Zginanie Proste Równomierne
Belki
Przebieg wykładu :
1. Rozkład naprężeń w przekroju belki
2. Warunki równowagi
3. Warunki geometryczne
4. Związek fizyczny
5. Wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie
6. Podsumowanie
7. Przykładowe zadanie
Rozkład naprężeń w przekroju belki
Belka o długości (rozpiętości) l, utwierdzona lewym końcem,
obciążona jest na końcu prawym dwoma równymi i przeciwnie
skierowanymi siłami P
Leżą one w pionowej płaszczyz
nie xy i tworzą parę sił o ramieniu a,
która w przekroju belki określanym współrzędną x gdzie 0 x a
d" d"
wywołuje dodatni moment gnący Mg = Pa. Siła T = 0, a więc jest to
zginanie równomierne, czyli czyste. Osie y,z są głównymi
centralnymi osiami bezwładności przekroju i skoro wektor Mg ma
kierunek jednej z nich, to znaczy osi z, jest to zginanie proste.
Zakłada się, że w przekroju normalnym belki występują
�
naprężenia normalne , a w przekrojach równoległych do
jej osi nie ma naprężeń. Belka może być zatem traktowana jako
wiązka włókien rozciąganych lub ściskanych o przekroju dA i
długości l, które nie oddziałują na siebie mechanicznie.
Warunki równowagi
Odcinek dx belki jest obciążony w lewym przekroju
wektorem momentu gnącego Mg, a w prawym działa układ
� dA.
elementarnych, wewnętrznych sił normalnych
Rozważana część belki znajduje się w równowadze pod działaniem
przestrzennego układu sił równoległych do osi x, dla którego można
napisać następujące równania równowagi
g
+"� zdA = 0
+"�ydA - M = 0
+"�dA = 0
A A
A
Na skutek odkształcenia belki jej sąsiednie przekroje
obracają się względem siebie wokół osi prostopadłej do
płaszczyzny rysunku i pozostają przy tym płaskie. Jeżeli podzielimy
belkę na warstwy
włókien, to nietrudno zauważyć, że po stronie wklęsłej uległy one
skróceniu, a po stronie wypukłej wydłużeniu. Wynika z tego, że w
belce musi istnieć warstwa, która nie ulega odkształceniu. Warstwę
tę nazywa się warstwą obojętną, a ślad jej przecięcia z płaszczyzną
przekroju linią obojętną.
Przyjmijmy za priori, że linia obojętna przechodzi przez
środek ciężkości przekroju S, czyli jest nią oś z, i jest równoległa do
kierunku wektora momentu gnącego Mg. Słuszność tych założeń
potwierdzą dalsze wywody.
Warunki geometryczne
Rozważmy element belki o długości dx przed
odkształceniem i po odkształceniu. Przyjmijmy, że jego lewy
przekrój jest nieruchomy, a prawy przekrój obrócił się o kąt d
Ń
Jest to obrót w kierunku ujemnym od osi y do osi x.
Włókna w warstwie obojętnej ulegną zakrzywieniu, ale ich
długość dx nie zmieni się. Promień krzywizny warstwy obojętnej
�
(osi ugiętej belki)
ma wartość ujemną w przyjętym układzie osi
współrzędnych, przy dodatnim momencie gnącym Mg.
Włókna odległe od warstwy obojętnej o y, które
�
pierwotnie miały długość dx po odkształceniu, mają długość
jest wydłużeniem względnym włókien.
� �
), gdzie
dx ( l +
Operując bezwzględnymi wartościami (d ), (-
Ń
�
), dx, dx(l + )
�
można ustalić następujące geometryczne związki pomiędzy nimi
dx(1+ � ) dx
=
- � + y - �
skąd
y
� = -
dx = (- dŃ)(- �)
�
skąd
1 dŃ
=
� dx
Związek fizyczny
Związek fizyczny stanowi prawo Hooke'a
� = � E
Po wstawieniu zależności
dx (1 + � ) dx
� = � E
do
=
- � + y - �
uzyskujemy
- yE
� =
�
- yE
� =
W wyniku wprowadzenia związku
�
do równań równowagi
+"� zdA = 0 g
+"�dA = 0 +"�ydA - M = 0
A
A
A
uzyskujemy wówczas kolejno
E
E
. E
- ydA = 0
- y2dA - M = 0
- yzdA = 0
g
+"
+"
+"
�
�
�
A
A
A
Powyższe warunki równowagi są równe zero wówczas gdy moment
statyczny przekroju i kierunek wektora momentu gnącego jest
liczony względem osi przechodzącej przez środek ciężkości
przekroju. Udowadnia to słuszność przyjętego wcześniej założenia.
Wobec tego, że moment bezwładności przekroju
poprzecznego belki względem linii obojętnej z wynosi
E
, równanie
Iz = y2dA
- y2dA - M = 0
+" g
+"
�
A
A
prowadzi do następującego związku
- M
1
g
=
� EIz
1
gdzie: - krzywizna osi belki,
�
EIz - sztywność belki (pręta) na zginanie.
- yE
- M
1
g
� =
do
=
Po wprowadzeniu związku
�
� EIz
uzyskujemy formułę opisującą rozkład naprężeń normalnych
�
w przekroju belki, w przypadku zginania równomiernego prostego.
Jest to jak widać na rysunkach rozkład liniowy.
M y
g
� =
Iz
Naprężenia są proporcjonalne do odległości od linii
obojętnej, na której uzyskują wartość równą zeru. Wartości
ekstremalne osiągają naprężenia we włóknach skrajnych.
Ich bezwzględne wartości
�
(rozciągające)
r
max
i
�c max (ściskające) można wyliczyć ze wzorów.
dla ściskania dla rozciagania
M ec M M er M
g g g g
�c max = = � = =
r
max
Iz Wc Iz Wr
gdzie: er, ec - odległość skrajnego włókna rozciąganego oraz
ściskanego od środka ciężkościprzekroju S;
Wr, Wc - wskaz
niki wytrzymałości przekroju na zginanie ze
względu na włókna rozciągane oraz ściskane w m2,
które można wyliczyć ze wzorów
Iz
Iz
Wr =
Wc =
er
ec
Wskaz
niki wytrzymałości przekroju na zginanie
Wskaz
niki wytrzymałości przekroju prostokątnego
oraz pierścieniowego na zginanie.
Iz
Iz
Wr =
Wc =
Otrzymujemy je ze wzorów
er
ec
h
+
Po uwzględnieniu zależności h
2
2
1 bh3
I = z2dA = z2bdz = bz3 =
1 ĄR ĄD4
y
+"+"
4 4
i
3 12
I = IS = (1-ą )= (1-ą )
h
A
-
h
2 4 64
2
-
2
gdzie IS wynosi:
R
R
ĄĄ Ą
23 4
IS = R4 - r4 = D4 - d
() ()
+"� dA = +"2Ą� dp = �4 =
22 32
r
Ar
wskaz
niki wytrzymałości wynoszą odpowiednio:
-dla przekroju prostokątnego -dla przekroju pierścieniowego
Iz bh2
I ĄR3 ĄD3
4 4
W = =
W = = (1- ą ) = (1- ą )
h
6
R 4 32
2
Podsumowanie
Prawo Hooke`a
� = � E
Naprężenia normalne podczas zginania prostego
M y
g
� =
Iz
Wskaz
niki wytrzymałości przekroju dla na zginanie dla
przkroju prostokątnego oraz pierścieniowego
Iz bh2
I ĄR3 ĄD3
4 4
W = =
W = = (1- ą ) = (1- ą )
h
6
R 4 32
2
Równanie osi ugiętej belki
Prosta oś belki staje się po odkształceniu krzywą płaską opisaną równaniem v(x).
Przyjmuje się przy tym, że przemieszczenie punktu osi następuje tylko w kierunku
y, składowa przemieszczenia w kierunku x jest bowiem pomijalnie mała.
x
x
v(x)
y
Przy małych przemieszczeniach v(x), zwanych ugięciami, zachodzą
następujące przybliżone związki:
dv d2v dŃ
= v' = tgŃ H" Ń, czyli =
dx dx
dx2
Ń(x)
gdzie:
-kąt nachylenia stycznej do osi krzywej v(x) w mierze łukowej,
-zwany kątem ugięcia (równy kątowi obrotu przekroju belki).
1 dŃ
M
Przypomnijmy, że
1
oraz
g
=
=-
� dx
� EIz
M
dŃ
g
=-
wtedy
dx EIz
2
dŃ d v
=
Ponieważ
dx
dx2
2
Równanie różniczkowe osi ugiętej:
M (x)
d v(x)
g
lub v'' == -
EIz
dx2
EIzv'' =-M (x)
g
2
d v(x)
EIzg
=-M (x)
dx2
Po dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy poszukiwaną
funkcję v(x):
M (x)dx
dv(x)
g
v' = = Ń(x) = - + C
+"
dx EIz
M (x)dx
Ą#ń#
g
v(x) = - dx + Cx + D
Ą#
+"ó#+"
EIz Ś#
Ł#
gdzie:
C i D stałe całkowania, które wyznacza się z warunków brzegowych.
Warunki brzegowe
Granica przedziału Warunki brzegowe
Koniec utwierdzony
Ń = 0, v = 0
Przegubowa podpora
v = 0
końcowa
Przegubowa podpora
Ńl = Ńp, vl = 0, vp = 0
środkowa
Przegub
vl = vp
Siła lub moment skupiony,
Ńl = Ń , vl = v
p p
granica obciążenia ciągłego
Równanie różniczkowe osi ugiętej
postać alternatywna
2
M (x)
d v(x)
g
= -
EIz
dx2
Różniczkujemy dwukrotnie
lewą i prawą stronę równania
22
2
M (x)
dd
d v(x)
g
=
Ą#ń# Ą# -
Ł# Ś# Ł#ń#
EIz Ś#
dx2 dx2 dx2
Wzory te stanowią zapis
twierdzenia Schwedlera
dM
g
T =
dx
2
d M
dT
g
q = - = -
dx dx2
Równanie różniczkowe osi ugiętej
22
Ą#ń#
dd v
EI = q(x), 0 < x < l
ó#Ą#
dx2 Ł# dx2 Ś#
ó#Ą#
Warunki brzegowe (dla x=0 i x=l):
" ugięcie v(x)
dv
" kąt ugięcia Ń(x) =
dx
2
d v
" moment gnący M (x) =-EI
g
dx2
2
Ą# ń#
dM
dd v
g
" sila poprzeczna T (x) == - ó# Ą#
EI
dx dx
dx2 Ś#
ó# Ą#
Ł#
Przykładowe zadanie
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących
dla belki przedstawionej na rysunku.
Rozwiazanie
Warunki równowagi sił działających na belkę są
następujące
"P = RA - P - q �" 2a + RB = 0
iy
"M = M - P �" a - q �" 2a �" 2a + RB �"3a = 0
iA
Stąd
4
8
RB = qa
RA = qa
3
3
Obliczenia podano w tabelce i na tej podstawie
sporządzono wykresy.
Nr Granice Siła tnąca Moment gnący Obliczenia
przedziału przedziału T Mg
x T Mg
8
x1 = 0
- M + RAx =
- 2qa2
1
+ qa
8
3
+ RA = + qa
8
0 d" x2 d" a
= -2qa2 + qax
3
x1 = 0
2
8
3
+ qa2
+ qa
x1 = a
3
3
2
2
+ qa2
+RA -P+
x2 = a
2 - M + RAx +
+ qa
3
3
-q(x-a)=
- P(x - a)=
8
5
+ qa2
a d" x2 d" 3a
2
x2 = a
1
9
2 0
= qa-q(x-a)
3
= q(x - a)
(max)
3
2
4
x2 = 3a
- qa
0
3
Wykres sił tnących
8
+ qa
3
2
+ qa
3
5
x2 = a
3
4
- qa
3
Wykres sił gnących
2
+ qa2
3
8
+ qa2
9
- 2qa2
Koniec