ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 1
1. SFORMUA
OWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ZGINANIA"
ZADANIE: wyznaczyć tensor napręż. TÃ, tensor odkszt. Tµ i wektor przemieszczenia u .
z
Äxz
y
Ã
x Äxy
r
O
z
II
q = - k z
r '
x
q
I
x
pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo w pkt. A (0,0,0)
x - oś podłużna pręta, y, z - osie główne, centralne przekroju poprzecznego
obciążenie zewnętrzne: denko q - kz,0,0 k = const
( )
pobocznica q 0,0,0
( )
siły masowe P 0,0,0
( )
2. ROZWI
ZANIE
2.1. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego
wyznaczyć odkształcenia
wyznaczyć przemieszczenia
"wymyÅ›lić" TÃ
e e ( ) 1
s
=
e
( u u )
i j i j =
i j +
sprawdzić stat. war. brzeg.
i, j j, i
i j
2
sprawdzić równ. Naviera
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
+ kinematyczne war. brzegowe
12 3
2.2. Komplet równań TS
à = 0 (1)
i j, j
1
µ = u + u (2)
i j ( i, j j,i )
2
1
µ = 1+ ½ Ã - ½ Ã ´ (3)
i j ( ) i j kk i j
[ ]
E
q = Ã Ä…
½i i j ½ j
+ statyczne warunki brzegowe
Å„Å‚- kz = Ã × 1
x
ôÅ‚
denko x = L , ½ 1,0,0 0 = Ä × 1 (4a)
( ) yx
òÅ‚
ôÅ‚
0 = Ä × 1
zx
ół
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 2
0 = Ä Ä… + Ä Ä…
Å„Å‚
xy ½y xz ½z
ôÅ‚0 = Ã Ä… + Ä Ä…
pobocznica ½ 0,Ä… `" 0,Ä… `" 0 (4b)
( ½y ½z ) y ½y yz ½z
òÅ‚
ôÅ‚0 = Ä zy Ä… ½y + Ã z Ä… ½z
ół
+ kinematyczne war. brzegowe w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)
" v " v " u
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚" x = 0 ôÅ‚" z = 0 ôÅ‚" z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
u = v = w = 0 (5)
òÅ‚" u òÅ‚" w òÅ‚" z
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
= 0 = 0 = 0
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
" y
ół" y ół ół" x
- macierz naprężenia
ëÅ‚ - kz 0 0
öÅ‚
S W = S Z
( II ) ( I ) ìÅ‚
Ò! T = 0 0 0÷Å‚ (6)
Ã
ìÅ‚ ÷Å‚
M W = M Z
( II ) ( I ) ìÅ‚
0 0 0÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
przykład - poszukiwanie I wiersza tensora naprężenia
M W = M Z Ò! r × p d A = r' × q d A
( ) ( )
II I
+"+" +"+"
AA
r 0, y, z r' L - x, y, z
( ) ( )
p Ãx ,Äxy ,Äxz q - k z,0,0
( ) ( )
- k z dA
x
+"+"Ã dA = +"+" +"+"( y Äxz - zÄxy) dA = +"+"( y 0 - z0) dA
AA AA
Äxy dA = dA zÃx dA = - k z2 dA
+"+" +"+"0 +"+" +"+"
AA AA
Äxz dA = dA - y Ãx dA = zy dA
+"+" +"+"0 +"+" +"+"k
AA AA
Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne war. brzegowe (4)
- macierz odkształceń (r.Hooke'a)
k
ëÅ‚ öÅ‚
- z 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
E
ìÅ‚ ÷Å‚
k
T = 0 ½ z 0 (7)
µ ìÅ‚ ÷Å‚
E
ìÅ‚ ÷Å‚
k
ìÅ‚
0 0 ½ z÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
E
Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż
µ = const Ò! µ a" 0
i j,k i j,kl
funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)
" u " u " v
k
= - z + = 0
" x E " y " x
" v " v " w
k
= ½ z + = 0 (8)
" y E " z " y
" w " u " w
k
= ½ z + = 0
" z E " z " x
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 3
o s
"CORN" = "CORJ" + "CSRN" Ò! u = u + u
i
i i
- całka ogólna
o
u y,z = a + b y + c z
( )
o
v x,z = d - b x + f z
( )
0
w x,y = g - c x - f y
( )
- całka szczególna równania niejednorodnego
k k
s s
u = - zx v = ½ yz
E E
k k k
s 22 2
w = ½ z - ½ y + x
2E 2E 2E
- funkcje przemieszczeń
k
u x,y,z = - xz + a + b y + c z
( )
E
k
v x, y, z = ½ yz + d - bx + f z (9)
( )
E
k
2 2 2
w x,y,z = ½ z - ½ y + x + g - c x - f y
( )
( )
2E
Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinemat. war. brzegowych (5).
a = b = c = d = f = g = 0
k
u = - xz
E
k
v = ½ yz
E
(10)
k
2 2 2
w = x - ½ y + ½ z
( )
2E
WNIOSEK : Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)
spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiÄ…cego przedmiot analizy.
3. ANALIZA ROZWI
ZANIA
1. Stan naprężenia opisany przez macierz (6) to jednoosiowy (tylko jeden element macierzy
naprężenia jest niezerowy) stan naprężenia. Naprężenie normalne zależy jedynie od
zmiennej "z".
2. Diagonalna postać macierzy naprężenia Å›wiadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie Ã
jest maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych
x
odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.
3. Stan odkształcenia opisany przez macierz (7) to trójosiowy (niezerowe składowe w 3
wzajemnie prostopadłych kierunkach) stan odkształcenia.
4. Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu zginaniu towarzyszą
jedynie odkształcenia liniowe.
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 4
5. Analiza deformacji pręta.
5.1. Przemieszczenia punktów należących do osi pręta, tzn. P (x, 0, 0)
u = 0 v = 0
k
2
w = x
2E
z
²
Å‚
B'
Ä…
B
A'
x
A
C'
k
= x2
C x w
o
2 E
Krzywizna ugiętej osi pręta
w2 2 x
( )
1
º x a" =
( )
3 2
Á x
( )
( )
[1+ w2 2 x ]
1 k
= w2 2 x =
( )
Á x E
( )
ëÅ‚ öÅ‚
z
z
ëÅ‚
ìÅ‚- 0 0 ÷Å‚
Á
ìÅ‚-E 0 0öÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Á
ìÅ‚ ÷Å‚
z
ìÅ‚ ÷Å‚
T = 0 0 0 T = 0 ½ 0
à µ
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Á
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ z÷Å‚
0 0 ½
íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚
Å‚Å‚
íÅ‚ Á÷Å‚
Twierdzenie o przekroju płaskim i prostopadłym do osi pręta : przekrój poprzeczny pręta
(przekrój płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem) pozostaje w wyniku
deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta.
Dowód:
1. "Płaskość" przekroju
k
dla dowolnego przekroju x=x0 u = - xo z
E
przemieszczenia "u" wszystkich punktów ustalonego przekroju zależą liniowo od
zmiennej "z"; punkty te muszą zatem leżeć w jednej płaszczyz
nie
2. "Prostopadłość" przekroju
üÅ‚
ôÅ‚
Å‚ = 90 - Ä… + ²
ôÅ‚
ôÅ‚
k k
tg Ä… = w2 = x0 Ò! Ä… E" x0 Ò! Å‚ = 900
żł
E E
ôÅ‚
"u
k k k
tg ² = = - x0 Ò! ² E" - x0 = x0 ôÅ‚
ôÅ‚
" z E E E
þÅ‚
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 5
Przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju
prostokÄ…tnego o wymiarach poczÄ…tkowych b x h)
2
ëÅ‚ öÅ‚
b k b k 2 b
2
CB, AD: y = Ä… v = Ä… ½ z ; w = x - ½ + ½ z
ìÅ‚ ÷Å‚
o
2 E 2 2E íÅ‚ 4 Å‚Å‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
h k h k 2 h
2
CD, AB: z =Ä… ; v = Ä… ½ y ; w = x + ½ - ½ y
ìÅ‚ ÷Å‚
o
2 E 2 2E íÅ‚ 4 Å‚Å‚
Przemieszczenia punktów krawędzi y = ą b/2
z z
z
C' D'
D'
C'
D' D C D C
C' D C
E'
F'
F'
E'
E=E' E
y y
h
y
F=F'
F
E F
A' B'
A' B'
A' B'
B B
A B A
A
b
przemieszczenie " v " przemieszczenie " w " całkowite przemieszczenie
Przemieszczenia punktów krawędzi z = ą h/2
z
z
z
C' D' G'
D'
C'
D C G'
D C
D' C' D C
G G
G=G'
y y
h
y
H'
H'
B'
A'
A' B'
H=H'
A' B'
H
H
B B
A B A
A
b
przemieszczenie " v " przemieszczenie " w " całkowite przemieszczenie
z
D'
C'
D C
y
A' B'
B
A
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 6
4. REDUKCJA OBCI
ŻENIA ZEWN
TRZNEGO DO ÅšRODKA CI
ŻKOŚCI PRZEKROJU
4.1. Redukcja obciążenia zewn. do środka ciężkości przekroju poprzecznego
S = dA = - k z dA = -kSy = 0
x ½x
+"+"q +"+"
AA
S = dA = dA = 0
y ½y
+"+"q +"+"0
AA
S = dA = dA = 0
z ½z
+"+"q +"+"0
AA
Mx = y 0 - z0 dA = 0
)
+"+"(
A
2
M = - k z)z - 0 dA = -k z dA = -kI
y y
+"+"[( ] +"+"
AA
M = 0 - k z y ) dA = -k y z dA = -kI = 0
z yz
+"+"( +"+"
A A
WNIOSEK: obciążenie przy czystym zginaniu redukuje się w środku ciężkości przekroju
poprzecznego do pary o wektorze M (0,-k Iy, 0).
def
M = M Ò! M = kIy Ò! k = M Iy
yy y
z z
My
y y
My
x
x
4.2. Składowe tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wektora przemieszczenia
My
Ãx = - z
à = à = Ä = Ä = Ä = 0
y z xy xz yz
Iy
M M
à y à y
x x
µ = = - z µ = µ = - ½ = ½ z
µ = µ = µ = 0
x y z
xy xz yz
E EIy E EIy
M
y
u = - xz + a + b y + c z
EIy
M
y
v = ½ yz + d - b x + f z
EIy
M
y
2 2 2
w = x - ½ y + ½ z + g - c x - f y
( )
2EIy
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 7
5. INNE PRZYPADKI OBCI
ŻENIA (PROSTE ZGINANIE)
5.1. Proste zginanie
DEFINICJA: Każdy przypadek takiego obciążenia pręta, które redukuje się w środku
ciężkości przekroju poprzecznego do momentu leżącego w płaszczyz
nie (x, z) określa się
jako proste zginanie lub krótko zginanie.
5.2. Składowe tensorów naprężenia i odkształcenia dla zginania
Przyjmując zasadę de Saint-Venanta przyjmujemy równocześnie, że rozwiązanie uzyskane
dla czystego zginania jest także z wystarczającą dokładnością rozwiązaniem dla prostego
zginania.
6. INNE WI
ZY KINEMATYCZNE DLA PR
TA PODDANEGO CZYSTEMU ZGINANIU
1. Jeżeli więzy narzucają 6 warunków, to tensory naprężenia (6) i odkształcenia (7) nadal są
ścisłym rozwiązaniem zagadnienia brzegowego. Funkcje przemieszczeń są opisane równaniami
(9), z których należy wyznaczyć 6 stałych z 6 warunków kinematycznych
2. Jeżeli więzy są takie, że narzucają mniej niż 6 warunków, to pręt jest układem geometrycznie
zmiennym.
3. Jeżeli więzy są takie, że narzucają więcej niż 6 warunków to macierz naprężenia musi być
przyjęta odmiennie od tej w postaci (6).
7. ROZKA
AD NAPR
Å»ENIA NORMALNEGO Ãx
z y
Ãx Ãx
A B
y
+
Åš
R
x x
R
Åš
My Mz +
z
Przypadek A - zginanie w płaszczyz
nie (x, z)
M
y
à = z
x
I
y
włókna o dodatniej współrzędnej "z" (tzw. "górne włókna") są rozciągane. Zgodnie z przyjętą
konwencją znakowania naprężeń - naprężeniu normalnemu rozciągającemu przypisuje się
znak "plus". Stąd, naprężenia w górnych włóknach są dodatnie, a w równaniu określającym
Ãx wystÄ™puje znak "+" [ dla "z+" musi być "Ãx+" ]
przypadek B - zginanie w płaszczyz
nie (x, y)
M
z
à = - y
x
I
z
włókna o dodatniej współrzędnej "y" są ściskane. Zgodnie z przyjętą konwencją znakowania
naprężeń - naprężeniu normalnemu ściskającemu przypisuje się znak "minus". Stąd -
naprężenia w górnych włóknach sÄ… ujemne, a w równaniu okreÅ›lajÄ…cym Ãx wystÄ™puje znak
"-" [ dla "z+" musi być "Ãx-" ]
ZGINANIE PR
TÓW PROSTYCH 8
7.1. Rozkład naprężenia w przekroju pręta
Ä…
z
M
y
²
x
Ä… ²
+
Ãx
+
M M
Ä…-Ä… y y
²-²
à = z à = - z
x x
I I
y y
7.2. Naprężenie maksymalne
max
M
y
max
g
à = max h ,h
d
x ( )
I
y
I
y
max Mmax
min
à = W =
x
min
g
W
max ,h
d
(h )
warunek wytrzymałościowy
max Mmax
à = d" R
x
min
W