Elementy liniowe układów automatyki
ELEMENTY INERCYJNE WYŻSZYCH RZ
DÓW
W układach sterowania bardzo często występują elementy proporcjonalne
opisywane równaniami różniczkowymi wyższego rzędu.
X
k
t
0
Y
k
1 2
3
t
0
Odpowiedz
skokowa elementu wieloinercyjnego:
a) symbol elementu wieloinercyjnego; b) wymuszenie skokowe;
c) odpowiedz
na wymuszenie skokowe elementu: 1 - jednoinercyjnego, 2 -
oscylacyjnego tłumionego krytycznie, 3 - wieloinercyjnego
Elementy inercyjne wyższych rzędów
Elementy liniowe układów automatyki
Czwórnik RC
I(t) R1 R2
I1(t) I2(t)
Uwe(t) C1 C2 Uwy(t)
Czwórnik RC
Dla nieobciążonego czwórnika RC (przy zerowych warunkach początkowych)
otrzymuje się równanie:
t
1
Uwe (t) = I(t)R1 + (Ä)dÄ;
+"I
C1 0 1
t
1
Uwy (t) =
+"I (Ä)dÄ;
C2 0 2
t
1
2
+"I (Ä)dÄ = Uwy (t) + R I2 (t) ;
C1 0 1
I(t) = I1(t) + I2 (t)
Po wyeliminowaniu prÄ…du I(t) znajdujemy:
t
1
Uwe (t) = I1(t)R1 + I2 (t)R1 + (t)dt ;
+"I
C1 0 1
W celu wyznaczenia transmitancji rozważanego czwórnika wykonujemy
transformację Laplace'a równań - przy zerowych warunkach początkowych:
I2 (s)
Uwy (t) - = 0 ;
sC2
I1(s)
Uwy (s) - + R I2 (s) = 0 ;
sC1 2
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚
ìÅ‚R1 + ÷Å‚ + R1I2 (s) = Uwe (s) ;
sC2 ÷Å‚I1(s)
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwe (s)
Uwy (s) =
C1C2R1R s2 +[C1R1 + C2 (R1 + R )]s +1
2 2
Elementy inercyjne wyższych rzędów
Elementy liniowe układów automatyki
Po wprowadzeniu oznaczeń:
T1 = R1C1; T1 = R1C1
otrzymujemy
Uwy (s)
1
G(s) = =
Uwe (s) ëÅ‚ öÅ‚
R1 + R2
ìÅ‚
T1T2s2 + +
ìÅ‚T1 R2 T2 ÷Å‚ +1
÷Å‚s
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwiastki równania są rzeczywiste, ponieważ:
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
R1 + R2 R1
ìÅ‚
ìÅ‚T1 + R2 T2 ÷Å‚ - 4T1T2 = ìÅ‚ + T2 + R2 T2 ÷Å‚ - 4T1T2 =
÷Å‚ ìÅ‚T1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
R1 ìÅ‚ R1 ÷Å‚
= (T1 + T2 )2 + 2(T1 + T2 )T2 + T2 ÷Å‚ - 4T1T2 =
R2 ìÅ‚ R2 Å‚Å‚
íÅ‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
R1 ìÅ‚ R1 ÷Å‚
= (T1 + T2 )2 + 2(T1 + T2 )T2 + T2 ÷Å‚ > 0
R2 ìÅ‚ R2 Å‚Å‚
íÅ‚
Układ trzech zbiorników połączonych szeregowo
Qx
h1
Q1
h2
Q2
h3
Q3
Układ trzech zbiorników połączonych szeregowo
Elementy inercyjne wyższych rzędów