci okre lenia wysoko ci odbiornika mo na stosowa
modele Ziemi obowi zuj ce lokalnie, np. European Datum 1950 (ED-50).
Wzory umo liwiaj ce okre lenie wspó rz dnych geodezyjnych ( , ,h) u ytkownika na podstawie
jego wspó rz dnych w uk adzie kartezja skim ECEF (xu , yu , zu ) zebrano w tabeli 4.1.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 10 -
Tabela 4.1
Obliczenie wspó rz dnych geodezyjnych na podstawie wspó rz dnych u ytkownika xu, yu,zu
w uk adzie ECEF
(1) 2 2
r = xu + yu
(2)
E2 = a2 b2
2
(3)
F = 54b2zu
2
(4)
G = r2 + (1 e2 )zu e2E2
e4Fr2
(5)
c =
G3
3
(6)
s = 1 + c + c2 + 2c
F
P =
(7)
2
1
3 s + +1 G2
s
(8) Q = 1+ 2e4P
2
( ) 1
Pe2r 1 1 P 1 e2 zu
(9)
r0 = + a2 1 + Pr2
1+ Q 2 Q 2
Q 1 + Q
( )
2
(10) U = (r e2r0 )2 + zu
2
(11) V = (r e2r0 )2 + (1 e2 )zu
b2zu
(12) z0 =
aV
b2
(13)
h = U 1
aV
zu + e'2z0
(14)
= arctg
r
yu
= arctg
(15)
xu
Okre lenie wektora po o enia u ytkownika u = (xu , yu , zu ), na podstawie znajomo ci jego
wspó rz dnych geodezyjnych ( , ,h) opisuje wzór
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 11 -
a cos
+ h cos cos
1+ 1 e2 tg2
( )
a sin
u = + h sin cos (4.5)
1+ 1 e2 tg2
( )
a 1 e2 sin
( )+ h sin
1 e2sin2
5. Orbity sztucznych satelitów Ziemi
Ruch sztucznego satelity w polu grawitacyjnym Ziemi mo na okre li na podstawie newtonowskich
zasad mechaniki i prawa powszechnego ci enia. Rozwa my jednorodn kulist Ziemi o masie
m i satelit o masie ms znajduj ce si w odleg o ciach odpowiednio r1 i r2 od pocz tku dowolnie
wybranego inercjalnego uk adu odniesienia (rys. 5.1). Z drugiego
m
F2
r
ms
F1
r1
r2
Rys. 5.1. Ziemia i satelita w inercjalnym uk adzie wspó rz dnych
prawa Newtona (iloczyn masy cia a przez jego przyspieszenie jest równy sile dzia aj cej na to
cia o) wynika, e si y dzia aj ce na Ziemi i satelit s opisane równaniami:
2r
d
1
, (5.1a)
F1 = m
dt2
2
d r2
F2 = ms . (5.1bb)
dt2
Prawo powszechnego ci enia g osi, e si a przyci gania mi dzy dwoma dowolnymi cia ami jest
wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg o ci
mi dzy nimi, zatem
mms r
F1 = F2 = g , (5.2)
r2 r
przy czym g = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 jest sta grawitacyjn .
Z równa (X.6) i (X.7) wynika, e:
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 12 -
2
d r1 ms r
= g ; (5.3a)
dt2 r2 r
2
d r2 m r
= g . (5.3b)
dt2 r2 r
Po odj ciu stronami równa (5.3b) i (5.3a) oraz podstawieniu r = r2 - r1 otrzymujemy
2
d r
r
= g(m + ms ) . (5.4)
dt23
Masa sztucznego satelity jest nieporównywalnie ma a w stosunku do masy Ziemi, mo emy wi c j
zaniedba w równaniu (5.4). Otrzymamy wówczas
2
d r
r
= µ , (5.5)
3
dt2
przy czym µ = 3,986013 x 1014 m3 s-2 jest sta przyci gania Ziemi (masa Ziemi m = 5,975 x 1024
kg). Równanie (X.10) jest znane jako równanie ruchu dwóch cia . Opisuje ono ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Z pewnym przybli eniem opisuje ono tak e ruch
satelity Ziemi po orbicie.
W 1609 r. Kepler sformu owa , na podstawie obserwacji ruchu planet, trzy prawa dotycz ce ich
orbit. W odniesieniu do orbit sztucznych satelitów Ziemi maj one nast puj c posta .
1. Prawo Keplera. Orbita sztucznego satelity Ziemi jest elips (w szczególnym przypadku
okr giem) i le y w nieruchomej p aszczy nie przechodz cej przez rodek ci ko ci Ziemi, który
znajduje si w jednym z jej ognisk (w rodku okr gu w przypadku orbity ko owej).
2. Prawo Keplera. Promie wodz cy satelity (odcinek cz cy satelit ze rodkiem ci ko ci
Ziemi) zakre la w jednakowych odst pach czasu jednakowe pola.
3. Prawo Keplera. Stosunek kwadratów okresów obiegu satelitów jest równy stosunkowi
sze cianów ich rednich odleg o ci od rodka ci ko ci Ziemi, tzn. sze cianów wielkich pó osi ich
orbit.
Z praw Keplera wynikaj trzy równania.
1. Równanie energii
1 µms
mv2 = W = const , (5.6)
s
2
przy czym W jest ca kowit energi satelity, a v - jego pr dko ci . Z równania (5.6) wynika, e
ca kowita energia satelity nie ulega zmianie w trakcie jego ruchu po orbicie. Oddalaniu si satelity
od rodka ci ko ci Ziemi towarzyszy wi c zmniejszenie si jego pr dko ci, zbli aniu natomiast -
wzrost pr dko ci.
2. Równanie pól
r × v = C = const (5.7a)
lub
d
r2 = C . (5.7b)
dt
Równania (5.7) s matematycznym zapisem tre ci drugiego prawa Keplera. Z wektorowej postaci
tego równania wynika, e ruch satelity odbywa si w nieruchomej p aszczy nie przechodz cej
przez rodek ci ko ci Ziemi. P aszczyzn t nazywamy p aszczyzn orbity.
3. Równanie Laplace a
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 13 -
( )r (5.8)
v × C µ = A = const ,
r
przy czym A jest wektorem Laplace a. Równanie (5.8) okre la zwi zek mi dzy wektorami r, v i C.
Z równania pól (5.7) i równania Laplace a (5.8) wynika, e orbita cia a poruszaj cego si w
centralnym polu grawitacyjnym jest krzyw sto kow , w której ognisku znajduje si centrum
przyci gania. Trajektoria sztucznego satelity Ziemi jest krzyw zamkni t , wi c jego ruch mo e
odbywa si tylko po elipsie lub okr gu, który jest szczególnym przypadkiem elipsy. Ruch po
innych krzywych sto kowych jest zwi zany z ucieczk satelity z pola przyci gania Ziemi. W ten
sposób dochodzimy do pierwszego prawa Keplera.
a
a
Pomocniczy
okr g
Orbita
p Satelita
b
a
r
E
Perigeum
Apogeum
O2
O1
Ziemia
a
rp
ra
Rys. 5.2. Orbita sztucznego satelity Ziemi
Równanie elipsy w biegunowym uk adzie wspó rz dnych (rys. 5.2) ma posta
p
r = , (5.9)
1 + e cos
przy czym:
C2
p =
- parametr ogniskowy (dodatnia warto rz dnej wystawionej z
µ
ogniska),
A
e =
- mimo ród.
µ
Kszta t orbity zale y od mimo rodu e. Je li e = 0, to elipsa przechodzi w okr g, mówimy wówczas
o orbicie ko owej. Je li 0 < e < 1, to mamy do czynienia z orbita eliptyczn . Warto ci = 0
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 14 -
odpowiada najwi ksze zbli enie satelity do rodka ci ko ci Ziemi (perigeum), warto ci =
natomiast odpowiada najwi ksze oddalenie satelity od rodka Ziemi (apogeum). K t liczymy od
perigeum orbity w kierunku ruchu satelity. W astronomii k t nazywa si anomali prawdziw .
Lini cz c punkty apogeum i perigeum nazywamy lini apsyd.
Pos uguj c si znanymi zale no ciami geometrii analitycznej, mo emy zapisa kilka u ytecznych
zale no ci wi cych parametry orbity eliptycznej:
- odleg o perigeum od rodka ci ko ci Ziemi (promie perigeum)
p
rp = , (5.10)
1+ e
- odleg o apogeum od rodka ci ko ci Ziemi (promie apogeum)
p
ra = , (5.11)
1 e
- du a pó o orbity
ra + rp
a = , (5.12)
2
- ma a pó o orbity
b = a 1 e2 , (5.13)
- mimo ród
ra rp
e = , (5.14)
2a
- parametr ogniskowy
p = a 1 e2 . (5.15)
( )
Kszta t i rozmiary orbity eliptycznej okre laj w pe ni dowolne dwa z wymienionych parametrów.
Bie c warto promienia wodz cego w czasie ruchu satelity po orbicie opisuje równanie (5.10).
Podanie jawnej zale no ci promienia wodz cego od czasu nie jest mo liwe. W zwi zku z tym
wprowadza si poj cie anomalii mimo rodowej E, odpowiadaj cej ruchowi hipotetycznego satelity
po orbicie ko owej o promieniu równym du ej pó osi orbity rzeczywistej (rys. 5.2), zwi zanej z
anomali prawdziw równaniem
E 1 e
tg = tg . (5.16)
2 1 + e 2
Anomalia mimo rodowa jest zwi zana z czasem równaniem Keplera
E e sin E = M , (5.17)
przy czym:
µ
M = (t t ) - anomalia rednia, (5.18)
p
a3
tp - moment przej cia satelity przez perigeum.
Okres obiegu satelity po orbicie mo na wyznaczy z równania (5.17) po podstawieniu E = 2 ,
otrzymujemy wówczas
a3
Ts = 2 . (5.19)
µ
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 15 -
Z równania (5.19) wynika trzecie prawo Keplera
3
T12 a1
= . (5.20)
3
T22 a2
Pr dko satelity na orbicie jest opisana wzorem
µ
v = 1 + e2 + 2e cos . (5.21)
()
p
Mo na j roz o y na dwie sk adowe:
- styczn
µ
()
vt = 1+ e cos , (5.22a)
p
- radialn
µ
vr = esin . (5.22b)
p
W apogeum i perigeum znika sk adowa radialna pr dko ci satelity; sk adowa styczna przyjmuje
odpowiednio warto ci:
µ
( )
va = 1 e , (5.23a)
p
µ
( )
vp = 1 + e . (5.23b)
p
W przypadku orbity ko owej sk adowa radialna pr dko ci satelity nie wyst puje w ogóle, a
sk adowa styczna jest wyra ona wzorem
µ
v = , (5.24)
r
przy czym r = p jest promieniem orbity.
Elementy orbity. Po o enie orbity w przestrzeni, jej rozmiary oraz po o enie satelity na orbicie,
okre la sze parametrów, zwanych elementami orbity. W ogólnym przypadku p aszczyzna orbity
przecina si z p aszczyzn równika ziemskiego (rys. 5.3), przy czym lad przeci cia nosi nazw
linii w z ów. Punkt, w którym satelita przechodzi przez p aszczyzn równikow poruszaj c si z
po udnia na pó noc, nazywamy w z em wst puj cym; diametralnie przeciwny punkt - w z em
zst puj cym. Po o enie w z a wst puj cego okre lone przez k t mierzony od prostej cz cej
rodek ci ko ci Ziemi z punktem równonocy wiosennej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, patrz c z bieguna pó nocnego, jest pierwszym elementem orbity. Punkt
równonocy wiosennej jest punktem przeci cia si ekliptyki z równikiem niebieskim, odpowiadaj cy
przej ciu S o ca przez punkt Barana (oko o 21 marca). K t nazywamy rektascencj w z a
wst puj cego; mo e on przyjmowa warto ci z przedzia u < 0°, 360° > .
Drugim elementem orbity jest inklinacja, tzn. k t i mi dzy p aszczyzn równika ziemskiego i
p aszczyzn orbity, mierzony od p aszczyzny równikowej w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara, przez obserwatora patrz cego od strony w z a wst puj cego. K t ten mo e
zawiera si w przedziale < 0°, 180°>. W zale no ci od warto ci inklinacji, orbity dzielimy na
równikowe (i = 0), biegunowe (i = 90°) i nachylone. Orbity nachylone mog by proste (0°< i < 90°),
gdy kierunek ruchu satelity jest zgodny z kierunkiem obrotu Ziemi, i przeciwne (90° < i < 180°), gdy
kierunek ruchu satelity jest przeciwny wzgl dem kierunku obrotu Ziemi.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 16 -
Kolejnym elementem orbity jest argument perigeum, tzn. k t mierzony w p aszczy nie orbity w
kierunku ruchu satelity od w z a wst puj cego do perigeum. Argument perigeum mo e zmienia
si w granicach od 0° do 360°. Satelity z apogeum na pó kuli pó nocnej maj argument w
przedziale 180° 360°.
Rektascencja w z a wst puj cego , inklinacja i oraz argument perigeum okre laj po o enie
orbity w przestrzeni. Kszta t i rozmiary orbity okre laj : du a pó o orbity a i mimo ród e.
Szóstym elementem orbity jest czas tp przej cia satelity przez perigeum, cz cy po o enie orbity
w przestrzeni z po o eniem satelity na orbicie.
Linia w z ów
W ze
zst puj cy
Perigeum
W ze
wst puj cy
P aszczyzna
równika
P aszczyzna orbity
Rys. 5.3. Elementy orbity sztucznego satelity Ziemi
Rektascencja w z a wst puj cego , inklinacja i, argument perigeum , du a pó o orbity a,
mimo ród e i czas przej cia satelity przez perigeum tp s keplerowskimi elementami orbity.
Równanie (5.5) nie opisuje dok adnie ruchu sztucznego satelity Ziemi poniewa Ziemia nie jest
kulista i nie ma równomiernego rozk adu masy. Niech V przedstawia rzeczywisty potencja
grawitacyjny Ziemi w dowolnym punkcie przestrzeni, równanie (5.5) mo na wówczas zapisa w
postaci
2
d r
= V , (5.25)
dt2
przy czym
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 17 -
V
x
V
V .
y
V
x
W zagadnieniu dwóch cia V = µ/r, wi c
r
x2 + y2 + z2
x x
x
µ µ r µ µµ
= = x2 + y2 + z2 = y = r.
r r2 y r2 y r3 r3
z
r
x2 + y2 + z2
z z
Równanie (5.25) jest zatem rzeczywi cie uogólnieniem równania (5.5), opisuj cego ruch punktu
materialnego w centralnym polu grawitacyjnym.
Rzeczywiste pole grawitacyjne Ziemi modeluje si za pomoc szeregu harmonicznych
sferycznych. Pole w punkcie P o wspó rz dnych (r, , ) opisuje wyra enie
l
l
µ a
V = 1 + Plm(sin )[Clm cos m + Slm sin m ] , (5.26)
r r
l=2 m=0
przy czym:
r - odleg o punktu P od rodka Ziemi (pocz tku uk adu wspó rz dnych);
- geocentryczna szeroko punktu P (k t mi dzy wektorem r i p aszczyzn x-y;
- wzniesienie proste punktu P;
a - redni równikowy promie Ziemi (6378,137 km w modelu WGS-84);
Plm - stowarzyszona funkcja Legendre'a;
Clm - kosinusowy wspó czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m;
Slm - sinusowy wspó czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz du m.
Zauwa my, e pierwszy cz on po prawej stronie równania (5.26) reprezentuje centralne pole
grawitacyjne. Zauwa my równie , e szeroko geocentryczna w równaniu (5.26) jest ró na od
szeroko ci geodezyjnej okre lonej w . W systemie WGS-84 okre lono sferyczne wspó czynniki
harmoniczne Clm i Slm a do osiemnastego stopnia i rz du.
Dodatkowo na satelity nawigacyjne dzia aj nast puj ce si y: pole grawitacyjne tzw. trzecich cia ,
przede wszystkim S o ca i Ksi yca, ci nienie promieniowania s onecznego, p ywy ziemskie,
odgazowanie (powolne uwalnianie si gazów ze struktury satelity), manewry orbitalne. Wp yw tych
wszystkich si uwzgl dnia si przez wprowadzenie do równania (5.25) cz onu korekcyjnego w
postaci wektora ad , tak wi c równanie ruchu satelity przyjmuje posta
2
d r
= V + ad . (5.27)
dt2
W ró ny sposób mo na opisa orbitalne parametry satelity. Najbardziej oczywistym sposobem jest
okre lenie wektora pozycyjnego r0 = r(t0 ) i wektora pr dko ci v0 = v(t0)w pewnym momencie
odniesienia t0 i rozwi zanie równania ruchu (5.27) w celu okre lenia wektora pozycyjnego r(t) i
wektora pr dko ci v(t) satelity w dowolnym czasie t. Tak postawione zadanie mo e by
rozwi zane analitycznie tylko dla zagadnienia dwóch cia ; uwzgl dnienia perturbacji
wprowadzanych przez inne czynniki - to znaczy rozwi zanie równania (5.27) - mo na dokona
tylko numerycznie.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 18 -
W równaniu potencja owym (5.26) dominuj cym sk adnikiem jest centralne pole grawitacyjne.
Mo na wi c rozwi zanie równania ruchu satelity w rzeczywistych warunkach (5.27) opisa za
pomoc sze ciu klasycznych elementów keplerowskich, z tym e nie b d one niezale ne od
czasu. Takie elementy orbity nazywamy ci le stycznymi.
6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS
6.1. Krótka charakterystyka
Na pocz tku lat sze dziesi tych kilka ameryka skich organizacji rz dowych, w tym organizacje
wojskowe, Krajowa Administracja Aeronautyki i Kosmonautyki (National Aeronautics and Space
Agency - NASA), Departament Transportu (Department of Transportation - DOT) by y
zainteresowane zbudowaniem satelitarnego systemu nawigacyjnego. Nowemu systemowi
nawigacyjnemu postawiono nast puj ce wymagania: globalny zasi g, praca ci g a w dowolnych
warunkach pogodowych, zdolno do obs ugiwania pojazdów o du ej dynamice ruchu, du a
dok adno okre lania pozycji.
Dopplerowski system nawigacji satelitarnej Transit, który wszed w faz operacyjn w roku 1964,
by powszechnie akceptowany do okre lania pozycji pojazdów o niezbyt du ej dynamice ruchu.
System ten umo liwia okre lenie pozycji statku znajduj cego si na równiku rednio raz na 110
minut, przy czym okre lenie pozycji trwa o od 10 do 15 minut. Mo liwa cz sto okre lania pozycji
statku wzrasta a ze wzrostem szeroko ci geograficznej, np. przy szeroko ci 800 mo na by o
okre la pozycj statku raz na 30 minut. Mankamenty systemu Transit spowodowa y, e
Marynarka Ameryka ska (US Navy) by a zainteresowana udoskonaleniem systemu Transit lub
budow nowego systemu nawigacji satelitarnej o wymienionych wcze niej w a ciwo ciach. Ró ne
odmiany systemu Transit proponowa o Laboratorium Fizyki Stosowanej Uniwersytetu Johna
Hopkinsa (Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory). Laboratorium Badawcze
Marynarki (Naval Research Laboratory - NRL) pracowa o nad programem satelitarnej precyzyjnej
s u by czasu, zwanym programem Timation. Program ten rozszerzono o mo liwo pomiaru
odleg o ci do satelitów, dzi ki temu system Timation móg s u y do dwuwymiarowego okre lania
pozycji statków.
W tym samym czasie, gdy Marynarka Ameryka ska pracowa a nad udoskonaleniem systemu
Transit i nad programem Timation, Ameryka skie Wojka Lotnicze (US Air Force) przedstawi y
koncepcj satelitarnego systemu nawigacyjnego pod nazw System 621B. Satelity tego systemu,
w liczbie od 15 do 20, mia y porusza si po eliptycznych orbitach o nachyleniu 00, 300 i 600. Do
pomiaru odleg o ci do satelitów proponowano zastosowa kluczowanie fazy sygna u no nego za
pomoc ci gu pseudolosowego. System 621b mia zapewni trójwymiarowe 00,okre lanie pozycji
w skali ca ego globu w dowolnych warunkach meteorologicznych. Koncepcj systemu testowano
za pomoc tzw. pseudolitów, tzn. stacji naziemnych nadaj cych takie same sygna y, jakie mia y
nadawa satelity. Sygna y te by y odbierane przez lataj ce samoloty, które na ich podstawie
okre la y swoje pozycje.
Równie Ameryka ska Piechota (US Army) prowadzi a badania nad wyborem przysz ego systemu
nawigacji satelitarnej. Wynikiem tych bada by o stwierdzenie, najlepszym rozwi zaniem jest
system odleg o ciowy z pomiarem odleg o ci na zasadzie rozpraszania widma sygna u no nego
za pomoc ci gu pseudolosowego.
W roku 1969 Biuro Sekretarza Obrony (The Office of the Secretary of Defence - OSD) ustanowi o
program budowy obronnego systemu nawigacji satelitarnej (Defence Navigation Satellite System -
DNSS), którego zadaniem by o po aczenie dotychczasowych bada prowadzonych przez ró ne
organizacje i zbudowanie jednego - s u cego wszystkim - systemu nawigacji satelitarnej.
Powsta a w ten sposób koncepcja systemu NAVSTAR GPS (NAVSTAR Global Positioning
System),który powinien zaspokoi potrzeby wszystkich u ytkowników. Prace projektowe trwa y do
1979 r. Pierwszego satelit umieszczono na orbicie w lutym 1978 r. System jest obecnie w fazie
operacyjnej i spe nia wymagania postawione mu na pocz tku lat 60. Zapewnia on ci g e,
trójwymiarowe okre lanie pozycji i pr dko ci u ytkownika z du precyzj w skali globalnej,
niezale nie od warunków meteorologicznych, oraz s u b czasu - (ang. UTC - Coordinated
Universal Time).
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 19 -
Konstelacja GPS sk ada si z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych równomiernie na
sze ciu ko owych orbitach podsynchronicznych nachylonych pod k tem 550 . Kr c na wysoko ci
oko o 20183 km nad powierzchni Ziemi satelity wykonuj dwa obroty na dob . Bez przerwy
nadaj one informacj nawigacyjn w dwóch kana ach L1 (cz stotliwo 1575,42 MHz) i L2
(cz stotliwo 1227,60 MHz). Cz stotliwo obu sygna ów no nych, a tak e sygna y zegarowe
steruj ce generatory ci gów pseudolosowych, s uzyskiwane z tego samego wzorca atomowego o
cz stotliwo ci 10,23 MHz. Maksymalna niestabilno wzorca wynosi 10-12 na dob .
Rys. 6.1. Widmo energetyczne na wyj ciu nadajnika satelitowego: wyra nie wida du g sto
widmow sygna u kluczowanego kodem C/A w kanale L1 i ma g sto widmow sygna u
kluczowanego kodem P w kana ach L1 i L2
Sygna y no ne obu kana ów s rozpraszane za pomoc specjalnych binarnych kodów
pseudolosowych (rys. 6.1). Mamy wi c do czynienia z systemem szerokopasmowym z
kluczowaniem fazy przebiegu no nego. W systemie stosuje si dwa kody: standardowy C/A (ang.
Coarse/Acquisition lub Clear/Acquisition) zapewniaj cy powszechnie dost pn s u b okre lania
pozycji SPS (ang. Standard Positioning Service),i precyzyjny P, zapewniaj cy precyzyjn s u b
okre lania pozycji PPS (ang. Precise Positioning Service), dost pn tylko dla wojskowych i
wybranych rz dowych organizacji USA.
Rys. 6.2. Generator ci gów Golda
Kod C/A jest krótkim kodem, zawiera on 1023 bity, generowane z szybko ci 1,023 Mb/s. Kod
C/A powtarza si co milisekund . Ka dy satelita nadaje inny ci g kodowy wybrany z rodziny 1023
ci gów Golda (rys. 6.2) w taki sposób, aby zapewni mo liwie ma korelacj wzajemn mi dzy
ci gami nadawanymi przez poszczególne satelity. Dzi ki temu malej zak ócenia interferencyjne
oraz u atwia si identyfikacj satelity i synchronizacj odbiornika.
S u ba SPS zosta a - w sensie operacyjnym - uruchomiona w grudniu 1993 roku, kiedy sta y si
dost pne 24 satelity nawigacyjne prototypowe i operacyjne pierwszej generacji. B d okre lenia
pozycji za pomoc kodu C/A nie przekracza 100 m (95%) w p aszczy nie poziomej i 133 m (95%)
w p aszczy nie pionowej. Oznacza to, e 95% wyznacze pozycji w ustalonym punkcie mie ci si
wewn trz okr gu o promieniu 100 m w p aszczy nie poziomej i 133 m w p aszczy nie pionowej.
B d ten jest w g ównej mierze spowodowany celowym wprowadzeniem przez Departament
Obrony USA (ang. Department of Defence - DOD) zak óce do efemeryd i zegarów satelitów
nawigacyjnych. Dzia anie to okre la si jako wybiórcz dost pno (ang. Selective Availability -
SA). Wybiórcz dost pno wprowadzono 25 marca 1990 r. Mo na si spodziewa , e DOD
zrezygnuje ze stosowania wybiórczej dost pno ci po roku 2000. B d okre lenia czasu UTC nie
przekracza 340 ns (95%).
Kod P jest bardzo d ugim kodem, okres powtarzania wynosi 267 dób. Ci g kodowy P jest
generowany z szybko ci 10,23 Mb/s. Ka demu satelicie przypisano odcinek tego kodu o d ugo ci
jednego tygodnia. O pó nocy z soboty na niedziel generatory ci gu kodowego na satelitach
rozpoczynaj cykl pracy od pocz tku. Sygna y no ne w obu kana ach s modulowane
(kluczowane) ci giem P, ci gi C/A wyst puj tylko w kanale L1.
Dzi ki krótkiemu okresowi kodu C/A odbiornik atwo osi ga synchroniczn prac . Po
zsynchronizowaniu si odbiornika z kodem C/A mo na przej do ledzenia kodu P. Kod C/A
u atwia wi c synchronizacj startow . Bezpo rednie zsynchronizowanie odbiornika z kodem P
wymaga oby nies ychanie d ugiego czasu.
B d okre lenia pozycji za pomoc kodu P wynosi 22 m (95%) w p aszczy nie poziomej i 27,7 m
(95%) w p aszczy nie pionowej. B d okre lenia czasu nie przekracza 200 ns (95%), a pr dko ci -
0,2 m/s (95%).
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 20 -
Nad prawid ow prac systemu czuwa operacyjny segment sterowania OCS (ang. Operational
Control Segment). Zapewnia on utrzymanie satelitów na ustalonych pozycjach orbitalnych,
monitoruje stan baterii s onecznych, poziom akumulatorów itp. OCS kontroluje stan zegarów
satelitowych, uaktualnia efemerydy i almanach raz na dob lub w miar potrzeby. OCS sk ada si
z Centralnej Stacji Sterowania MCS (ang. Master Control Station) w Colorado Springs i kilku
odleg ych stacji monitoruj cych RMS (ang. Remote Monitor Station).
6.2. Konstelacja GPS
Konstelacja GPS sk ada si z 24 satelitów nawigacyjnych rozmieszczonych na sze ciu ko owych
orbitach podsynchronicznych, po cztery satelity na ka dej orbicie (rys. 6.3). Orbity s równomiernie
rozmieszczone wzd u równika, co 600. Inklinacja wszystkich orbit jest jednakowa i wynosi 550.
Kr c na wysoko ci oko o 20183 km nad powierzchni Ziemi satelity wykonuj dwa obroty na
dob syderyczn . Rysunek 6.4 przedstawia rzut p aski konstelacji z godziny 00.00 1 lipca 1993
roku (UTC). Ka da orbita zosta a "rozci ta" i "u o ona" na p aszczy nie. Podobnie post piono z
równikiem ziemskim. Nachylenie odcinków reprezentuj cych orbity odpowiada ich inklinacjom,
równym 550. Po o enie orbit wzgl dem Ziemi opisuj rektascencje w z ów wst puj cych.
Po o enie satelitów na orbitach okre laj anomalie rednie.
Rozwój satelitów nawigacyjnych GPS odbywa si w kilku fazach, poczynaj c od po owy lat 70. i
jest ci gle kontynuowany. Satelity opracowane w poszczególnych fazach nazywa si blokami. Blok
I obejmowa satelity prototypowe, których zadaniem by o sprawdzenie s uszno koncepcji i
ocenienie przydatno ci systemu GPS. Satelity tego bloku by y umieszczane na orbitach w latach
1978 1985. Jesieni 1995 roku wy czono z ruchu ostatniego satelit prototypowego. Blok II
obejmuje pierwsze satelity produkcyjne, blok IIA - udoskonalone satelity produkcyjne. S one
obecnie u ywane jako satelity operacyjne. Blok IIR obejmuje satelity uzupe niaj ce(rys. 6.5), b d
one umieszczane na orbitach w latach 1997 - 2004. Po roku 2004 przewiduje si wprowadzenie
bloku IIF.
Rys. 6.3. Konstelacja satelitów GP
Rys. 6.4. Rzut p aski konstelacji satelitów GPS
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 21 -
Rys. 6.5. Satelita GPS z bloku IIR
Wyposa enie nawigacyjne satelitów GPS (rys. 6.6) zapewnia odbiór danych z OCS, komunikacj
mi dzy satelitami (tylko satelity bloków IIR i IIF) oraz nadawanie sygna ów nawigacyjnych do
u ytkowników. Sygna y telemetryczne, rezultaty ledzenia satelitów i sygna y telesterowania s
gromadzone w pami ci komputera pok adowego, który wykorzystuje je odpowiednio do
przygotowania informacji nawigacyjnej. Na pok adzie ka dego satelity znajduj si dwa cezowe i
dwa rubidowe zegary atomowe (satelity bloku IIR s wyposa one w jeden cezowy i dwa rubidowe
zegary atomowe). Jeden z tych zegarów jest traktowany jako podstawowy i jest odniesieniem
czasu i cz stotliwo ci dla wszystkich urz dze nawigacyjnych. Pozosta e zegary stanowi
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 22 -
redundancj . Generatory kodów pseudolosowych generuj kody C/A i P, do których dodaje si
modulo 2 informacj nawigacyjn , a nast pnie doprowadza do nadajników pasma L. Nadajniki te
tworz sygna y o rozproszonym widmie w kana ach L1 i L2, które s nast pnie wypromieniowane
w kierunku Ziemi za pomoc odpowiednich anten.
Sygna y
Nadajniki
pasma L
dla u ytkowników
Zegar
Modulator
atomowy
Nadajnik, Komunikacja
Generatory kodów
Komputer
pseudolosowych odbiornik
mi dzy satelitami
Telemetria,
ledzenie i
telesterowanie
Rys. 6.6. Wyposa enie nawigacyjne satelity GPS
6.3. Informacja nawigacyjna
Ka dy satelita nadaje w obu kana ach jednakow informacj nawigacyjn , umo liwiaj c
u ytkownikowi systemu dok adne okre lenie po o enia satelity. Informacja nawigacyjna zawiera
1500 bitów i jest przesy ana z szybko ci 50 b/s. D ugo ramki zawieraj cej informacj
nawigacyjn wynosi wi c 30 s. Ramka jest podzielona na 5 subramek, ka da o d ugo ci 6 s (rys.
6.7).
Ka da subramka zawiera 10 s ów trzydziestobitowych. Pierwsze s owo (TLM) zawiera informacje
telemetryczne, drugie (HOW - ang. Hand over Word) - umo liwia synchronizacj odbiornika z
kodem P. Pozosta e osiem s ów w ka dej subramce s informacjami nawigacyjnymi
przeznaczonymi dla u ytkownika. Blok 1 zawiera dane umo liwiaj ce korekt czasu, ze wzgl du
na dryf generatorów pok adowych, a tak e ze wzgl du na opó nienie fali w jonosferze. Bloki 2 i 3
zawieraj efemerydy satelity nadaj cego informacj (tab. 6.1). Blok 4 jest wykorzystywany do
przesy ania informacji alfanumerycznej. Blok 5 (almanach) zawiera przybli one informacje o
po o eniu pozosta ych satelitów. Informacje te nie mieszcz si w jednej subramce, do przes ania
pe nej informacji wykorzystuje si 19 kolejnych ramek. Almanach powtarza si wi c co 570 s.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 23 -
Subramki (6 s)
HOW
TLM Korekta czasu
HOW
TLM Efemerydy
Ramka
HOW Efemerydy
TLM
(30 s)
HOW
TLM
Informacja alfanumeryczna
HOW
TLM
Almanach
Rys. 6.7. Organizacja ramki informacji nawigacyjnej: TLM - informacja telemetryczna,
HOW (ang. Hand over Word) - synchronizacja kodu P
Tabela 6.1
Efemerydy satelitów GPS
t0e
Czas odniesienia
a
Pierwiastek kwadratowy z wielkiej pó osi
Mimo ród
e
i0 Inklinacja (w momencie t0e)
0
Rektascencja w z a wst puj cego (w epokach tygodniowych)
Argument perigeum (w momencie t0e)
M0 Anomalia rednia ( w momencie t0e)
Szybko zmiany inklinacji
di / dt
"
Szybko zmiany rektascencji w z a wst puj cego
n
Korekcja redniego ruchu
Cuc
Kosinusowy wspó czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko ci
Cus
Sinusowy wspó czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko ci
Crc
Kosinusowy wspó czynnik korekcyjny dla promienia orbity
C
s
Sinusowy wspó czynnik korekcyjny dla promienia orbity
Cic
Kosinusowy wspó czynnik korekcyjny dla inklinacji
Cis
Sinusowy wspó czynnik korekcyjny dla inklinacji
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 24 -
6.4. Okre lenie pozycji u ytkownika
System GPS jest systemem odleg o ciowym. Okre lenie pozycji u ytkownika polega na pomiarze
odleg o ci do wybranych satelitów nawigacyjnych i wyznaczenie powierzchni nawigacyjnych w
postaci sfer, których przeci cie si jest poszukiwan pozycj . Pomiar odleg o ci od odbiornika
nawigacyjnego (u ytkownika) do satelity nawigacyjnego odbywa si poprzez pomiar czasu
propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - odbiornik nawigacyjny.
Rys. 6.8. Wektor pozycyjny u ytkownika u, wektor pozycyjny satelity nawigacyjnego s w uk adzie
wspó rz dnych ECEF oraz wektor odleg o ci r mi dzy u ytkownikiem i satelit
Tabela 6.2
Obliczanie wspó rz dnych satelity GPS w uk adzie ECEF
2
(1) Wielka pó o
a = a
( )
µ
n = + n
(2) Skorygowany ruch redni
a3
(3) Up yw czasu od epoki efemeryd
tk = t t0e
(4) Anomalia rednia
Mk = M0 + n(tk ) Mk = M0 + n(tk )
Anomalia mimo rodowa (rozwi -
(5)
Mk = Ek esin Ek
zanie iteracyjne wzgl dem Ek )
1 e2 sin Ek
sin =
k
1 ecos Ek
(6) Anomalia rzeczywista
cos Ek e
cos =
k
1 ecos Ek
(7) Argument szeroko ci
= +
k k
(8) Argument korekcji szeroko ci
= Cus sin(2 ) + Cuc cos(2 )
k k k
(9) Korekcja promienia
rk = Crs sin(2 ) + Crc cos(2 )
k k
(10) Korekcja inklinacji
ik = Cis sin(2 ) + Cic cos(2 )
k k
(11) Skorygowany argument szeroko ci
uk = +
k k
(12) Skorygowany promie
rk = a 1 e cos Ek + rk
( )
(13) Skorygowana inklinacja
ik = i0 + (di / dt)tk + ik
" " "
(14) Skorygowana rektascencja w z a
= ( )tk + t0e
e e
k 0
(15)
xp = rk cos uk
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 25 -
(16)
yp = rk sin uk
(17) Wspó rz dna x w uk adzie ECEF
xs = xp cos yp cos ik sin k
p
(18) Wspó rz dna y w uk adzie ECEF
ys = xp sin yp cos ik cos k
p
(19) Wspó rz dna z w uk adzie ECEF
zs = yp sin ik
Rys. 6.8. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita nawigacyjny -
odbiornik poprzez okre lenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci gu pseudolosowego
generowanego na satelicie i repliki tego kodu wytwarzanego w odbiorniku nawigacyjnym
Na rysunku 6.7 pokazano u ytkownika, którego po o enie okre la w uk adzie ECEF wektor
pozycyjny u (nieznany) o sk adowych (xu , yu , zu ) i satelit nawigacyjnego, którego po o enie w
tym samym uk adzie wspó rz dnych okre la wektor pozycyjny s (znany po zdekodowaniu
informacji nawigacyjnej, patrz tabela X.3) o sk adowych (xs , ys , zs ); odleg o od u ytkownika do
satelity nawigacyjnego opisuje wektor r. Mi dzy wektorami r, s, i u zachodzi zwi zek
r = s u (6.1)
Modu wektora odleg o ci
r = r = s u (6.2)
jest znany na podstawie pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej.
Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - u ytkownik ilustruje rysunek
6.8. Charakterystyczny element sygna u pseudolosowego zostaje wypromieniowany z satelity w
momencie t1. Element ten dociera do odbiornika nawigacyjnego w momencie t2, po up ywie t
sekund potrzebnych na przebycie przez fal elektromagnetyczn odleg o ci r. W odbiorniku
nawigacyjnym wyznacza si maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci gu pseudolosowego
nadawanego przez satelit i repliki tego ci gu odtworzonej w odbiorniku. Po o enie tego
maksimum wyznacza czas propagacji fali t. Gdyby zegar satelity i zegar odbiornika by y
zsynchronizowane z czasem systemowym, to - po pomno eniu t przez pr dko rozchodzenia
si fal elektromagnetycznych c - otrzymaliby my odleg o geometryczn odbiornika
nawigacyjnego od satelity
Odleg o geometryczna = r = c(Tu Ts ) = c t, (6.3)
przy czym:
Ts - czas systemowy, w którym sygna nawigacyjny zosta wypromieniowany z satelity;
Tu - czas systemowy, w którym sygna nawigacyjny dotar do odbiornika nawigacyjnego.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 26 -
t
Dt
Czas propagacji odpowiadaj cy
odleg o ci geometrycznej
tu
t
Czas
tu
Tu Tu
+
Ts Ts
+ t
Czas propagacji odpowiadaj cy
pseudoodleg o ci
Rys. 6.9. Zale no ci czasowe przy pomiarze odleg o ci do satelity GPS:
Ts - czas systemowy, w którym sygna nawigacyjny zosta wypromieniowany z satelity;
Tu - czas systemowy, w którym sygna nawigacyjny dotar do odbiornika u ytkownika;
t - przesuni cie czasu zegara na satelicie wzgl dem czasu systemowego;
tu - przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u ytkownika wzgl dem czasu systemowego;
Ts + t - odczyt zegara satelitowego w momencie, w którym sygna nawigacyjny zosta
wypromieniowany z satelity;
Tu + tu - odczyt zegara w odbiorniku u ytkownika w momencie, w którym dotar do niego sygna
nawigacyjny
W rzeczywisto ci satelity s wyposa one w bardzo stabilne zegary atomowe, które jednak nie s
zsynchronizowane z czasem systemowym. Zegary satelitowe wykazuj wi c pewne przesuni cie
t w stosunku do czasu systemowego (przy pieszenie jest dodatnie, opó nienie - ujemne). Zegar
w odbiorniku nawigacyjnym nie jest równie zsynchronizowany z czasem systemowym; wyst puje
przesuni cie tu czasu u ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Zale no ci czasowe
wyst puj ce podczas pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej w systemie GPS ilustruje
rysunek 6.9.
W rzeczywisto ci w wyniku okre lenia maksimum funkcji korelacji wzajemnej nie mierzymy czasu
t, odpowiadaj cego odleg o ci geometrycznej mi dzy satelit i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz
czas (Tu + tu ) (Ts + t) = (Tu Ts ) + (tu t) = t + (tu t). Przesuni cie czasu zegara na
satelicie wzgl dem czasu systemowego t jest mierzone przez OCS i wprowadzane do informacji
nawigacyjnej. Odbiornik nawigacyjny mo e wi c dokona odpowiedniej korekty. Pozostaje jednak
przesuni cie czasu zegara w odbiorniku u ytkownika wzgl dem czasu systemowego. Odbiornik
nawigacyjny mierzy wi c nie czas t, lecz czas t' = t + tu. Je li ten czas pomno ymy przez
pr dko rozchodzenia si fali elektromagnetycznej, to nie otrzymamy odleg o ci geometrycznej
mi dzy satelit i odbiornikiem nawigacyjnym, lecz tzw. pseudoodleg o
'
Pseudoodleg o = c t = c( t + tu.) = r + ctu. (6.5)
Okre lenie pozycji u ytkownika w uk adzie ECEF wymaga wi c wyznaczenia trzech sk adowych
wektora pozycyjnego u ytkownika (xu , yu , zu ) oraz ró nicy tu. mi dzy czasem lokalnym
u ytkownika i czasem systemowym. Rozwi zanie tak postawionego zadania nawigacyjnego
wymaga pomiaru pseudoodleg o ci co najmniej do czterech satelitów nawigacyjnych i rozwi zania
nast puj cego uk adu równa
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 27 -
= s u + ctu ,
j j
(6.6)
j = 1,2,3,4.
W formie rozwini tej uk ad równa (6.6) ma posta
= (x1 xu )2 + ( y1 yu )2 + (z1 zu )2 + ctu , (6.7a)
1
= (x2 xu )2 + ( y2 yu )2 + (z2 zu )2 + ctu , (6.7b)
1
= (x3 xu )2 + ( y3 yu )2 + (z3 zu )2 + ctu , (6.7c)
1
= (x4 xu )2 + ( y4 yu )2 + (z4 zu )2 + ctu , (6.7d)
1
przy czym xj , yj , zj; j = 1,2,3,4, xj , yj , zj; j = 1,2,3,4; s wspó rz dnymi czterech satelitów
nawigacyjnych w uk adzie ECEF.
Rozwi zania uk adu nieliniowych równa (6.7) mo na dokona w trojaki sposób: (1) znale
rozwi zanie w formie zamkni tej, (2) zastosowa technik iteracyjn po wcze niejszej linearyzacji
uk adu, (3) zastosowa filtracj Kalmana.
W metodzie iteracyjnej zak adamy, e znane jest wst pne oszacowanie po o enia u ytkownika
' ' ' '
(xu , yu , zu ) i przesuni cia czasu tu . Rozwijamy wyra enia na pseudoodleg o ci w szereg Taylora
w otoczeniu przybli onego po o enia u ytkownika i zachowujemy tylko cz ony liniowe;
otrzymujemy wówczas uk ad czterech równa liniowych
' '
xj xu yj y' zj zu
j
'
= xu + yu + zu c tu; (6.8)
j j
rj' rj' rj'
j = 1,2,3,4;
w którym:
''' '
= (xj xu )2 + ( yj yu )2 + (zj z' )2 + ctu;
j j
' ''
rj' = (xj xu )2 + ( yj yu )2 + (zj zu )2 ;
j = 1,2,3,4.
Po rozwi zaniu uk adu równa (6.8) otrzymuje si nowe przybli enie pozycji i czasu u ytkownika:
'' '
xu = xu + xu; (6.9a)
'' '
yu = yu + yu; (6.9b)
'' '
zu = zu + zu; (6.9c)
'' '
tu = tu + tu. (6.9d)
Proces iteracyjny mo na powtarza wielokrotnie. Zbie no procesu iteracji i dok adno
otrzymanych wyników zale od tego, jak dobrze dokonano oszacowania wst pnego po o enia i
czasu u ytkownika.
Uk ad równa (6.9) mo na zapisa w postaci macierzowej
= H x, (6.10)
w której:
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 28 -
ax1 ay1 az1 1
xu
1
ax 2 ay 2 az 2 1
yu
2
= ; H = ; x = ;
ax3 ay3 az3 1 zu
3
ax 4 ay 4 az 4 1
c tu
4
'
= ;
j j j
'
xj xu
axj = ;
rj'
'
yj yu
ayj = ;
rj'
'
zj zu
azj = .
rj'
Formalnie rozwi zanie równania macierzowego mo na zapisa w postaci
x = H 1 . (6.11)
Wspó czesne odbiorniki nawigacyjne s odbiornikami wielokana owymi (nawet do dwunastu
kana ów). Odbiorniki te umo liwiaj ledzenie wi kszej liczby ni czterech satelitów (je li s
widoczne). Prowadzi to do nadokre longo uk adu równa dla pseudoodleg o ci, który rozwi zuje
si metod najmniejszych kwadratów. W ten sposób mo na zwi kszy dok adno okre lenia
pozycji u ytkownika.
Macierz H ma wówczas posta
ax1 a az1 1
y1
ax2 a az2 1
y2
H = , (6.12)
M M M M
axN a azN 1
yN
przy czym N  liczba satelitów, do których wykonano pomiar odleg o ci.
Residuum
r = H x . (6.13)
Minimum kwadratu residuum
RSE ( x) = ( xH )2 . (6.14)
Poprawka
1
x = HTH)( HT . (6.15)
6.5. B d okre lenia pozycji u ytkownika
Pomiar pseudoodleg o ci jest obarczony ró nymi b dami: niestabilno ci zegara satelity,
perturbacjami w ruchu satelity, b dami w prognozowaniu efemeryd, opó nieniem fali
elektromagnetycznej w jonosferze i troposferze, propagacj wielodrogow , szumem termicznym
odbiornika. Szczególnym rodzajem b du jest tzw. wybiórcza dost pno SA (ang. Selective
Availability). Jest to wprowadzany wiadomie przez DOD b d w prognozowaniu efemeryd
satelitów oraz b d w okre leniu czasu systemowego. Selektywn dost pno stosowano od 25
marca 1990 r. do 30 kwietnia 2000 r. tylko w standardowej s u bie okre lania pozycji (kod C/A).
Warto ci ró nych b dów podano w tabeli 6.3. Jest to jednosigmowy b d okre lenia
pseudoodleg o ci wyra ony w metrach. Pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów b dów
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 29 -
cz stkowych okre la ca kowity b d systemowy okre lenia pseudoodleg o ci UERE (ang. User
Equivalent Range Error).
Tabela 6.3.
Bud et b du okre lania pseudoodleg osci w systemie GPS
B d jednosigmowy [m]
Segment ród o b du PPS SPS SPS
z SA bez S.A.
Kosmiczny Niestabilno zegara satelity 3,0 3,0 3,0
Perturbacje ruchu satelity 1,0 1,0 1,0
Dost p selektywny - 32,3 -
Inne 0,5 0,5 0,5
Sterowanie B d predykcji efemeryd 4,2 4,2 4,2
Inne 0,9 0,9 0,9
U ytkownik Opó nienie jonosferyczne 2,3 5,0 5,0
Opó nienie troposferyczne 2,0 1,5 1,5
Szum termiczny i rozdzielczo odbiornika 1,5 1,5 1,5
Propagacja wielodrogowa 1,2 2,5 2,5
Inne 0,5 0,5 0,5
B d ca kowity UERE 6,5 33,3 8,0
B d UERE mówi tylko o dok adno ci pomiaru pseudoodleg o ci. B d okre lenia pozycji
u ytkownika zale y jeszcze od rozmieszczenia satelitów nawigacyjnych na firmamencie w
stosunku do u ytkownika. Wp yw rozmieszczenia satelitów na dok adno okre lenia pozycji dla
przypadku dwuwymiarowego ilustruje rys. 6.10. Gdy satelity znajduj si blisko siebie, wówczas
b d okre lenia pozycji jest du y.
B d okre lenia pozycji u ytkownika w systemie GPS mo na scharakteryzowa nast puj cym
wyra eniem
(B d okre lenia pozycji) =
= (B d pomiaru pseudoodleg o ci) × (Wspó czynnik geometryczny) (6.16)
Za b d pomiaru pseudoodleg o ci mo na przyj UERE, który jest gaussowsk zmienn losow o
warto ci rednie równej 0 i o odchyleniu standardowym (tab. 6.3). Wspó czynnik okre la
UERE
wzrost b du okre lenia pozycji ze wzgl du uk ad satelitów nawigacyjnych wzgl dem u ytkownika
(rys. 6.10). Zwykle mówi si o geometrycznym zmniejszeniu dok adno ci okre lenia pozycji
u ytkownika GDOP (ang. Geometric Diulution of Precision). Z najlepszym rozmieszczeniem
satelitów mamy do czynienia wówczas, gdy jeden z satelitów znajduje si w zenicie nad
u ytkownikiem, a pozosta e trzy mo liwie nisko nad horyzontem rozmieszczone równomiernie co
120°.
Rys. 6.10. Wyja nienie wp ywu rozmieszczenia satelitów na dok adno okre lenia pozycji
u ytkownika (przypadek dwuwymiarowy)
Na ogó rozró nia si b d okre lenia pozycji w p aszczy nie pionowej i poziomej. B d okre lenia
pozycji w p aszczy nie pionowej dz ma rozk ad N(0, VDOP ), tzn. rozk ad normalny z zerow
UERE
warto ci redni i odchyleniem standardowym VDOP , przy czym VDOP (ang. Vertical
UERE
Dilution of Precision) jest geometrycznym zmniejszeniem dok adno ci w p aszczy nie pionowej.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 30 -
Statystycznie b d okre lenia pozycji w p aszczy nie pionowej wyra a si zale no ci
dz = VDOP × UERE, (6.17)
w której UERE jest zmienn losow o rozk adzie N(0, ). Odchylenie standardowe zmiennej
UERE
losowej dz
= VDOP . (6.18)
dz UERE
Rozk ad gaussowski charakteryzuje si tym, e w przedziale o sszeroko ci Ä…1 wzgl dem warto ci
redniej znajduje si 68% wyników pomiarów. W przybli eniu 95% wyników pomiarów mie ci si w
przedziale o szeroko ci ą2 wzgl dem warto ci redniej; mo na wi c zapisa równanie
dz95 = 2 = 2 × VDOP × . (6.19)
dz UERE
Przypu my, e w pewnym momencie dla okre lonego uk adu u ytkownika wzgl dem satelitów
nawigacyjnych VDOP = 2. Dla kodu C/A z w czon selektywn dost pno ci = 33,3 m
UERE
(patrz tab. 6.3 ), wi c
dz95 = 2 × VDOP × = 2 × 2 × 33,3 = 133,2 m.
UERE
Oznacza to, e prawdopodobie stwo, i b d okre lenia pozycji b dzie wi kszy ni 113,2 metra nie
przekracza 5%.
Do kre lenia b du okre lenia pozycji w p aszczy nie poziomej wprowadza si cz sto poj cie
prawdopodobnego b du ko owego CEP (ang. Circular Error Probable). Jest to promie ko a ze
rodkiem w prawdziwej (bezb dnej) pozycji u ytkownika obejmuj cego 50% wykonanych
pomiarów. Innymi s owy prawdopodobie stwo tego, e b d pomiaru jest mniejszy ni warto
CEP wynosi dok adnie 1/2. CEP wyra a si nast puj c zale no ci przybli on
CEP 0,75× HDOP × . (20)
UERE
Przez CEPxx rozumiemy promie ko a ze rodkiem w prawdziwej pozycji u ytkownika, które
obejmuje xx% wyników pomiarów obarczonych b dami. Oczywi cie CEP50 = CEP. Obowi zuj
nast puj ce zale no ci przybli one:
CEP80 1,3× HDOP × ; (6.21a)
UERE
CEP90 1,6 × HDOP × ; (6.21b)
UERE
CEP95 = 2,0 × HDOP × . (6.21c)
UERE
Powiedzmy, e w pewnym momencie i w pewnej konfiguracji satelitów wzgl dem u ytkownika
HDOP = 1,5. Je li u ytkownik korzysta z kodu C/A i jest w czona wybiórcza dost pno , to
CEP95 = 2,0 × HDOP × = 2,0 ×1,5× 33,3 = 99,9 m.
UERE
Oznacza to, e w 95% przypadków wynik okre lenia pozycji znajdzie si kole o rednicy oko o 100
metrów, którego rodek pokrywa si z pozycj rzeczywist . Zwró my uwag , e dominuj cym
ród em b du jest wybiórcza dost pno . Przy wy czonej SA mieliby my
CEP95 = 2,0 × HDOP × = 2,0 ×1,5× 8,0 = 24 m,
UERE
co jest bardzo atrakcyjnym rezultatem.
6.6. Efekty relatywistyczne
Zegary pok adowe satelitów nawigacyjnych s pod wp ywem dwóch efektów relatywistycznych
wynikaj cych ze szczególnej i ogólnej i teorii wzgl dno ci Einsteina. Pierwszy efekt jest zwi zany
ze zmian chodu zegara znajduj cego si w ruchu -  szybkie zegary chodz wolno - wynikaj c
ze szczególnej teorii wzgl dno ci. Generator umieszczony na satelicie generuje wi c mniejsz
cz stotliwo ni ta, na któr zosta ustawiony.
Drugi efekt jest zwi zany z zasad równowa no ci, zgodnie z któr chód zegara ulega zwolnieniu
przy zbli aniu si do rodka pola grawitacyjnego. W odniesieniu do generatora umieszczonego na
satelicie te dwa efekty dzia aj w przeciwnych kierunkach. W przypadku satelity poruszaj cego si
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 31 -
po orbicie o promieniu równym pó tora promienia Ziemi oba efekty wzajemnie kompensuj si .
Satelity systemu GPS poruszaj si jednak po orbitach o promieniach równych oko o 4,2
promienia Ziemi. Zegary umieszczone na tych satelitach chodz wi c szybciej ni zegary
znajduj ce si na powierzchni Ziemi. Ca kowity b d z tego tytu u wynosi 38,4 µs w ci gu doby, co
odpowiada 11,5 km b du w okre leniu odleg o ci.
Wymienione efekty relatywistyczne s kompensowane przez ustawienie cz stotliwo ci zegarów
satelitowych nieco poni ej cz stotliwo ci nominalnej - 10,22999999545 MHz. Cz stotliwo
widziana przez obserwatora na powierzchni morza jest natomiast równa 10,23 MHz, co oznacza,
e u ytkownik nie musi wprowadza korekcji na omawiane efekty relatywistyczne.
U ytkownik musi natomiast wprowadza korekcj ze wzgl du na inny periodyczny efekt
relatywistyczny, wynikaj cy z niewielkiej ekscentryczno ci orbit satelitów nawigacyjnych. Po owa
tego efektu jest zwi zana z okresow zmian pr dko ci satelity wzgl dem uk adu wspó rz dnych
ECI, druga po owa jest zwi zana ze zmian po o enia satelity w ziemskim polu grawitacyjnym.
Rys. 6.11. Efekt Sagnaca
W zwi zku z obrotem Ziemi w czasie transmisji sygna u z satelity do odbiornika nawigacyjnego
powstaje kolejny efekt relatywistyczny, zwany efektem Sagnaca, polegaj cy na zmianie
pseudoodleg o ci zwi zanej z szybkim ruchem u ytkownika wzgl dem Ziemi (rys. X.25).
6.7. Ró nicowe systemy GPS
B d okre lenia pozycji u ytkownika stosuj cego kod C/A jest do du y. Nawet przy wy czonej
selektywnej dost pno ci b d okre lenia pozycji wynosi oko o 25 m (95%) w p aszczy nie poziomej
i oko o 45 m (95%) w p aszczy nie pionowej, co w wielu zastosowaniach niedopuszczalne.
Popraw dok adno ci okre lenia pozycji mo na uzyska wprowadzaj c ró nicowy system
okre lania pozycji DGPS (ang. Differential GPS). Opracowano wiele ró nicowych systemów
okre lania pozycji, które bardzo ogólnie mo na podzieli na systemy lokalne LADGPS (ang. Local
Area DGPS) i systemy wielko obszarowe WADGPS (ang. Wide
Rys. 6.12. Koncepcja lokalnego ró nicowego systemu okre lania pozycji LADGPS
Pierwsze z nich polegaj na zastosowaniu naziemnej stacji odniesienia, której po o enie jest
dobrze znane (rys. 6.12). Stacja ta okre la swoj pozycj na podstawie odbioru sygna ów
nadawanych przez satelity nawigacyjne GPS, porównuje j z pozycj rzeczywist , oblicza
poprawki i nadaje je za pomoc nadajnika naziemnego pracuj cego w ró nych zakresach
cz stotliwo ci. Na przyk ad do obs ugi samolotów stosuje nadajniki VHF, statków nadajniki MF.
Koncepcja LADGPS opiera si na za o eniu, e wiele czynników powoduj cych b d okre lenia
pozycji s silnie skorelowane. Wobec tego u ytkownik po okre leniu swojej pozycji za pomoc
sytemu GPS mo e j skorygowa wprowadzaj c poprawki pozycji nadawane przez stacj
odniesienia. Ten sposób mo na stosowa tylko w niewielkiej odleg o ci od stacji odniesienia.
Lepszym rozwi zaniem jest okre lenie przez stacj odniesienia poprawek do pseudoodleg osci i
przesy anie ich do u ytkowników. Bud et b du okre lenia pozycji w tym przypadku podano w
tabeli 6.4.
Daniel Józef Bem, Nawigacja satelitarna Strona - 32 -
Tabela 6.4
Bud et b du okre lania pseudoodleg osci w systemie LADGPS
Segment ród o b du B d jednosigmowy [m]
GPS LADGPS
Kosmiczny Niestabilno zegara satelity 3,0 0
Perturbacje ruchu satelity 1,0 0
Dost p selektywny 32,3 0
Inne 0,5 0
Sterowanie B d predykcji efemeryd 4,2 0
Inne 0,9 0
U ytkownik Opo nienie jonosferyczne 5,0 0
Opó nienie troposferyczne 1,5 0
Szum termiczny i rozdzielczo odbiornika 1,5 2,1
Propagacja wielodrogowa 2,5 2,5
Inne 0,5 0,5
B d ca kowity UERE 33,3 3,3
Tak dobre rezultaty uzyskuje si tylko w bezpo rednim s siedztwie stacji odniesienia. W miar
oddalania si u ytkownika od tej stacji nast puje stopniowa dekorelacja b dów okre lenia
pseudoodleg o ci, co powoduje wzrost ca kowitego b du okre lenia pozycji. Stwierdzono jednak
znaczne zmniejszenie nawet w odleg o ci 400 km od stacji odniesienia. Wydaje si wi c, e
UERE
warto zastosowa system LADGPS w systemie monitorowania ruchu pojazdów w Polsce. Sygna y
ró nicowe mog aby nadawa budowana obecnie w Solcu Kujawskim d ugofalowa stacja Polskiego
Radia. Stacja ta b dzie dobrze odbierana na obszarze ca ego kraju. System ró nicowy jest
skuteczny tylko wówczas, gdy stacja odniesienia i u ytkownik odbieraj sygna y z tych samych
satelitów nawigacyjnych. Przy du ych odleg o ciach od stacji odniesienia mo e si zdarzy , e
odbiornik u ytkownika wybierze inny uk ad odniesienia ni odbiornik stacji odniesienia. Stacja
odniesienia oprócz sygna ów ró nicowych powinna wi c nadawa równie informacj o numerach
satelitów nawigacyjnych, z których korzysta. Sprawa ta wymaga szczegó owego opracowania.
Wielkoobszarowe systemy ró nicowe mog obs ugiwa ca e kontynenty, a nawet ca y glob.
Wymagaj one stosowanie wielu wspó pracuj cych ze sob stacji odniesienia. Systemy WADGPS
nie maj znaczenia dla opracowywanego w Polsce sytemu monitorowania ruchu pojazdów, nie
b d wi c szczegó owo omawiane.
Bibliografia
Bem D. J., Systemy szerokopasmowe, Rozprawy Elektrotechniczne, t. 31, 1985, nr 1, s. 241-263.
Bem D.J., Systemy telekomunikacyjne. Cz III - Radiolokacja i radionawigacja, Wydawnictwo
Politechniki Wroc awskiej, Wroc aw 1991.
Hofmann-Wellen B., Lichteneger H., Collins J., GPS NAVSTAR User's Overview, New York,
Spiger - Verlag, 19933.
Kaplam E. D., (editor), Understanding GPS. Principles and Applications, Artech House, Boston,
London, 1996.
NAVSTAR GPS Joint Program Office(JPO), GPS NAVSTAR User's Overview, YEE-82-009D, GPS
JPO, March 1991.
Szymo ski M., Nawigacyjne wykorzystanie sztucznych satelitów Ziemi. WKi , Warszawa 1989.