Belka na spr˛e˙zystym podło˙zu Winklera

(materiał uzupełniaj ˛

acy do wykładu z wytrzyma-

ło´sci materiałów I,

opr. Z. Wi˛eckowski

)

Model Winklera jest najprostszym opisem zachowania spr˛e˙zystego podło˙za. Stosuj ˛

ac ten model pod-

ło˙za, zakłada si˛e, ˙ze przemieszczenie dowolnego punktu powierzchni podło˙za jest niezale˙zne od prze-
mieszcze´n innych jej punktów oraz, ˙ze oddziaływanie podło˙za w wybranym punkcie powierzchni jest
proporcjonalne do przemieszczenia. Intensywno´s´c oddziaływania podło˙za q

r

, zebranego z szeroko´sci

podstawy belki, mo˙zna zapisa´c wzorem

q

r

= k y,

(1)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalno´sci, zwanym sztywno´sci ˛

a podło˙za (lub współczynni-

kiem podło˙za), a y przemieszczeniem punktu powierzchni podło˙za. Uwzgl˛edniaj ˛

ac w równaniu

czwartego rz˛edu linii ugi˛ecia belki oddziaływanie podło˙za, otrzymujemy

(EJ y

00

)

00

= q − q

r

,

gdzie EJ jest sztywno´sci ˛

a gi˛etn ˛

a belki, y ≡ y(x)) – funkcj ˛

a ugi˛ecia belki, q – intensywno´sci ˛

a ob-

ci ˛

a˙zenia belki rozło˙zonego w sposób ci ˛

agły. Po uwzgl˛ednieniu w powy˙zszym równaniu zwi ˛

azku (1)

i zało˙zeniu, ˙ze sztywno´s´c gi˛etna belki jest stała (EJ = const), równanie linii ugi˛ecia belki na podło˙zu
Winklera przyjmuje posta´c:

y

IV

+

k

EJ

y =

q

EJ

.

Stosuj ˛

ac oznaczenie

α =

4

r

k

4 EJ

,

powy˙zsze równanie mo˙zna zapisa´c w postaci:

y

IV

+ 4α

4

y =

q

EJ

.

(2)

Rozwi ˛

azanie równania (2) jest sum ˛

a całki ogólnej y

0

równania jednorodnego oraz całki szczegól-

nej y

1

równania niejednorodnego. Rozwi ˛

azanie ogólne równania jednorodnego ma posta´c

y

0

= e

rx

,

(3)

gdzie r wyznacza si˛e wstawiaj ˛

ac (3) do równania jednorodnego

y

IV

0

+ 4α

4

y

0

= 0,

(4)

co daje równanie

r

4

e

rx

+ 4α

4

e

rx

= 0,

które jest spełnione dla dowolnej warto´sci zmiennej x, co oznacza, ˙ze r spełnia nast˛epuj ˛

ace równanie

algebraiczne:

r

4

+ 4α

4

= 0.

Pierwiastki tego równania mo˙zna wyznaczy´c stosuj ˛

ac nast˛epuj ˛

ace przekształcenia algebraiczne:

r

4

+ 4α

4

= r

4

+ 4α

2

r

2

+ 4α

4

− 4α

2

r

2

= (r

2

+ 2α

2

)

2

− 4α

2

r

2

= (r

2

+ 2α

2

+ 2α r)(r

2

+ 2α

2

− 2α r),

co prowadzi do dwóch równa´n kwadratowych

r

2

− 2α r + 2α

2

= 0,

(5)

r

2

+ 2α r + 2α

2

= 0.

(6)

Wyró˙znik obu równa´n jest ujemny i równy −4α

2

, zatem oba maj ˛

a rozwi ˛

azania zespolone. Pierwiastki

równania (5) s ˛

a równe

r

1,2

= α ± α i,

natomiast równania (6) —

r

3,4

= −α ± α i.

Rozwi ˛

azanie ogólne równania jednorodnego (4) ma zatem posta´c

y

0

(x) = e

αx

(A sin αx + B cos αx) + e

−αx

(C sin αx + D cos αx).

(7)

Rozwi ˛

azanie szczególne równania niejednorodnego ma — w przypadku stałego obci ˛

a˙zenia ci ˛

a-

głego (q = const) — posta´c

y

1

=

q

k

,

co łatwo sprawdzi´c przez podstawienie powy˙zszej zale˙zno´sci do równania.

Przykład. Wyznaczy´c funkcj˛e ugi˛ecia belki niesko´nczonej (o nieograniczonej długo´sci) obci ˛

a˙zonej

w punkcie x = 0 sił ˛

a skupion ˛

a P . Wyznaczy´c siły przekrojowe w belce. Belka ma stał ˛

a sztywno´s´c

EJ , a sztywno´s´c podło˙za jest równa k.

Z uwagi na symetri˛e układu wystarczy rozwa˙zy´c praw ˛

a cz˛e´s´c belki, x ≥ 0. Na osi symetrii

(w punkcie x = 0) k ˛

at ugi˛ecia jest równy zeru, ponadto jest znana warto´s´c siły poprzecznej — jest

ona równa połowie siły P działaj ˛

acej na osi symetrii układu. Oznacza to, ˙ze na lewym ko´ncu belki

warunki brzegowe maj ˛

a posta´c:

y

0

(0) = 0

(8)

−EJ y

000

(0) = −P/2.

(9)

Dwie stałe całkowania w rozwi ˛

azaniu równania ró˙zniczkowego mo˙zna wyeliminowa´c, wykorzystuj ˛

ac

nast˛epuj ˛

ace warunki zapisane w przypadku prawego ko´nca belki:

lim

x→∞

y(x) ≤ M

1

,

lim

x→∞

y

0

(x) ≤ M

2

,

gdzie M

1

i M

2

s ˛

a stałymi o sko´nczonych warto´sciach. Warunki te oznaczaj ˛

a, ˙ze ugi˛ecia belki i k ˛

aty

ugi˛ecia nie mog ˛

a osi ˛

aga´c niesko´nczonych warto´sci na prawym ko´ncu belki. Warunki te mog ˛

a by´c

spełnione tylko w przypadku, gdy stałe całkowania A i B w równaniu (7) s ˛

a równe zeru z uwagi na

granic˛e funkcji e

αx

przy x zmierzaj ˛

acym do niesko´nczono´sci.

Zatem funkcja ugi˛ecia belki przyjmuje posta´c

y(x) = e

−αx

(C sin αx + D cos αx),

a jej pierwsza pochodna jest równa

y

0

(x) = −(C + D) αe

−αx

sin αx + (C − D) αe

−αx

cos αx.

Wykorzystanie warunku (8) prowadzi do równania

C = D,

co oznacza, ˙ze druga i trzecia pochodne funkcji ugi˛ecia maj ˛

a postaci

y

00

(x) = 2Cα

2

e

−αx

(sin αx − cos αx),

y

000

(x) = 4Cα

3

e

−αx

cos αx.

2

Warunek (9) pozwala wyznaczy´c stał ˛

a C:

−4 EJ Cα

3

= −P/2

⇒

C =

P

8 α

3

EJ

.

Ostatecznie funkcje ugi˛ecia belki oraz sił przekrojowych mo˙zna przedstawi´c nast˛epuj ˛

aco:

y(x) =

P

8 α

3

EJ

e

−αx

(sin αx + cos αx),

M (x) =

P

4 α

e

−αx

(− sin αx + cos αx),

T (x) = −

P

2

e

−αx

cos αx.

Wykresy tych funkcji s ˛

a przedstawione poni˙zej.

3