ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
ELEMENTY INERCYJNE PIERWSZEGO RZ
DU
Element inercyjny pierwszego rzędu jest opisany równaniem
dy(t)
T + y(t) = k Å" x(t)
dt
T - stała czasowa, k - współczynnik wzmocnienia
Tsy(s) + y(s) = kx(s) y(s) = (Ts +1) = kx(s)
Transmitancja operatorowa
k
G(s) =
1+ sT
Odpowiedz
jednostkowa
t
-
k
T
hs = ht = k(1- e ) Å"1(t)
s(1+ sT)
Oznaczenie członu inercyjnego pierwszego rzędu na schematach blokowych
h(t)
k
t
Odpowiedz
jednostkowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu.
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
Odpowiedz
impulsowa
t
-
k k
T
g(s) = g(t) = e Å"1(t)
1+ sT T
g(t)
t
0
Odpowiedz
impulsowa elementu inercyjnego.
Transmitancja widmowa
k k(1- jÉT)
G(jÉ) = ; G(jÉ) =
1+ jÉT 1+ É2T2
stÄ…d
k kÉT
P(É) = ; Q(É) = -
1 + É2T2 1 + É2T2
Charakterystyka amplitudowo-fazowa zaczyna siÄ™ w punkcie:
P(0) = k Q(0) = 0 przy ð
= 0
P (É)
k
QÉ
( )
É
0
É
0
Charakterystyka amplitudowa i fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa kończy się w punkcie
P(+")=0, Q(+")=0 przy =+"
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
k
i jest półokręgiem o promieniu r = i środku położonym na dodatniej części
2
rzeczywistej zgodnie z równaniem okręgu:
[P(É) - a]2 + [Q(É) - b]2 = r2
współrzędne środka:
k
a = , b=0
2
Redukuje siÄ™ ona do półokrÄ™gu, ponieważ w caÅ‚ym zakresie pulsacji 0 d" É d" "
skÅ‚adowa Q(É) < 0
Im
É="
Re
P(É)
k
0 k
Õ(É)
É=0
2
Q(É)
A(É)
É
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Moduł transmitancji widmowej jest równy stosunkowi modułów licznika i
mianownika tej transmitancji
k
A(É) =
1+ É2T2
Ten sam wzór otrzymuje się ze wzoru
2 2
k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚- kÉT k
öÅ‚
A(É) = P2 (É) + Q2 (É) = + =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1+ É2T2 1+ É2T2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
1+ É2T2
KÄ…t fazowy
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
kÉT
Q(É)
1+ É2T2
Õ(É) = arctg = arctg Õ(É) = -arctgÉT
k
P(É)
1+ É2T2
Õ(É)
É
1
T

-
4

-
2
Charakterystyka fazowa
A(É)
k
É
0
Charakterystyka amplitudowa
Czwórnik RC
Dla nieobciążonego czwórnika RC, po wyznaczeniu spadków napięć na
rezystancji R i pojemności C (przy zerowych warunkach początkowych) otrzymuje
się równania:
t t
1 1
Uwe (t) = RJ(t) +
+"I(Ä)dÄ Uwy (t) = C +"I(Ä)dÄ
C
0 0
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
R
I(t)
Uwe(t) C Uwy(t)
Czwórnik RC
EliminujÄ…c prÄ…d
RCU (0)
Uwe (s)
wy
Uwy (s) = +
1+ sRC 1+ sRC
Zakładając Uwy(0)=0, znajdujemy transmitancję
Uwy (s)
1
G(s) = =
Uwe (s) 1+ sT
T - stała czasowa T=RC
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy
A
f
Q1
1
h
2
Q2
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy:
Q1 - sygnał wejściowy - natężenie dopływu cieczy; f - sygnał wejściowy -
przekrój zaworu; h - sygnał wyjściowy - poziom cieczy w zbiorniku; A - pole
przekroju poprzecznego zbiornika
Elementy inercyjne pierwszego rzędu
ELEMENTY LINIOWE UKA
ADÓW AUTOMATYKI
Warunkiem stanu ustalonego jest Q1=Q2
W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku można opisać za
pomocą równania
dh
A = Q1 - Q2
dt
Zbiornik ze swobodnym wypływem cieczy jest elementem inercyjnym
pierwszego rzędu.
Masa wirujÄ…ca na wale
É
M
Masa wirujÄ…ca na wale:
M - sygnał wejściowy - moment obrotowy; - sygnał wyjściowy - prędkość
kÄ…towa
Z równania momentów
dÉ
M = I + ÕÉ
dÉ
gdzie: I - moment bezwładności; - współczynnik tarcia lepkiego
otrzymujemy:
I dÉ 1
Å" + É = M
Õ dt Õ
zakładając, że:
I 1
T = ; k =
Õ Õ
dÉ
T + É = kM
dt
Masa wirująca na wale jest elementem inercyjnym pierwszego rzędu
Elementy inercyjne pierwszego rzędu