dr inż. Mariusz Frukacz Ćwiczenia z geodezji II
Transformacja współrzędnych prostokątnych płaskich sposobem Helmerta
Transformacja czteroparametrowa Helmerta wyrażona jest wzorami:
Xi = c + bxi - ayi
Yi = d + axi + byi (1)
gdzie
xi, yi  współrzędne i-tego punktu w układzie pierwotnym,
Xi, Yi - współrzędne i-tego punktu w układzie wtórnym.
Wyznaczenie parametrów transformacji i ocena dokładności
1. Obliczenie wsp. środków ciężkości w obu układach (tylko z punktów dostosowania):
[xi ] [ yi ] [Xi ] [Yi ]
= x0 ; = y0 ; = X0 ; = Y0 (2)
n n n n
2. Centrowanie współrzędnych (obliczenie wsp. zredukowanych o środki ciężkości):
yi - y0 = "yi , xi - x0 = "xi , (Xi - X0) = "Xi , (Yi - Y0) = "Yi (3)
( ) ( )
3. Wyznaczenie parametrów transformacji:
n n
"("xi"Yi - "yi"Xi) "("xi"Xi + "yi"Yi)
i=1 i=1
a = ; b = (4)
n n
"("x2 + "y2) "("x2 + "y2)
i i i i
i=1 i=1
c = y0a - x0b + X0 ; d = -x0a - y0b + Y0 (5)
Jeśli (5) podstawimy do (1) to otrzymamy drugą wersję wzorów na transformację:
Xi = X0 + xi - x0 b -( - y0 a
yi
( ) )
Yi = Y0 + xi - x0 a + yi - y0 b (6)
( ) ( )
4. Obliczenie poprawek dla punktów dostosowania:
VX = Xi - Xit ; VY = Yi -Yit (7)
i i
5. Ocena dokładności
2 2
"V Ò! m0 = "V (8)
i i
m0 =
2n - u 2n - 4
Jako kryterium oceny dokładności transformacji, w formie zgeneralizowanej, możemy podać
1
warunek m0 d" mp dop. , gdzie mp dop. jest dopuszczalnym średnim błędem położenia punktu w
2
określonej klasie osnowy.
dr inż. Mariusz Frukacz Ćwiczenia z geodezji II
6. Obliczenie korekt post-transformacyjnych Hausbrandta:
n n
"(rjiVXi ) "(rjiVYi )
i=1 i=1
VX j = ; VYj = (9)
n n
" rji " rji
i=1 i=1
gdzie
1 1
rji = = (10)
d2 (Xi - Xj)2 + (Yi - Yj)2
ji
rji  waga (i = 1, 2, ... , n), n  liczba punktów dostosowania.
Elementy przyjęte do liczenia wag i ich oznaczenia zastosowane we wzorach (9) i (10) zilustrowano
na rysunku.
7. Obliczenie ostatecznych wartości współrzędnych:
X = X +VX ; Y = Yj +VY (11)
j j
j
j j
Wyznaczenie parametrów transformacji z zapisu macierzowego układu równań poprawek
1. Ułożenie równań poprawek (wprowadzając (1) do (7)):
VX = y1a - x1b - c + Xi
1
VY = -x1a - y1b - d + Yi
1
........................................ (12)
VX = yna - xnb - c + Xn
n
VY = -xna - ynb - d + Yn
n
2. Zapis macierzowy wzorów (12) ma następującą postać:
V = AX + L (13)
dr inż. Mariusz Frukacz Ćwiczenia z geodezji II
gdzie
y1
îÅ‚ - x1 -1 0
Å‚Å‚
VX1
îÅ‚ Å‚Å‚
X1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-x - y1 0 -1 śł
ïÅ‚ śł
a
îÅ‚ Å‚Å‚
1 ïÅ‚Y śł
ïÅ‚ śł
Y1
ïÅ‚V śł
1
ïÅ‚bśł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
...................
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
î" = V = A = X î" = L (14)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
................... ïÅ‚ śł
c
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
VXn
ïÅ‚ śł
n
ïÅ‚X śł
ïÅ‚
yn - xn -1 0śł ïÅ‚dśł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚Yn śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚VYn śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚-xn - yn 0 -1ûÅ‚
śł
ðÅ‚
3. Stosując warunek Ś = VTV = min obliczamy wektor parametrów
-1
X = -(ATA) ATL (15)
Punkty 4  7 bez zmian.
Przykład:
Układ pierwotny:
Nr X Y
1 0.000 0.000
2 0.000 10.000
3 15.000 5.000
4 3.000 7.000
5 10.000 4.000
Układ wtórny:
Nr X Y
1 120.006 99.987
2 100.015 100.008
3 109.985 130.003