Belki na sprężystym podłożu.
-rozważamy dowolnie obciążoną belkę spoczywająca na podłożu
-zagadnienie polega na wyznaczeniu sil przekrojowych, przemieszczeń belki i wyznaczeniu odpowiedzi podłoża- zagadnienie kontaktowe
-grunt dozna przemieszczeń nie tylko w pkt. Leżących bezpośrednio pod belką, ale także poza nią:
-jeśli przyłożymy obciążenie belka na skutek deformacji może stracić kontakt z podłożem
hipotezy Winklera:
• Więzy pomiędzy podłożem a konstrukcją są dwustronne (więzy łączące belkę z podłożem „pracują” na rozciąganie i na ściskanie) - oznacza to, że belka nie odrywa się od podłoża i gładkie (brak tarcia między podłożem i spoczywającą na nim belką)
• Podłoże traktujemy jako ciało, w którym przemieszczają się wyłącznie te punkty, które leżą na prostej działania siły i przemieszczenie to jest proporcjonalne do działającej siły
Doświadczenie potwierdza słuszność hipotez Winklera jedynie dla belek długich( szyny kolejowe, ławy fundamentowe) doznających małych ugięć
-hipotezy te pozwalają zbudować prosty model więzów i podłoża w postaci sprężyn przypiętych do belki i ułożonych do niej prostopadle:
-oznaczamy charakterystykę sprężyny przez k=b*c gdzie b to szerokość belki, a c moduł podatności podłoża
-odpór podłoża na belkę, czyli siłę z jaką belka działa na dany pkt. Podłoża zapisujemy:
r(x)=kw(x)
- odpór podłoża r(x) w punkcie (liczony na jednostkę długości belki) jest proporcjonalny do ugięcia w tym punkcie q (x)
h
x
b
r (x)
w
-Równania linii ugięć oraz momentów zginających i sił poprzecznych Q x
p x
II ( )
M ( )
x
w
x = −
III ( )
( )
w
x = −
IV ( )
( )
w
x =
EI
EI
EI
EI w II ( )
x = − M ( )
x
IV ( ) b c
q x
+
w ( )
( )
w
x
x =
EI
EI
def.
α4 = b c
α [1/m]
4 EI
ζ = α x - współrzędna bezwymiarowa
∂ w ∂ ζ
w I ( )
x
w I
=
=
(ζ)α
∂ ζ ∂
x
∂
w II ( )
x
ζ α ∂ ζ
ζ α2
M
= − EI 2 wII
ζ
α
ζ
∂ ζ [ wI ( ) ]
w II
=
=
( )
∂
⇒
( )
( )
x
III
w ( x)
∂
=
[ II
w (ζ )
∂ζ
2
α ]
III
= w (ζ ) 3
α
Q
= − EI 3 wIII
ζ
α
ζ
∂ζ
∂
⇒
( )
( )
x
∂
w IV ( )
x
ζ α3 ∂ ζ
ζ α4
∂ ζ [ wIII ( )
]
w IV
=
=
( )
∂
x
4
ζ
IV (ζ) + 4 (ζ)
q ( )
w
w
=
k = b c równanie to wraz z warunkami brzegowymi k
tworzy zagadnienie brzegowe rządzące rozwiązaniem belki leżącej na podłożu winklerowskim
rozwiązanie
ζ
− ζ
: w (ζ) = ws(ζ) + e (A cos ζ + B sin ζ) + e (C cos ζ + D sin ζ)
-stałe A,B,C,D dobieramy z kinematycznych warunków brzegowych, to jest wartości w i w’ oraz wyrażonych poprzez przemieszczenia wartości sił
przekrojowych, a także z warunków zszycia (relacji pomiędzy tymi wielkościami w pkt. węzłowych przedziałów charakterystycznych)
-znając funkcję ugięcia belki znajdujemy siły przekrojowe My(x)=-EIyw’’(x) Fz(x)=-EIyw’’’(x)
Belki nieskończenie długie
∗ warunek skończonej wielkości ugięć powoduje zerowania się stałych A i B
w (ζ) w
− ζ
= s(ζ) + e (C cos ζ +D sinζ)
wI (ζ) wI
− ζ
= s(ζ) + e ([D − C) cosζ − (D + C) sinζ]
wII ( ) wII
ζ
− ζ
= s(ζ) + 2 e (C sinζ −D cos ζ)
wIII ( ) wIII
ζ
− ζ
= s (ζ) + 2 e ([D + C) cosζ + (D − C) sinζ]
ws(ζ) = 0
P
dla ζ ≥ 0
1) w (ζ → ∞) = 0
ζ
wI (ζ → ∞) = 0
w
2) wI (ζ = 0) = 0
Q (ζ = +
0 ) = −P 2
∗ z warunków kinematycznych 1) wynika, że :
∗ A = 0 , B = 0
∗ z warunku kinematycznego i statycznego 2) wynika, że : C = D =
α
P
2 b c
∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0
α
P
− ζ
α
w (ζ) = P
e
( cosζ + sinζ) =
η(ζ)
2 b c
2 b c
2
II
P
− ζ
P
M (ζ) = − EI α w (ζ) =
e
( cosζ − sinζ) =
η1 (ζ)
4 α
4 α
3
III
P − ζ
P
Q (ζ) = − EI α w (ζ) = − e cos ζ =
η2 (ζ)
2
2
∗ dla ζ < 0
P α
P
w (ζ) =
η(ζ)
;
M (ζ) =
η1 (ζ) ;
2 b c
4 α
P
Q (ζ) = −
η2 (ζ)
2
∗ wiele sił skupionych
n
α
wα−α =
P3
P
P
∑Pi η(ζi)
1
2
2 b c i=1
α
n
1
α
ζ
Mα−α =
∑Pi η1(ζi)
4 α i
ζ
=1
1
ζ2
ζ3
∗
w
n
1
Qα−α = −
∑Pi η2 (ζi)
2
i=1
*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym
Belka obciążona momentem skupionym ws(ζ) = 0
M
dla ζ ≥ 0
+
1) w (ζ → ∞) = 0
⇒
A =0 ; B = 0
ζ
wI (ζ → ∞) = 0
w
2) w (ζ = 0) = 0
⇒
C = 0
3) M (ζ = +
0 ) = M 2
⇒
D =
α2
M
b c
∗ ostatecznie zatem dla ζ ≥ 0
α2
M 2
w (ζ) M
e− ζ
=
sin ζ
α
=
η3 (ζ)
b c
b c
M − ζ
M
M (ζ) =
e
cos ζ = −
η2 (ζ)
2
2
M α
M
− ζ
α
Q (ζ) = −
e
( cosζ + sinζ) = −
η(ζ)
2
2
∗ dla ζ < 0
M α2
M
M α
w (ζ) = −
η3 (ζ) ;
M (ζ) =
η2 (ζ) ;
Q (ζ) = −
η(ζ)
b c
2
2
∗ wiele momentów skupionych
∗
m
α2
M3
M1
M2
wα−α = −
∑Mi η3 (ζi)
α
b c
i=1
∗
m
α
ζ
1
M
ζ
α−α = −
1
∑Mi η2 (ζi)
ζ2
2
i=1
ζ3
w
m
α
Qα−α = −
∑Mi η(ζi)
2 i=1
*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym
Belka obciążona obciążeniem ciągłym q
α
α
ζ
w
ζ p
ζ
k
ζk
ζk
α
d ζ
qo
q
ζ
w
−
− =
q
o
k
ζ
α α
∫ o
η(ζ) =
e
∫
(cosζ + sinζ)dζ =
[η2]
2 b c
α
2 b c
2 b c
ζp
ζp
ζp
ζk
ζk
1
d ζ
qo
q
ζ
M
−
− =
q
o
k
ζ
α α
∫ o
η1 (ζ) =
e
cos
sin
2 ∫
( ζ − ζ)dζ = 2 [η3]ζp
4 α
α
4 α
4 α
ζp
ζp
ζ
q
k
o
q
ζ
Q
−
− =
∫ − e ζ cosζ d
o
ζ =
[η ] k
α α
1 ζ
p
2 α
4 α
ζp
Obciążenie łączne
M+
α
q
P+
α
ζ
ζ p
ζ
p
ζ k
ζ
w
k
∗
n
m
r
α
2
1
ζ
w − =
∑P
k
α α
∑
3
∑
i η (ζ
α
i ) + −
Mi η (ζi) +
qi [η2]
2 k
k
2 k
ζp
i=1
i=1
i=1
∗
n
m
r
1
1
1
ζ
M − =
∑P
k
α α
1
∑
2
∑
i η (ζi) +
Mi η (ζi) +
qi
2
[η3] ζp
4 α
2
4 α
i=1
i=1
i=1
∗
∗
n
m
r
1
1
ζ
k
Qα−α = −
∑P 2
∑
∑
i η
(ζ
α
i ) −
Mi η (ζi) + −
qi [η ]
1
ζ
p
2
2
4 α
i=1
i=1
i=1
η
− ζ
= e (cosζ + sinζ)
η
− ζ
1 = e
(cosζ − sinζ)
η
ζ
ζ
2 = −
−
e
cos ζ
η3 = −
e
sin ζ
*) jeżeli ζ < 0 to wyrazy w nawiasach klamrowych z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym, zaś w funkcjach η÷η3 należy w miejsce ζ wstawić ζ .
4
ζ
IV (ζ) + 4 (ζ)
q ( )
w
w
=
k = b c
k
w (ζ) w
ζ
− ζ
= s(ζ) + e (A cosζ +B sinζ) + e (C cosζ +D sinζ)
∗ w belkach o skończonej długości ( ζ przyjmuje wartości skończone ) zachodzą warunki A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Te 4 stałe należy wyznaczyć z warunków kinematycznych i statycznych. Jeżeli belka składa się z kilku przedziałów charakterystycznych to należy napisać i rozwiązać tyle równań ile jest przedziałów, korzystając dodatkowo z 4 warunków zapisanych w punkcie zszycia każdych dwóch przedziałów. Taka droga jest rachunkowo uciążliwa.
Metoda F. Bleicha
∗ belkę o skończonej długości zastępuje się belką o nieskończonej długości
∗ obciążenie belki nieskończonej składa się z : 1. obciążenia pierwotnej belki skończonej (na długości tej belki) 2. dodatkowego obciążenia poza obszarem belki pierwotnej, takiego, aby zapewniona była zgodność statycznych warunków brzegowych obu belek.
Uzyskuje się to poprzez umieszczenie 4 sił skupionych R1 ÷ R4, po dwie z każdej strony belki, w takim rozstawie, który ułatwia obliczenia A
B
R1
R2
R3
R4
π/4α
π/4α
π/4α π/4α
π/4
π/4
π/4
π/4
∗ zapewniając zgodność momentu zginającego i siły poprzecznej w punktach belki nieskończonej, odpowiadających punktom końcowym A i B belki o skończonej długości - zapewniamy pełną zgodność rozwiązań w obszarze belki skończonej.
aktual. 9.03. 11jh