Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne
1. Zginanie  definicje, pojęcia
Teoria dotycząca zginania  z wykładów, ćwiczeń oraz książek: [1] i [2].
Istnieje kilka różnych typów zginania, które mogą być określone w zależności od:
" zewnętrznych warunków obciążenia,
" geometrii konstrukcji i przekroju,
" rodzaju podparcia.
Poniżej typowa klasyfikacja, z krótkim opisem każdego przypadku:
" czyste zginanie  przypadek definiowany w celu znalezienia tensora naprężenia i odkształcenia w zginaniu;
" proste zginanie  jeśli moment zginający My lub Mz jest jedyną  siłą przekrojową różną od 0 (Fx=Fy=Fz=0; Mx=0);
" zginanie ukośne  jeżeli oba momenty zginające My i Mz są obecne (nachylony moment M) i są jedynymi  siłami
przekrojowymi różnymi od 0 (Fx=Fy=Fz=0; Mx=0);
" zginanie z siłami ścinającymi  jest to złożony stan mechaniczny; moment zginający (My lub Mz lub oba) działa
razem z siłami ścinającymi (odpowiednio: Fy, Fz);
" zginania z rozciąganiem/ściskaniem  jest to złożony stan mechaniczny, moment zginający (My lub Mz lub oba)
jest wynikiem obciążenia zewnętrznego normalnego do powierzchni przekroju poprzecznego (czyli równoległego
do osi pręta), ale które działa poza osią pręta (czyli na mimośrodzie względem niej).
Podczas obecnych zajęć będzie rozważane tylko zginanie proste i zginanie ukośne.
Tensor naprężenia w zginaniu prostym i ukośnym ma postać, która została przedstawiona poniżej. W tych przypadkach,
zgodnie z prawem Hooke'a, mamy do czynienia z przestrzennym stanem odkształcenia:
1
Ãx 0 0
E
Ãx 0 0
zwiÄ…zki konstytutywne Tµ= 0 Ãx ½ 0
TÃ=
0 0 0
E
Ô!
[ ]
[ ]
0 0 0
0 0 Ãx ½
E
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 1
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
2. Zginanie proste (M lub M )
y z
2.a) My
Związek między funkcją naprężenia oraz siłą przekrojową
ma następującą postać:
M (x)
Nm
y
Å"m = Pa
Ãx(x , z ) = Å" z
4
[ ]
Rysunek 1: Naprężenia w zginaniu prostym ([4])
I (x) m
y
gdzie: ª% My(x) jest momentem zginajÄ…cym w przekroju o współrzÄ™dnej x;
ª% Iy(x) jest głównym centralnym momentem bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju poprzecznego wzglÄ™dem odpowiedniej osi;
ª% z jest bieżącÄ… wysokoÅ›ciÄ… w przekroju.
Ãxx = 0
Oś neutralna  jest zdefiniowana jako oś, dla której naprężenia normalne . W punkcie przekroju poprzecznego
najodleglejszym od osi obojętnej wystąpią maksymalne naprężenia normalne.
W tym przypadku będzie to miało miejsce dla z=0, a więc będzie leżała w tym samym miejscu geometrycznym co oś y.
2.b) Mz
Związek między funkcją naprężenia oraz siłą przekrojową ma następującą postać:
gdzie: ª% Mz(x) jest momentem zginajÄ…cym w przekroju o współrzÄ™dnej x;
M ( x)
z Nm
ª% Iz(x) jest głównym centralnym momentem bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju
Ãx(x , y) = Å" y Å"m = Pa
4
I ( x) [ ]
m
z
poprzecznego względem odpowiedniej osi;
ª% y jest bieżącÄ… szerokoÅ›ciÄ… w przekroju.
W tym przypadku oś neutralna będzie dla y=0, a więc będzie leżała w tym samym miejscu geometrycznym co oś z.
2.c) Warunek projektowy
Z powyższych wzorów widać, że naprężenia mogą przyjmować wartości ujemne (ściskanie) i dodatnie (rozciąganie),
zależnie od znaku momentu zginającego oraz położenia rozważanego punktu względem kierunku wysokości przekroju.
Stąd, warunek maksymalnych naprężeń musi być rozważany zarówno dla ściskannej, jak i rozciąganej części przekroju:
#" Ãmax #" }* kg , c or #" Ãmax #" }* kc or #" Ãmax #"}* k
" ściskanie: (gdzie c oznacza ściskanie, zaś g oznacza zginanie, np.
x , c x , c x , c g
kg,c  dopuszczalne naprężenia ściskające przy zginaniu);
Ãmax }* k or Ãmax }* kt or Ãmax }* k
" rozciaganie: (gdzie t oznacza rozciÄ…ganie, zaÅ› g oznacza zginanie, np.
x , t g , t x , t x ,t g
kg,t  dopuszczalne naprężenia rozciągające przy zginaniu).
Jest także warunek projektowania związany z użytkowaniem, czyli deformacją zginanej konstrukcji, jednak w czasie
obecnego kursu będzie on rozważany póz
niej. Dla pełnej informacji ogólnej podamy tutaj, że warunek ten ma formalną
f }* f
postać: , gdzie f jest strzałką ugięcia.
dop
2.d) Uwaga odnośnie znakowania momentu My i Mz
Zacznijmy od analizy My (Rysunek 2). Mamy wspornik długości l, obciążony na końcu
tylko siłą skupioną  P (ponieważ siła ta jest przeciwnego zwrotu niż oś z). Siła ta
powoduje powstanie na utwierdzeniu reakcji w postaci momentu Myrea= Pl oraz siły
Fzrea=P. Zgodnie ze znanymi zasadami obliczania sił przekrojowych, rozetnijmy
konstrukcję myślowo na dwie części i dla porządku w każdej z nich sprawdz
my, jak
będzie wyglądała funkcja momentu zginającego My(x):
M (x) = [ Pl+ PÅ"x] I = [PÅ"(l x)] II = Px+ Pl
y
Należy zwrócić uwagę, że wewnątrz nawiasów kwadratowych mamy zachowaną
konwencję znakowania: jeżeli zwrot momentu My jest zgodny ze zwrotem osi y, to
uznajemy, że moment jest dodatni. Symbolicznie zostało to zaznaczone na rysunku
strzałkami w kolorze zielonym obrazującymi działanie momentu My, który jest
prostopadły do płaszczyzny kartki i równoległy do zaznaczonej na czerwono osi y.
Rysunek 2
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 2
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Przejdz
my do analizy Mz (Rysunek 3). Ten sam wspornik długości l, obciążony jest znów
na końcu tylko siłą skupioną P, ale tym razem na kierunku równoległym do y, a nie z.
Dokładnie siłę możemy przyjąć jako +P, ponieważ siła ta jest zgodnego zwrotu z osią y.
Siła ta powoduje powstanie na utwierdzeniu reakcji w postaci momentu Mzrea=  Pl oraz
siły Fyrea=  P. Zgodnie ze znanymi zasadami obliczania sił przekrojowych, rozetnijmy
konstrukcję myślowo na dwie części i dla porządku w każdej z nich sprawdz
my, jak
będzie wyglądała funkcja momentu zginającego Mz(x):
M (x) = [ Pl+ PÅ"x ] I = [PÅ"(l x)] II = Px+ Pl
z
W stosunku do obliczania My nic się nie zmieniło! Dalej, rozważając część I dajemy  -
przed nawiasem kwadratowym i nie ma go przed rozważaniem części II, jak również
dalej wewnątrz nawiasów kwadratowych mamy zachowaną konwencję znakowania:
jeżeli zwrot momentu Mz jest zgodny ze zwrotem osi z, to uznajemy, że moment jest
dodatni. To co się zmieniło, to zwrot osi w stosunku do której liczymy względem
Rysunek 3
płaszczyzny kartki. Dla My oś ta  wychodziła z płaszczyzny kartki, natomiast dla Mz
 wbija się ona w nią. Tę sytuację odzwierciedlają na rysunku strzałki w kolorze
zielonym obrazujące działanie momentu Mz.
3. Zginanie ukośne (M + M )
y z
Związek między funkcją naprężenia oraz siłą przekrojową ma następującą postać:
M (x) M (x)
Nm
y z
Å"m = Pa
Ãx( x , y , z ) = Å" z Å" y
4
[ ]
I ( x) I (x) m
y z
Rysunek 4: Momenty w zginaniu ukośnym ([4])
gdzie: ª% My(x), Mz(x) sÄ… momentami zginajÄ…cymi w przekroju o współrzÄ™dnej x;
ª% Iy(x), Iz(x) sÄ… głównymi centralnymi momentami bezwÅ‚adnoÅ›ci przekroju
poprzecznego względem odpowiedniej osi;
ª% z jest bieżącÄ… wysokoÅ›ciÄ…, a y jest bieżącÄ… szerokoÅ›ciÄ… w przekroju.
Oś obojętna ma następujący wzór:
M I I
z y y
Ã( y , z )=0 Ò! z = Å" y = Å"tg ²Å" y
M I I
y z z
I M I
y z y
tg Å‚ = Å" = Å"tg²
Rysunek 5: Naprężenia w
I M I
z y z
zginaniu ukośnym ([4])
Warunki projektowe sÄ… analogiczne jak dla zginania prostego.
Zadanie 1
Dla zadanego wspornika (Rysunek 6) wykonanego z teownika
określić bryłę naprężeń w przekroju poprzecznym. Wspornik
poddany jest działaniu momentu zginającego M=5kNm działającego
pod kątem ą=60o do osi poziomej głównej centralnej teownika.
Należy zacząć od określenia, że konstrukcja jest statycznie wyznaczalna,
następnie przyjąć układ współrzędnych oraz punkty charakterystyczne. W tym
przypadku wyliczenie reakcji nie będzie konieczne, ponieważ wykresy sił
przekrojowych będzie można narysować bez znajomości reakcji. Siły przekrojowe
w tym przypadku ograniczą się do dwóch momentów zginających My i Mz,
będących rzutami momentu M na odpowiednie kierunki głównych centralnych
osi bezwładności.
Rysunek 6: Ilustracja do zadania 1
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 3
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
1
M = M sinÄ… = 5Å"103Å" = 2,5[kNm]
y
2
3
"
M = M cos Ä… = 5Å"103Å" = 4,3[kNm]
z
2
Kolejnym krokiem rozwiÄ…zania jest obliczenie charakterystyk geometrycznych przekroju poprzecznego:
S
y'
zc = = 45 mm
" wysokość położenia środka ciężkości przekroju: ,
A
I = 8,4Å"10 6 m4
" moment bezwładności względem osi poziomej głównej centralnej: ,
y
I = 2,2Å"10 6 m4
" moment bezwładności względem osi pionowe głównej centralnej: .
z
Znając siły przekrojowe (My i Mz) oraz geometrię przekroju możemy obliczyć naprężenia we wszystkich punktach
charakterystycznych, czyli narożach teownika (punkty 1-8), aby narysować rozkład naprężeń dla niego:
2,5Å"103 4,3Å"103 Å"0,005 = 25,9 MPa
Ã1 = Ãx (x ; y=0,005 m ; z=0,120 m ) = Å"0,120
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"0,120 4,3Å"103 Å"( 0,005) = 45,5 MPa
Ã2 = Ãx (x ; y= 0,005m ; z=0,120 m) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,045) 4,3Å"103 Å"( 0,060) = 103,8 MPa
Ã3 = Ãx ( x ; y= 0,060 m ; z= 0,045 m) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,045) 4,3Å"103 Å"0,060 = 130,6 MPa
Ã4 = Ãx ( x ; y=0,060 m ; z = 0,045 m ) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,030) 4,3Å"103 Å"( 0,005) = 0,8 MPa
Ã5 = Ãx ( x ; y= 0,005 m ; z= 0,030 m) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,030) 4,3Å"103 Å"( 0,060) = 108,3 MPa
Ã6 = Ãx ( x ; y= 0,060 m ; z= 0,030 m) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,030) 4,3Å"103 Å"0,005 = 18,7 MPa
Ã7 = Ãx ( x ; y=0,005 m ; z= 0,030 m ) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
2,5Å"103 Å"( 0,030) 4,3Å"103 Å"0,060 = 126,2 MPa
Ã8 = Ãx ( x ; y=0,060 m ; z = 0,030 m ) =
x
8,4Å"10 6 2,2Å"10 6
Pozostało obliczenie położenia osi obojętnej:
I
y
² = artctg tgÄ… = 81,4 deg
, a także samego jej równania:
( )
I
z
z = tg² y = 6,6 y . DziÄ™ki temu możemy obliczyć poÅ‚ożenie
przecięcia się osi obojętnej z przegami przekroju poprzecznego:
A = ( y=0,007 ; z= 0,045) oraz B = ( y=0,005 ; z =0,033) .
Znając przystkie punkty charakterystyczne na wykresie rozkładu
naprężeń w przekroju poprzecznym, można dokonać konstrukcji
tego wykresu (Rysunek 7). Ponieważ bryła naprężeń
zaciemniałaby w tym przypadku informacje, rozłożono ją na
wykres w czterech kierunkach równoległych do poszczególnych
boków teownika.
Rysunek 7: Wykresy rozkładu naprężeń dla teownika z zad. 1.
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 4
Arkusz 10: Zginanie proste i ukośne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Wytrzymałość elementów maszyn na II roku dziennych
studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
" Zginanie proste: rozwiązać przykłady nr: 10.6.1, 10.6.2, 10.6.3, 10.6.4, 11.6.1, 11.6.4 z książki [2].
" Zginanie ukośne: rozwiązać przykłady nr: 13.4.1, 13.4.3 z książki [2] oraz zadanie 8.17 /str. 98 z książki [3].
Uwaga! We wskazanych tu zadaniach pomijane są naprężenia styczne powstające od sił poprzecznych.
" Znajomość tensora naprężenia i odkształcenia w zginaniu prostym i ukośnym. Wzory na naprężenia
normalne w obu przypadkach.
" Umiejętność rozwiązywania zadań dla przypadków zginania prostego  wyznaczanie naprężeń, wykresy
rozkładu naprężeń w przekrojach poprzecznych, znalezienie osi obojętnej, wyznaczanie wymiarów
konstrukcji z warunku projektowego.
" Umiejętność rozwiązywania zadań dla przypadków zginania ukośnego  wyznaczanie naprężeń, wykresy
brył naprężeń w przekrojach poprzecznych, znalezienie wzoru i położenia osi obojętnej, wyznaczanie
wymiarów konstrukcji z warunku projektowego.
" Oś obojętna, definicja, wzory, znaczenie.
4. Literatura
[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciała stałego", Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A.  Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych , wydanie drugie
poszerzone i poprawione, Kraków 2004, rozdziały 10, 11 i 13
[3] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[4] dr inż. Paweł Szeptyński, ilustracje
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 5